AMC 10 · 2002 · #17
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
삼각형이 이름표만으로는 정확한 위치를 그리기 어려운 도형 안에 놓여 있으므로, 핵심 수는 도구 #1 (그림 그리기)이다: 팔각형을 좌표 위에 고정해 모든 꼭짓점의 주소를 알아낸다. 그 좌표를 깔끔하게 얻는 방법은 도구 #17 (공간 상상하기)로, 정팔각형을 정사각형의 네 모서리를 잘라낸 모양으로 보는 것이다. A, D, G의 좌표를 얻고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 가로 밑변과 세로 높이라는 쉬운 두 조각으로 나눈다.
정사각형에서 팔각형 잘라내기
정사각형의 네 모서리를 직각이등변삼각형으로 자른다. 빗변이 2이므로 각 직각변은 √2이다.
정팔각형은 정사각형에서 합동인 직각삼각형 모서리를 깎아낸 것이고, 깎인 각 변이 그 삼각형의 빗변이다.
정팔각형은 정사각형에서 같은 직각삼각형 구석을 깎아 낸 것이다.
▸ 왜?
팔각형은 정사각형에서 그 네 구석 조각을 뺀 것 그대로이므로, 넓이와 길이가 다시 맞아떨어진다.
▸ 왜?
깎인 각 변은 그 구석 삼각형의 빗변이므로, 길이가 같은 두 변에서 나온다.
모든 꼭짓점을 좌표로 놓기
정사각형 한 변은 2 + 2√2이므로 A=(√2, 0), D=(2√2+2, √2+2), G=(0, √2+2)이다.
팔각형을 정사각형에서 모서리를 뺀 모양으로 보면, 각 꼭짓점 주소는 변의 길이 2와 모서리 변 √2로 만들어진다.
6.G.A.3Draw A Diagram밑변과 높이 읽어내기
D와 G는 높이가 같으니 밑변 DG는 2√2+2이고, A는 y=0이므로 높이는 √2+2이다.
높이가 같은 두 점은 평평한 밑변을 만들고, 세 번째 점이 거기까지 떨어진 세로 거리가 높이다.
6.G.A.3Identify Subproblems넓이 계산 마무리하기
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다. (2√2+2)(√2+2) = 8 + 6√2이고 그 절반은 4 + 3√2, 즉 (C)이다.
밑변 곱하기 높이의 절반은 길이에 √2가 들어 있어도 그대로 통한다 — 조심스럽게 전개하면 된다.
6.G.A.1Identify Subproblems정팔각형을 모서리를 깎아낸 정사각형으로 보고 좌표에 놓으면, 어떤 삼각형이든 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반일 뿐이다.
- 정사각형에서 팔각형 잘라내기
- 모든 꼭짓점을 좌표로 놓기
- 밑변과 높이 읽어내기
- 넓이 계산 마무리하기
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