AMC 10 · 2002 · #25
학년 8 geometry-2d사다리꼴 ABCD 에서 밑변이 AB 와 CD 이고 AB=52, BC=12, CD=39, DA=5 이다. ABCD 의 넓이는
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$에서 평행한 두 변(밑변)은 $AB=52$, $CD=39$이고, 빗변(다리)은 $BC=12$, $DA=5$이다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 두 밑변은 평행하다: $AB=52$, $CD=39$; 두 빗변은 $BC=12$, $DA=5$; 사다리꼴의 넓이 $=\tfrac{1}{2}(\text{밑변}_1+\text{밑변}_2)\times\text{높이}$; 선택지: (A) $182$, (B) $195$, (C) $210$, (D) $234$, (E) $260$
구하는 것: 두 밑변 사이의 수직 거리(높이); 사다리꼴 $ABCD$의 넓이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$에서 평행한 두 변(밑변)은 $AB=52$, $CD=39$이고, 빗변(다리)은 $BC=12$, $DA=5$이다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 두 밑변은 평행하다: $AB=52$, $CD=39$; 두 빗변은 $BC=12$, $DA=5$; 사다리꼴의 넓이 $=\tfrac{1}{2}(\text{밑변}_1+\text{밑변}_2)\times\text{높이}$; 선택지: (A) $182$, (B) $195$, (C) $210$, (D) $234$, (E) $260$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
빠진 조각은 높이다. 높이를 구하면 넓이 공식으로 바로 끝난다. 높이를 구하려면 위쪽 두 꼭짓점 $C$와 $D$에서 아래 밑변 $AB$로 수직선을 내린다. 그러면 사다리꼴이 가운데 직사각형(폭 $39$, $CD$와 같음)과 양 끝의 직각삼각형 두 개로 나뉜다. 빗변 $5$와 $12$가 이 두 삼각형의 빗변이 되고, 아래쪽 두 수평 밑변이 합쳐서 남은 $52-39=13$을 채운다. 왼쪽 밑변을 $x$, 공통 높이를 $h$로 이름 붙이면(도구 #4) 각 직각삼각형이 피타고라스 방정식이 된다. 방정식 두 개, 미지수 두 개 — $h$를 구한 뒤 넓이 공식에 넣으면 된다.
실행 — 정답: C
6.G.A.1 단계 1 수직선을 내려 직각삼각형 만들기
- $D$와 $C$에서 아래 밑변 $AB$로 수직선을 내려 각각 점 $P$, $Q$에 닿게 한다.
- 가운데 조각 $PQCD$는 직사각형이므로 $PQ=CD=39$이다.
- 그러면 양 끝 조각 $AP$와 $QB$가 남은 길이 $AB-PQ=52-39=13$을 나누어 갖는다.
- 각 끝 조각은 직각삼각형이다: 왼쪽은 빗변이 $DA=5$, 오른쪽은 빗변이 $BC=12$이며, 둘 다 같은 수직 높이 $h$(사다리꼴의 높이)를 갖는다.
💡 짧은 밑변에서 곧장 아래로 자르면 기울어진 사다리꼴이 재기 쉬운 직사각형과 직각삼각형 두 개로 바뀐다.
8.G.B.7 단계 2 부분에 이름 붙이고 피타고라스 쓰기
- 왼쪽 수평 밑변을 $AP=x$라 하면 오른쪽 밑변은 $QB=13-x$이다.
- 두 삼각형 모두 같은 높이 $h$만큼 올라간다.
- 각 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한다: 왼쪽 삼각형은 두 변 $x$와 $h$가 빗변 $5$를 이루고, 오른쪽 삼각형은 두 변 $13-x$와 $h$가 빗변 $12$를 이룬다.
💡 각 기울어진 빗변은 직각삼각형의 빗변이므로, 그 길이의 제곱은 수평 거리의 제곱과 높이의 제곱을 더한 값이다.
8.EE.C.7 단계 3 빼서 수평 밑변 구하기
- 두 방정식 모두 $h^2$을 포함하므로, 두 번째에서 첫 번째를 빼면 $h^2$이 사라진다.
- $x^2$ 항도 함께 지워져서 $x$에 대한 일차방정식만 남는다: $(13-x)^2-x^2=144-25$.
- $(13-x)^2=169-26x+x^2$을 전개하면 좌변은 $169-26x$가 된다.
- 따라서 $169-26x=119$, 곧 $26x=50$, $x=\tfrac{25}{13}$이다.
💡 두 방정식을 빼면 높이가 지워지므로 남는 미지수는 수평 거리뿐이다.
8.G.B.7 단계 4 높이 구하기
- $x=\tfrac{25}{13}$을 첫 번째 방정식 $x^2+h^2=25$에 다시 넣는다.
- $x^2=\tfrac{625}{169}$이므로 $h^2=25-\tfrac{625}{169}=\tfrac{4225-625}{169}=\tfrac{3600}{169}$이다.
- 제곱근을 취하면 $h=\tfrac{60}{13}$이다(높이는 양수).
💡 수평 거리를 알면 피타고라스가 수직 높이를 곧바로 돌려준다.
6.G.A.1 단계 5 넓이 공식 적용하기
- 사다리꼴의 넓이는 두 밑변의 합의 절반에 높이를 곱한 값이다.
- 두 밑변의 합은 $52+39=91$이고, $91=7\times13$이므로 $h=\tfrac{60}{13}$의 분모 $13$과 깔끔하게 약분된다: $\text{넓이}=\tfrac{1}{2}\times91\times\tfrac{60}{13}=\tfrac{1}{2}\times7\times60=210$.
- 따라서 넓이는 $210$, 선택지 (C)이다.
💡 두 밑변 길이를 평균 내어 높이를 곱하면 사다리꼴의 넓이가 한 번에 나온다.
6.G.A.1 $D$와 $C$에서 아래 밑변 $AB$로 수직선을 내려 각각 점 $P$, $Q$에 닿게 한다. 가운데 조각 $PQCD$는 직사각형이므로 $PQ= 8.G.B.7 왼쪽 수평 밑변을 $AP=x$라 하면 오른쪽 밑변은 $QB=13-x$이다. 두 삼각형 모두 같은 높이 $h$만큼 올라간다. 각 직각삼각형에 피타 8.EE.C.7 두 방정식 모두 $h^2$을 포함하므로, 두 번째에서 첫 번째를 빼면 $h^2$이 사라진다. $x^2$ 항도 함께 지워져서 $x$에 대한 일차방 8.G.B.7 $x=\tfrac{25}{13}$을 첫 번째 방정식 $x^2+h^2=25$에 다시 넣는다. $x^2=\tfrac{625}{169}$이므로 $h^ 6.G.A.1 사다리꼴의 넓이는 두 밑변의 합의 절반에 높이를 곱한 값이다. 두 밑변의 합은 $52+39=91$이고, $91=7\times13$이므로 $h=\ 검토
합리성 확인: 높이 $h=\tfrac{60}{13}\approx4.6$은 두 빗변($5$와 $12$)보다 짧은데, 이는 반드시 그래야 한다. 기울어진 빗변은 항상 자신이 가로지르는 수직 간격보다 길거나 같기 때문이다. 결과 $210$은 선택지 한가운데에 있고 정수인데, 다섯 선택지가 모두 정수라는 사실과 맞는다. 빠른 범위 확인: 높이가 $4.6$쯤일 때 넓이는 $\tfrac{1}{2}(91)(4)=182$와 $\tfrac{1}{2}(91)(5)=227.5$ 사이여야 하고, $210$은 그 안에 정확히 들어온다. 선택지 (E) $260$은 높이가 $\tfrac{520}{91}\approx5.7$이어야 하는데, 이는 짧은 빗변 $5$보다 크므로 불가능하다 — 함정이다.
대안 접근: 빗변 $DA$와 $CB$를 위로 연장하여 점 $P$에서 만나게 한다. $CD\parallel AB$이므로 삼각형 $PDC$는 삼각형 $PAB$와 닮음이고 닮음비는 $CD:AB=39:52=3:4$이다. $PD:PA=3:4$이고 $PA-PD=DA=5$에서 $PA=20$, $PC:PB=3:4$이고 $PB-PC=CB=12$에서 $PB=48$을 얻는다. 그러면 삼각형 $PAB$는 세 변이 $20$, $48$, $52$이고, $20^2+48^2=400+2304=2704=52^2$이므로 넓이 $\tfrac{1}{2}\cdot20\cdot48=480$인 직각삼각형이다. 작은 삼각형 $PDC$의 넓이는 $(3/4)^2\cdot480=270$이므로 사다리꼴은 $480-270=210$ — 같은 답 (C)이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (사다리꼴을 직사각형과 직각삼각형 두 개로 나누고, 사다리꼴 넓이 공식 $\tfrac{1}{2}(b_1+b_2)h=210$으로 마무리하는 데 사용.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (양 끝 삼각형에 대해 $x^2+h^2=25$와 $(13-x)^2+h^2=144$를 세우고 $h=\tfrac{60}{13}$을 되찾는 데 사용.)8.EE.C.7Solve linear equations in one variable (두 피타고라스 방정식을 빼서 $h^2$을 소거하고 $169-26x=119$를 풀어 $x=\tfrac{25}{13}$을 구하는 데 사용.)
⭐ 사다리꼴의 넓이를 구하려면 짧은 밑변에서 수직선을 내려 직각삼각형을 만들고, 피타고라스 정리로 높이를 구한 다음, 두 밑변을 평균 내어 곱하면 된다.
⭐ 사다리꼴의 넓이를 구하려면 짧은 밑변에서 수직선을 내려 직각삼각형을 만들고, 피타고라스 정리로 높이를 구한 다음, 두 밑변을 평균 내어 곱하면 된다.
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