AMC 10 · 2002 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

스팟의 개집은 밑면이 한 변의 길이가 $1$ 야드인 정육각형이다. 스팟은 길이가 $2$ 야드인 밧줄로 개집의 한 꼭짓점에 묶여 있다. 스팟이 닿을 수 있는 개집 바깥 영역의 넓이는 몇 제곱야드인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi/3$

(B)

$2\pi$

(C)

$5\pi/2$

(D)

$8\pi/3$

(E)

$3\pi$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개집의 바닥은 한 변이 $1$야드인 정육각형이다. 개는 한 꼭짓점에 길이 $2$야드짜리 줄로 묶여 있다. 이 줄로 개가 개집 바깥에서 닿을 수 있는 땅의 전체 넓이를 구하여라.

주어진 것: 바닥은 한 변의 길이가 $1$야드인 정육각형이다; 정육각형의 한 내각은 $120^\circ$이다; 줄은 한 꼭짓점에 묶여 있고 길이는 $2$야드이다; 개집 바깥 영역만 센다; 선택지: (A) $2\pi/3$, (B) $2\pi$, (C) $5\pi/2$, (D) $8\pi/3$, (E) $3\pi$

구하는 것: 개가 줄로 닿을 수 있는 육각형 바깥 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

닿는 영역이 이상한 모양이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 쉽게 구할 수 있는 부채꼴 조각들로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)은 각을 확정해 준다. 묶인 꼭짓점에서는 개집이 회전의 일부를 막고, 줄은 두 이웃 꼭짓점을 돌아 나갈 수 있다. 도구 #17(공간 상상하기)은 줄이 꼭짓점을 돌고 난 뒤 얼마나 남는지, 그리고 얼마나 더 돌 수 있는지를 따라간다. 부채꼴들을 더해 전체를 구한다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 1

묶인 꼭짓점에서 줄 돌리기

줄이 묶인 꼭짓점에 서 보자.
그곳에서 개집은 내각을 차지하는데, 정육각형에서는 $120^\circ$이다.
줄은 그 나머지 부분을 모두 돌 수 있으므로 온전한 $2$야드 길이로 $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$를 쓸어낸다.
이 $240^\circ$는 원 전체의 $\tfrac{240}{360} = \tfrac{2}{3}$이다.

$$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ = \text{원의 }\tfrac{2}{3}$$

💡 벽이 $120^\circ$ 모서리를 차지하므로 줄은 남은 $240^\circ$를 자유롭게 쓸어낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

큰 부채꼴의 넓이

반지름 $2$인 원 전체의 넓이는 $\pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$이다.
개는 그 원의 $\tfrac{2}{3}$만 쓸 수 있으므로 이 주된 조각의 넓이는 $\tfrac{2}{3}\times 4\pi = \tfrac{8\pi}{3}$이다.

$$\tfrac{2}{3}\times \pi(2)^2 = \tfrac{2}{3}\times 4\pi = \tfrac{8\pi}{3}$$

💡 원 넓이의 일부를 구하는 것은 그 분수에 $\pi r^2$를 곱하는 것일 뿐이다.

#17 공간 상상하기 4.MD.C.7 단계 3

이웃 꼭짓점마다 줄이 감김

줄을 한 변을 따라 곧게 다음 꼭짓점까지 당겨 보자.
$1$야드를 쓰고 $2 - 1 = 1$야드가 남는다.
남은 줄은 이제 이 꼭짓점을 돌아 계속 쓸어낼 수 있다.
변을 따라 곧게 들어와서 다음 벽이 막을 때까지 돌 수 있는데, 벽이 윤곽을 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$만큼 꺾으므로 남은 줄은 반지름 $1$의 $60^\circ$ 부채꼴을 쓸어낸다.
반대쪽 이웃 꼭짓점에서도 같은 일이 일어나 두 번째 $60^\circ$ 부채꼴이 생긴다.

$$2 - 1 = 1\text{ yd 남음};\quad 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\text{ 각각}$$

💡 꼭짓점을 지나면 줄이 짧아지고 다음 벽이 막기 전까지 작은 쐐기만 열린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 작은 부채꼴의 넓이

각 작은 부채꼴은 반지름 $1$인 원의 $\tfrac{60}{360} = \tfrac{1}{6}$이고, 그 원 전체의 넓이는 $\pi(1)^2 = \pi$이다.
따라서 각 작은 부채꼴은 $\tfrac{1}{6}\pi = \tfrac{\pi}{6}$이고, 두 개가 있으니 $2\times \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\pi}{3}$이다.

$$2\times \tfrac{1}{6}\,\pi(1)^2 = 2\times\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\pi}{3}$$

💡 단위원의 $60^\circ$ 조각 두 개는 합쳐서 $120^\circ$ 조각, 곧 원의 $\tfrac{1}{3}$이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

모든 조각 더하기

큰 부채꼴과 두 작은 부채꼴을 합치면 $\tfrac{8\pi}{3} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{9\pi}{3} = 3\pi$이다.
이것이 개가 개집 바깥에서 닿을 수 있는 전체 넓이이므로 답은 (E)이다.

$$\tfrac{8\pi}{3} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{9\pi}{3} = 3\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 영역들이 겹치지 않으므로 닿는 전체 넓이는 그 넓이들을 그냥 더한 것이다.

[1] #1 4.MD.C.7 줄이 묶인 꼭짓점에 서 보자. 그곳에서 개집은 내각을 차지하는데, 정육각형에서는 $120^\circ$이다. 줄은 그 나머지 부분을 모두 돌 수

[2] #7 7.G.B.4 반지름 $2$인 원 전체의 넓이는 $\pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$이다. 개는 그 원의 $\tfrac{2}{3}$만 쓸 수 있

[3] #17 4.MD.C.7 줄을 한 변을 따라 곧게 다음 꼭짓점까지 당겨 보자. $1$야드를 쓰고 $2 - 1 = 1$야드가 남는다. 남은 줄은 이제 이 꼭짓점을 돌아 계

[4] #7 7.G.B.4 각 작은 부채꼴은 반지름 $1$인 원의 $\tfrac{60}{360} = \tfrac{1}{6}$이고, 그 원 전체의 넓이는 $\pi(1)^2

[5] #7 7.G.B.6 큰 부채꼴과 두 작은 부채꼴을 합치면 $\tfrac{8\pi}{3} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{9\pi}{3} = 3\pi$

검토

합리성 확인: 대략 확인해 보자. 주된 $240^\circ$ 부분만 해도 $\tfrac{8\pi}{3}\approx 8.4$이고, 두 작은 감김이 약 $1.0$을 더해 $3\pi\approx 9.4$ 근처가 된다. 감아 도는 조각들이 실제로 넓이를 더하므로 전체는 $\tfrac{8\pi}{3}$(선택지 D)보다 커야 하고, 선택지 중 $\tfrac{8\pi}{3}$보다 큰 것은 $3\pi$뿐이다. 따라서 답은 (E)로 확정된다.

대안 접근: 넓이 대신 각을 먼저 합칠 수도 있다. 전체 쓸어냄은 반지름 $2$에서 $240^\circ$와 반지름 $1$에서 $60^\circ$ 호 두 개이다. 원의 분수로 쓰면 $\tfrac{2}{3}(4\pi) + \tfrac{1}{3}(\pi) = \tfrac{8\pi}{3}+\tfrac{\pi}{3} = 3\pi$로 같은 결과를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (각 쓸어낸 영역을 원 넓이 $\pi r^2$의 분수로 계산: 반지름 $2$의 $\tfrac{2}{3}$ 부채꼴과 반지름 $1$의 $\tfrac{1}{6}$ 부채꼴.)
4.MD.C.7 각의 크기가 더해짐을 알고 덧셈과 뺄셈 문제 풀기 (쓸어내는 각 구하기: 묶인 꼭짓점에서 $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$, 각 이웃 꼭짓점에서 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피와 관련된 실생활 문제 풀기 (겹치지 않는 부채꼴 넓이 $\tfrac{8\pi}{3} + \tfrac{\pi}{3} = 3\pi$를 더해 닿는 전체 영역 구하기.)

⭐ 줄이 한 변보다 길어서 꼭짓점을 감아 돌 때는, 줄이 덮는 공간을 원 조각들로 쪼개라 — 묶인 곳의 큰 조각에 줄이 감기는 작은 조각들을 더하면 된다.