AMC 10 · 2003 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

area-circlescircular-sectorequilateral-triangle complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 2인 큰 반원이 지름 AB 위에 놓여 있다. 같은 지름 위에 반지름 1인 작은 반원 세 개가 평평한 변을 AB에 대고 세워져 있으며, 세 중심이 AB를 길이가 같은 네 조각으로 나눈다. 큰 반원 안에 있으면서 세 작은 반원 밖에 있는 부분(색칠된 부분)의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi - \sqrt{3}$

(B)

$\pi - \sqrt{2}$

(C)

$\frac{\pi + \sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{\pi +\sqrt{3}}{2}$

(E)

$\frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

색칠된 조각은 네 개의 호로 이루어진 울퉁불퉁한 경계를 가져서 곧바로 재기가 까다롭다. 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)은 문제를 뒤집는다. 색칠된 넓이는 큰 반원 전체에서 작은 반원들이 덮는 흰색 영역을 뺀 것일 뿐이며, 둘 다 다루기 쉬운 둥근 도형이다. 흰색 넓이를 구하려면 겹침을 처리해야 하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 덮인 영역을 반원에서 공통 렌즈를 뺀 것으로, 각 렌즈를 삼각형과 두 활꼴로 쪼갠다. 도구 #1(그림 그리기)로 AB 위에 좌표를 두면 실제로 어느 반원끼리 겹치는지 추적할 수 있다.

1STEP 1

좌표와 기본 넓이 두 개 설정

원점을 AB의 중점에 두면 큰 반원의 넓이는 2π, 작은 반원 각각은 π/2이다.

큰 반원=1/2π(2)²=2π, 작은 반원 각각=1/2π(1)²=π/2

2STEP 2

색칠된 넓이를 뺄셈으로 다시 쓰기

작은 반원은 모두 큰 반원 안에 있으니 색칠=2π-흰색이고, 흰색은 세 반원이 덮는 영역이다.

색칠=2π-흰색

3STEP 3

어느 작은 반원이 겹치는지 살피기

바깥 두 반원은 원점에서 닿기만 하고, 가운데 반원만 양옆과 렌즈로 겹친다: 흰색=3π/2-2L.

흰색=3π/2-2L, L=겹침 렌즈 하나

4STEP 4

겹침 렌즈 하나 재기

반지름 1에 중심 거리도 1이라 겹침은 정삼각형과 60° 활꼴 둘: L=π/3-√3/4.

L=√3/4+2(π/6-√3/4)=π/3-√3/4

5STEP 5

흰색 영역 합하기

세 반원 합 3π/2에서 렌즈 둘을 빼면 흰색=5π/6+√3/2이다.

흰색=3π/2-2π/3+√3/2=5π/6+√3/2

6STEP 6

빼서 색칠된 넓이 구하기

다시 넣으면 색칠=12π/6-(5π/6+√3/2)=7π/6-√3/2로, 선택지 (E)이다.

색칠=2π-(5π/6+√3/2)=7/6π-√3/2→(E)

정답

7/6π - √(3)/2

수치로 7/6π-√3/2≈ 3.665-0.866=2.80이다. 이는 큰 반원 전체 2π≈ 6.28보다 확실히 작고 양수이므로, 실제 넓이로서 타당하다. 흰색 덮개는 약 5π/6+√3/2≈ 2.618+0.866=3.48이고, 6.28-3.48=2.80으로 맞아떨어진다. 선택지 (A), (B)에는 1/6π 항이 없고 (C), (D)는 √( )를 빼지 않고 더하므로, 계산이 요구하는 7/6π와 -√3/2를 모두 담을 수 있는 것은 (E)뿐이다.

💡핵심 정리

가장자리가 복잡한 영역은 전체에서 쉬운 나머지를 빼서 재고, 겹치는 도형은 공유한 넓이를 한 번 빼 줘야 함을 기억하자.

좌표와 기본 넓이 두 개 설정
색칠된 넓이를 뺄셈으로 다시 쓰기
어느 작은 반원이 겹치는지 살피기
겹침 렌즈 하나 재기
흰색 영역 합하기
빼서 색칠된 넓이 구하기