AMC 10 · 2002 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circles area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1인 작은 원 일곱 개가 큰 원 안에 채워져 있다. 하나는 한가운데에 있고, 나머지 여섯 개는 그 둘레를 감싸며 가운데 원, 이웃한 두 작은 원, 큰 바깥 원에 모두 접한다. 작은 원 일곱 개가 덮지 않은, 큰 원의 색칠된 부분의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi$

(B)

$1.5\pi$

(C)

$2\pi$

(D)

$3\pi$

(E)

$3.5\pi$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

색칠된 영역은 여섯 갈래로 울퉁불퉁한 경계를 가져서 직접 재기가 매우 까다롭다. 도구 #16 (관점 바꾸기 — 여집합 세기)은 이를 완전히 피한다: 색칠된 넓이는 큰 원판 전체에서 뚫린 둥근 구멍 일곱 개를 뺀 것일 뿐이고, 원판의 넓이는 쉽다. 빼기 전에 도구 #1 (그림 그리기)로 그림에서 접점의 연결을 읽어 유일하게 빠진 값인 큰 반지름을 확정한다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 조각으로 나눈다 — 큰 원의 넓이와, 똑같은 작은 원 일곱 개의 전체 넓이. 가장 흔한 함정은 작은 원을 (눈에 보이는 둘레의) 여섯 개로 잘못 세고 가운데 하나를 빠뜨리는 것으로, 그러면 오답 (D) 3π 가 나온다.

1STEP 1

큰 반지름 세우기

중심에서 바깥으로 1+1+1이 끝과 끝으로 이어지므로 큰 원의 반지름은 3이다.

R = (1+1)_중심에서 둘레 원 중심까지 + 1_둘레 원 반지름 = 3

2STEP 2

큰 원의 넓이

반지름 3인 큰 원판 전체의 넓이는 π R² = π(3)² = 9π이다.

π R² = π(3)² = 9π

3STEP 3

구멍 일곱 개의 전체 넓이

가운데 하나에 둘레 여섯을 더하면 7 개, 각각 넓이가 π(1)² = π이므로 모두 7π이다.

7 × π(1)² = 7π

4STEP 4

구멍 빼기

큰 원판에서 구멍들을 빼면 9π - 7π = (9-7)π = 2π, 즉 선택지 (C)다.

9π - 7π = (9-7)π = 2π → (C)

정답

2π

작은 원 일곱 개가 큰 원의 9π 중 7π를 덮으므로, 색칠된 채로 남는 것은 2π — 원판의 5분의 1 남짓 — 뿐이다. 원들이 안쪽을 거의 꽉 채우고 사이에는 얇고 굽은 조각만 남기는 그림과 잘 맞는다. 답 2π는 등장한 모든 원 넓이 합보다 작은데, '덮이지 않고 남은 부분' 이라면 마땅히 그래야 하며, 실제 넓이답게 양수다.

💡핵심 정리

큰 영역에서 구멍이 뚫린 도형은, 전체 넓이에서 구멍들을 빼서 넓이를 구한다 — 단, 모든 구멍을 빠짐없이 세는 것이 중요하다.

큰 반지름 세우기
큰 원의 넓이
구멍 일곱 개의 전체 넓이
구멍 빼기

큰 반지름 세우기

큰 원의 넓이

구멍 일곱 개의 전체 넓이

구멍 빼기

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