AMC 10 · 2002 · #25

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
pythagorean-theoremarea-trianglesinteger-pythagorean-triples identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
사다리꼴 ABCD에서 평행한 두 변(밑변)은 AB=52, CD=39이고, 빗변(다리)은 BC=12, DA=5이다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
182
(B)
195
(C)
210
(D)
234
(E)
260

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

빠진 조각은 높이다. 높이를 구하면 넓이 공식으로 바로 끝난다. 높이를 구하려면 위쪽 두 꼭짓점 C와 D에서 아래 밑변 AB로 수직선을 내린다. 그러면 사다리꼴이 가운데 직사각형(폭 39, CD와 같음)과 양 끝의 직각삼각형 두 개로 나뉜다. 빗변 5와 12가 이 두 삼각형의 빗변이 되고, 아래쪽 두 수평 밑변이 합쳐서 남은 52-39=13을 채운다. 왼쪽 밑변을 x, 공통 높이를 h로 이름 붙이면(도구 #4) 각 직각삼각형이 피타고라스 방정식이 된다. 방정식 두 개, 미지수 두 개 — h를 구한 뒤 넓이 공식에 넣으면 된다.

1STEP 1

수직선을 내려 직각삼각형 만들기

D와 C에서 AB로 수직선을 내리면 가운데 PQCD는 PQ=39인 직사각형이고, 양 끝 직각삼각형이 13을 나눠 갖는다.

PQ=CD=39, AP+QB=52-39=13
2STEP 2

부분에 이름 붙이고 피타고라스 쓰기

AP=x라 하면 QB=13-x이고, 두 삼각형은 높이 h가 같으므로 x²+h²=25, (13-x)²+h²=144이다.

x²+h²=5²=25 (13-x)²+h²=12²=144
3STEP 3

빼서 수평 밑변 구하기

두 식을 빼면 h²과 x²이 함께 지워지고 169-26x=119만 남아 x=25/13이다.

(169-26x+x²)-x² = 119 → 169-26x=119 → x=50/26=25/13
4STEP 4

높이 구하기

x²+h²=25에 되넣으면 h²=25-625/169=3600/169이고, 높이는 양수이므로 h=60/13이다.

h² = 25-625/169 = 3600/169 → h=60/13
5STEP 5

넓이 공식 적용하기

밑변 합 52+39=91의 절반에 60/13을 곱하면, 91=7×13이라 분모가 약분되어 210, 곧 (C)이다.

넓이=1/2(52+39)·60/13=1/2 · 91·60/13=1/2 · 7 · 60=210 → (C)
정답
210
높이 h=60/13≈4.6은 두 빗변(5와 12)보다 짧은데, 이는 반드시 그래야 한다. 기울어진 빗변은 항상 자신이 가로지르는 수직 간격보다 길거나 같기 때문이다. 결과 210은 선택지 한가운데에 있고 정수인데, 다섯 선택지가 모두 정수라는 사실과 맞는다. 빠른 범위 확인: 높이가 4.6쯤일 때 넓이는 1/2(91)(4)=182와 1/2(91)(5)=227.5 사이여야 하고, 210은 그 안에 정확히 들어온다. 선택지 (E) 260은 높이가 520/91≈5.7이어야 하는데, 이는 짧은 빗변 5보다 크므로 불가능하다 — 함정이다.
💡핵심 정리

사다리꼴의 넓이를 구하려면 짧은 밑변에서 수직선을 내려 직각삼각형을 만들고, 피타고라스 정리로 높이를 구한 다음, 두 밑변을 평균 내어 곱하면 된다.

  • 수직선을 내려 직각삼각형 만들기
  • 부분에 이름 붙이고 피타고라스 쓰기
  • 빼서 수평 밑변 구하기
  • 높이 구하기
  • 넓이 공식 적용하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.