AMC 10 · 2002 · #4

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
logical-deductionif-then-reasoning guess-and-check ↑ 선수 지식: logical-deduction
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
m · n ≤ m+n을 참으로 만드는 양의 정수 n이 적어도 하나 존재하는 양의 정수 m이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
6
(C)
9
(D)
12
(E)
infinitely many

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 추측하고 확인하기

'적어도 하나의 n 이 존재한다' 라는 표현은 선택권을 준다 — 각 m 마다 가장 도움이 되는 n 을 고를 수 있다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)은 이 자유를 계획으로 바꾼다 — 여러 n 을 시험하는 대신 가장 단순한 하나, n=1을 추측하고 부등식이 어떻게 되는지 확인한다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 m 을 일반적인 채로 두어, 한 번의 확인이 한 번에 모든 값을 다루게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 선택지 목록을 읽는다 — 유한한 개수 (A)~(D)는 어떤 m 이 실패해야만 살아남을 수 있으므로, 아무 것도 실패하지 않음을 보이면 그것들을 모두 지우고 '무수히 많다' 만 남는다.

1STEP 1

가장 쉬운 n 고르기

n은 네가 고르는 값이니 가장 작은 n=1을 잡으면 양변은 m · 1=m과 m+1이 된다.

n=1: m · 1 ≤ m+1 ⟺ m ≤ m+1
2STEP 2

모든 m 에서 성립하는지 확인

m ≤ m+1은 어떤 수가 자기 자신에 1을 더한 것보다 크지 않다는 말이니 모든 m에서 성립한다.

m ≤ m+1은 모든 m=1,2,3,… 에 대해 참이다
3STEP 3

이긴 것 세기

모든 m이 n=1과 짝을 이루고 양의 정수는 끝이 없으니 유한한 개수는 모두 지워지고 답은 (E)이다.

{m:어떤 n 이 작동}={1,2,3,…} → (E)
정답
무한히 많다
n=1로 몇 개 값을 확인해 보자: m=5는 5 ≤ 6, m=100은 100 ≤ 101, m=1은 1 ≤ 2 — 모두 참이고, 시험해 볼 가장 큰 m 도 없으므로 개수는 정말로 끝이 없다. 또한 4 나 12 같은 유한한 답이 여기서 의심스럽다는 것도 이치에 맞는다 — 이 부등식은 언제나 이기는 공짜 수 (n=1)를 주므로 그것이 멈출 이유가 없고, 이는 바로 '무수히 많다' 가 나타내는 바이다.
💡핵심 정리

문제가 값 하나만 존재하면 된다고 할 때는 네가 고를 수 있다 — 여기서 n=1을 고르면 부등식이 언제나 참인 m ≤ m+1이 되므로 모든 m 이 작동한다.

  • 가장 쉬운 n 고르기
  • 모든 m 에서 성립하는지 확인
  • 이긴 것 세기

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