AMC 10 · 2004 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

spatial-visualizationarea-rectangles reflection-unfoldingeasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

원기둥 모양의 사일로가 지름 30피트, 높이 80피트이다. 가로 폭이 3피트인 빨간 띠가 바깥면을 따라 나선을 그리며 올라가는데, 바닥에서 꼭대기까지 오르는 동안 사일로를 정확히 두 바퀴 감는다. 이 띠의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

180

(C)

240

(D)

360

(E)

480

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

띠는 사일로의 곡면 위에 있어서 곧바로 재기가 까다롭다. 핵심 아이디어는 사일로를 세로로 갈라서 옆면을 높이 80피트인 평평한 종이로 펼치는 것이다(도구 #17) — 곡면을 평평하게 펴도 늘어나지 않으므로 넓이는 모두 보존된다. 펼친 종이 위에서 나선 띠는 기울어진 띠, 곧 평행사변형이 되지만 어느 높이에서든 여전히 폭이 3피트이다. 그다음 기울기와 씨름하는 대신, 나선 없이 곧장 위로 올라가는 훨씬 쉬운 경우 — 그냥 3 곱하기 80짜리 직사각형 — 과 비교한다(도구 #9). 평행사변형은 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형과 넓이가 같으므로, 나선도 감은 횟수도 사일로의 지름도 모두 방해용 정보로 드러난다.

1STEP 1

사일로를 갈라 평평하게 펴기

사일로를 세로로 갈라 옆면을 펼치면 늘어남 없이 넓이가 보존된 높이 80피트 직사각형이 된다.

펼친 옆면 = 높이 80피트인 직사각형

2STEP 2

나선이 기울어진 띠가 된다

올라가며 옆으로 밀린 띠는 기울어진 평행사변형이 되지만, 어느 높이에서든 폭은 여전히 3피트이다.

가로 폭 = 3피트 (모든 높이에서)

3STEP 3

3 × 80 직사각형으로 곧게 펴기

평행사변형은 밑변과 높이가 같은 직사각형과 넓이가 같으므로, 이 띠는 3 × 80 직사각형과 같다.

넓이 = 밑변 × 높이 = 3 × 80

4STEP 4

곱해서 넓이 구하기

폭 × 높이 = 3 × 80 = 240 제곱피트. 지름 30과 두 바퀴는 계산에 전혀 쓰이지 않았다.

3 × 80 = 240 제곱피트

정답

240

띠는 폭 3피트에 높이 80피트 전체를 지나므로 240 제곱피트 — 바로 3 × 80 — 는 사일로 옆면의 작은 일부만 쓰는 얇은 띠로서 합리적인 크기다. 매력적인 오답들은 모두 방해용 숫자를 잘못 쓴 결과다: (E) 480은 두 바퀴가 넓이를 두 배로 만든 것처럼 240을 두 배로 한 값이고, (A) 120은 240을 반으로 나눈 값이며, (D) 360은 진짜 세로 높이 80 대신 3에 기울어진 빗변 길이를 곱한 값이다. 폭 곱하기 높이 논리는 기울기와 지름을 무시하고 깔끔하게 (C) 240에 이른다.

💡핵심 정리

곡면을 평평하게 펼치면 기울어진 띠는 폭과 높이가 같은 곧은 띠와 넓이가 같으니, 그냥 폭 곱하기 높이면 된다.

사일로를 갈라 평평하게 펴기
나선이 기울어진 띠가 된다
3 × 80 직사각형으로 곧게 펴기
곱해서 넓이 구하기

사일로를 갈라 평평하게 펴기

나선이 기울어진 띠가 된다

3 × 80 직사각형으로 곧게 펴기

곱해서 넓이 구하기

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