AMC 10 · 2004 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

spatial-visualizationarea-rectangles reflection-unfoldingeasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

흰색 원기둥 모양의 사일로가 지름 $30$ 피트, 높이 $80$ 피트입니다. 그림과 같이 가로 폭이 $3$ 피트인 빨간 띠가 사일로를 정확히 두 바퀴 감으며 칠해져 있습니다. 이 띠의 넓이는 몇 제곱피트입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

180

(C)

240

(D)

360

(E)

480

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원기둥 모양의 사일로가 지름 $30$피트, 높이 $80$피트이다. 가로 폭이 $3$피트인 빨간 띠가 바깥면을 따라 나선을 그리며 올라가는데, 바닥에서 꼭대기까지 오르는 동안 사일로를 정확히 두 바퀴 감는다. 이 띠의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 사일로는 지름 $30$피트, 높이 $80$피트인 원기둥이다.; 빨간 띠의 가로 폭은 $3$피트이다.; 띠는 바닥에서 꼭대기까지 올라가면서 사일로를 두 바퀴 완전히 감는다.; 선택지(제곱피트): (A) $120$, (B) $180$, (C) $240$, (D) $360$, (E) $480$.

구하는 것: 빨간 띠의 넓이(제곱피트).

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기

띠는 사일로의 곡면 위에 있어서 곧바로 재기가 까다롭다. 핵심 아이디어는 사일로를 세로로 갈라서 옆면을 높이 $80$피트인 평평한 종이로 펼치는 것이다(도구 #17) — 곡면을 평평하게 펴도 늘어나지 않으므로 넓이는 모두 보존된다. 펼친 종이 위에서 나선 띠는 기울어진 띠, 곧 평행사변형이 되지만 어느 높이에서든 여전히 폭이 $3$피트이다. 그다음 기울기와 씨름하는 대신, 나선 없이 곧장 위로 올라가는 훨씬 쉬운 경우 — 그냥 $3$ 곱하기 $80$짜리 직사각형 — 과 비교한다(도구 #9). 평행사변형은 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형과 넓이가 같으므로, 나선도 감은 횟수도 사일로의 지름도 모두 방해용 정보로 드러난다.

실행 — 정답: C

#17 공간 상상하기 7.G.B.6 단계 1

사일로를 갈라 평평하게 펴기

띠는 사일로의 곡면 위에 있어서 그대로는 재기 어렵다.
사일로를 세로선 하나를 따라 곧게 자르고, 캔에서 라벨을 떼어 책상에 눕히듯 옆면을 평평하게 펼친다고 상상하자.
이렇게 펴도 면은 늘어나거나 눌리지 않으므로 넓이는 모두 그대로다.
그 결과는 높이가 $80$피트 — 사일로의 높이 — 인 평평한 직사각형이다.

$$\text{펼친 옆면} = \text{높이 } 80\text{피트인 직사각형}$$

💡 곡면을 늘이지 않고 평평하게 펴면 넓이는 그대로 유지되어, 어려운 곡면이 쉬운 평면으로 바뀐다.

#17 공간 상상하기 6.G.A.1 단계 2

나선이 기울어진 띠가 된다

띠는 올라가면서 사일로를 따라 옆으로도 미끄러지므로, 펼친 종이 위에서는 기울어진 띠 — 평행사변형 — 이 된다.
하지만 그 폭은 결코 변하지 않는다.
"가로 폭 $3$피트"란 어느 높이에서든 띠를 수평으로 자르면 그 길이가 항상 $3$피트라는 뜻이다.
그래서 기울어진 띠는 $80$피트 종이를 따라 위로 올라가는 내내 폭이 $3$피트이다.

$$\text{가로 폭} = 3\text{피트 (모든 높이에서)}$$

💡 이 띠는 평행사변형이다: 어느 높이에서든 폭은 똑같이 $3$피트이고, 올라가며 옆으로 밀렸을 뿐이다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.G.A.1 단계 3

$3 \times 80$ 직사각형으로 곧게 펴기

평행사변형은 같은 밑변과 같은 높이를 가진 직사각형과 넓이가 같다 — 수평으로 자른 조각들을 옆으로 밀어 나란히 맞춰도 넓이는 더해지거나 사라지지 않는다.
그래서 기울어진 띠는 나선 없이 곧장 위로 올라가는 띠, 곧 폭 $3$피트에 높이 $80$피트인 직사각형과 정확히 같은 넓이를 덮는다.
이것이 두 바퀴 감은 것이 전혀 상관없는 이유다.

$$\text{넓이} = \text{밑변} \times \text{높이} = 3 \times 80$$

💡 폭이 같은 수평 조각들의 더미를 옆으로 밀면 전체 넓이는 그대로인 채 그냥 직사각형으로 채워진다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 4

곱해서 넓이 구하기

넓이는 폭 곱하기 높이이다: $3 \times 80 = 240$ 제곱피트.
지름 $30$피트와 두 바퀴 감은 것은 계산에 전혀 들어오지 않았다 — 방해하려고 놓아둔 정보였다.
띠의 넓이는 $240$ 제곱피트이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$3 \times 80 = 240 \text{ 제곱피트}$$

💡 띠가 일단 그냥 직사각형이 되면 넓이는 단순히 폭 곱하기 높이다.

[1] #17 7.G.B.6 띠는 사일로의 곡면 위에 있어서 그대로는 재기 어렵다. 사일로를 세로선 하나를 따라 곧게 자르고, 캔에서 라벨을 떼어 책상에 눕히듯 옆면을 평평

[2] #17 6.G.A.1 띠는 올라가면서 사일로를 따라 옆으로도 미끄러지므로, 펼친 종이 위에서는 기울어진 띠 — 평행사변형 — 이 된다. 하지만 그 폭은 결코 변하지

[3] #9 6.G.A.1 평행사변형은 같은 밑변과 같은 높이를 가진 직사각형과 넓이가 같다 — 수평으로 자른 조각들을 옆으로 밀어 나란히 맞춰도 넓이는 더해지거나 사라지

[4] #9 4.NBT.B.5 넓이는 폭 곱하기 높이이다: $3 \times 80 = 240$ 제곱피트. 지름 $30$피트와 두 바퀴 감은 것은 계산에 전혀 들어오지 않았다

검토

합리성 확인: 띠는 폭 $3$피트에 높이 $80$피트 전체를 지나므로 $240$ 제곱피트 — 바로 $3 \times 80$ — 는 사일로 옆면의 작은 일부만 쓰는 얇은 띠로서 합리적인 크기다. 매력적인 오답들은 모두 방해용 숫자를 잘못 쓴 결과다: (E) $480$은 두 바퀴가 넓이를 두 배로 만든 것처럼 $240$을 두 배로 한 값이고, (A) $120$은 $240$을 반으로 나눈 값이며, (D) $360$은 진짜 세로 높이 $80$ 대신 $3$에 기울어진 빗변 길이를 곱한 값이다. 폭 곱하기 높이 논리는 기울기와 지름을 무시하고 깔끔하게 (C) $240$에 이른다.

대안 접근: 띠를 아주 얇은 수평 조각들을 높이 쌓은 더미로 생각하자. 어느 높이에서든 조각의 폭은 $3$피트이고, 그 조각들은 바닥에서 꼭대기까지 $80$피트 내내 쌓인다. 각 얇은 조각이 아래 조각 바로 위에 놓이든(곧은 띠) 옆으로 밀리든(나선 띠), 조각을 옆으로 미는 것은 크기를 바꾸지 않으므로 조각들의 전체 넓이는 완전히 같다. 이를 모두 더하면 다시 $3 \times 80 = 240$ 제곱피트가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피가 포함된 실생활 문제 해결하기 (사일로의 곡면을 넓이를 바꾸지 않고 평평한 직사각형으로 펼쳐서 띠를 평면 위에서 잴 수 있게 한 것.)
6.G.A.1 합성과 분해로 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (펼친 띠를 평행사변형으로 보고, 그것이 같은 밑변($3$)과 높이($80$)를 가진 직사각형과 넓이가 같음을 이용한 것.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수에 한 자리 자연수 곱하기 (직사각형의 넓이 $3 \times 80 = 240$ 제곱피트를 계산한 것.)

⭐ 곡면을 평평하게 펼치면 기울어진 띠는 폭과 높이가 같은 곧은 띠와 넓이가 같으니, 그냥 폭 곱하기 높이면 된다.