AMC 10 · 2003 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescircular-sectorequilateral-triangle identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

지름이 1인 작은 반원이 지름이 2인 큰 반원 위에 놓여 있다. 작은 반원의 평평한 변은 큰 반원의 현이고, 그 양 끝점은 모두 큰 호 위에 있다. 초승달(lune)은 작은 반원의 안쪽이면서 큰 반원의 바깥쪽인 영역이다. 그 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}\pi-\frac{\sqrt{3}}{4}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{12}\pi$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{24}\pi$

(D)

$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{24}\pi$

(E)

$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{12}\pi$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

초승달은 양쪽 변이 모두 곡선이라 하나의 공식으로 넓이를 구할 수 없다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 모양을 넓이를 아는 조각들 — 반원, 부채꼴, 삼각형 — 으로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 사실을 드러낸다: 작은 반원의 곧은 변이 큰 원의 현이고, 그 양 끝에 큰 원의 두 반지름을 그으면 삼각형이 나타난다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 접근 틀을 준다: 이상한 초승달을 직접 쫓는 대신, 작은 반원 전체를 잡고 그중 큰 원 안으로 파고든 한 조각만 빼는 것이다. 그 조각은 넓이를 잴 수 있는 평범한 활꼴이다.

1STEP 1

두 반지름 정하기

지름을 반으로: 반지름은 R=1과 r=1/2이다. 곧은 변(길이 1)은 큰 원의 현이다.

R=2/2=1, r=1/2

2STEP 2

작은 반원의 넓이

반원 넓이는 1/2π r²이므로 r=1/2이면 π/8이다. 초승달은 여기서 큰 반원과 겹친 부분을 뺀 것이다.

작은 반원=1/2π r²=1/2π(1/2)²=π/8

3STEP 3

베어낼 조각의 이름: 활꼴

겹치는 부분은 현 위쪽 큰 원의 활꼴이므로, 초승달은 작은 반원에서 이 활꼴을 뺀 것이다.

초승달=π/8-(현 위쪽 큰 원의 활꼴)

4STEP 4

현이 큰 반지름과 같으므로 각은 60도

현의 양 끝에 큰 반지름을 그으면 한 변이 1인 정삼각형이라 중심각은 60°, 부채꼴은 π/6이다.

부채꼴=60°/360° π R²=1/6π(1)²=π/6

5STEP 5

활꼴 = 부채꼴 − 삼각형

활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것이다. 정삼각형 넓이가 √3/4이므로 활꼴은 π/6-√3/4이다.

활꼴=부채꼴-삼각형=π/6-√3/4

6STEP 6

초승달 조립하기

빼면 π/8-(π/6-√3/4)=3π/24-4π/24+√3/4이므로 초승달은 √3/4-π/24, 즉 (C)이다.

초승달=π/8-π/6+√3/4=√3/4-π/24 → (C)

정답

√(3)/4-1/24π

초승달은 얇은 초승달 모양이므로, 넓이는 작은 반원 전체보다 조금 작고 분명히 양수여야 한다. 수치로 √3/4-π/24≈ 0.433-0.131=0.302이고, 작은 반원은 π/8≈ 0.393이다 — 작은 활꼴을 잘라낸 만큼 초승달이 조금 작아, 예상과 정확히 맞는다. 선택지 (A)는 음수(≈-0.09)라 넓이가 될 수 없고, (B) ≈ 0.171은 너무 작으며, (C) ≈ 0.302가 맞는다.

💡핵심 정리

초승달은 작은 반원에서 큰 원과 겹치는 조각을 뺀 것이고, 곧은 변이 큰 반지름과 같으므로 그 조각은 정삼각형을 떼어낸 60° 부채꼴이라 √3/4-π/24가 남는다.

두 반지름 정하기
작은 반원의 넓이
베어낼 조각의 이름: 활꼴
현이 큰 반지름과 같으므로 각은 60도
활꼴 = 부채꼴 − 삼각형
초승달 조립하기