AMC 10 · 2002 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductionif-then-reasoning guess-and-check ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$m \cdot n \le m + n$ 을 만족하는 양의 정수 $n$ 이 적어도 하나 존재하는 양의 정수 $m$ 은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m\cdot n\le m+n$ 을 참으로 만드는 양의 정수 $n$ 이 적어도 하나 존재하는 양의 정수 $m$ 이 몇 개인지 세세요.

주어진 것: 부등식 $m\cdot n\le m+n$; $m$ 과 $n$ 은 모두 양의 정수여야 한다; 어떤 $m$ 에 대해 작동하는 $n$ 이 하나만 있으면 그 $m$ 은 세어진다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $12$, (E) 무수히 많다

구하는 것: 짝이 되는 $n$ 이 적어도 하나 있는 양의 정수 $m$ 의 개수

이해

문제 재정리: $m\cdot n\le m+n$ 을 참으로 만드는 양의 정수 $n$ 이 적어도 하나 존재하는 양의 정수 $m$ 이 몇 개인지 세세요.

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

'적어도 하나의 $n$ 이 존재한다' 라는 표현은 선택권을 준다 — 각 $m$ 마다 가장 도움이 되는 $n$ 을 고를 수 있다. 도구 #6 (추측하고 확인하기) 은 이 자유를 계획으로 바꾼다 — 여러 $n$ 을 시험하는 대신 가장 단순한 하나, $n=1$ 을 추측하고 부등식이 어떻게 되는지 확인한다. 도구 #4 (변수 도입하기) 는 $m$ 을 일반적인 채로 두어, 한 번의 확인이 한 번에 모든 값을 다루게 한다. 도구 #3 (가능성 지우기) 은 선택지 목록을 읽는다 — 유한한 개수 (A)~(D) 는 어떤 $m$ 이 실패해야만 살아남을 수 있으므로, 아무 것도 실패하지 않음을 보이면 그것들을 모두 지우고 '무수히 많다' 만 남는다.

실행 — 정답: E

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 1

가장 쉬운 n 고르기

$n$ 을 자유롭게 고를 수 있다고 약속받았으니, 가장 작은 양의 정수 $n=1$ 을 고르자.
$n=1$ 을 대입하면 양변이 $m\cdot 1=m$ 과 $m+1$ 이 된다.
문제 전체가 하나의 깔끔한 비교로 줄어든다: $m\le m+1$ 인가?

$$n=1:\quad m\cdot 1\le m+1\;\Longleftrightarrow\; m\le m+1$$

💡 $n$ 하나만 작동하면 되므로, 뒤지지 말고 그 자유를 이용해 가장 친절한 값을 고른다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.5 단계 2

모든 m 에서 성립하는지 확인

부등식 $m\le m+1$ 은 어떤 수가 자기 자신에 1을 더한 것보다 크지 않다는 말이다.
이것은 모든 양의 정수 $m$ 에 대해 참이다 — $1$ 을 더하면 수는 항상 커지기 때문이다.
그래서 처음에 어떤 $m$ 으로 시작하든 $n=1$ 이 작동하며, 빠지는 $m$ 은 하나도 없다.

$m\le m+1$ 은 모든 $m=1,2,3,\dots$ 에 대해 참이다

💡 수에 1을 더하면 결코 작아질 수 없으므로, $m\le m+1$ 은 결코 실패하지 않는다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 3

이긴 것 세기

모든 양의 정수 $m$ 은 작동하는 짝 ($n=1$) 을 가지고, 양의 정수는 무수히 많으므로, 무수히 많은 $m$ 값이 조건을 만족한다.
이것이 네 개의 유한한 개수를 지운다 — (A) $4$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $12$ 는 각각 어떤 $m$ 이 실패해야 하지만, 아무 것도 실패하지 않는다.
답은 (E) 이다.

$$\{m:\text{어떤 }n\text{ 이 작동}\}=\{1,2,3,\dots\}\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 어떤 $m$ 도 제외할 수 없다면, 그 개수는 어떤 유한한 수도 될 수 없다.

[1] #6 6.EE.A.2 $n$ 을 자유롭게 고를 수 있다고 약속받았으니, 가장 작은 양의 정수 $n=1$ 을 고르자. $n=1$ 을 대입하면 양변이 $m\cdot 1=

[2] #4 6.EE.B.5 부등식 $m\le m+1$ 은 어떤 수가 자기 자신에 1을 더한 것보다 크지 않다는 말이다. 이것은 모든 양의 정수 $m$ 에 대해 참이다 —

[3] #3 6.EE.B.5 모든 양의 정수 $m$ 은 작동하는 짝 ($n=1$) 을 가지고, 양의 정수는 무수히 많으므로, 무수히 많은 $m$ 값이 조건을 만족한다. 이것

검토

합리성 확인: $n=1$ 로 몇 개 값을 확인해 보자: $m=5$ 는 $5\le 6$, $m=100$ 은 $100\le 101$, $m=1$ 은 $1\le 2$ — 모두 참이고, 시험해 볼 가장 큰 $m$ 도 없으므로 개수는 정말로 끝이 없다. 또한 $4$ 나 $12$ 같은 유한한 답이 여기서 의심스럽다는 것도 이치에 맞는다 — 이 부등식은 언제나 이기는 공짜 수 ($n=1$) 를 주므로 그것이 멈출 이유가 없고, 이는 바로 '무수히 많다' 가 나타내는 바이다.

대안 접근: 대수적으로 다시 써 보자: $m n\le m+n$ 은 $mn-m-n+1\le 1$, 즉 $(m-1)(n-1)\le 1$ 이 된다. $n=1$ 을 고르면 왼쪽 변이 $(m-1)\cdot 0=0\le 1$ 이 되어 모든 $m$ 에 대해 성립하므로, 모든 양의 정수 $m$ 이 작동하고 답은 (E) 임을 확인한다. 이 인수분해된 형태는 왜 $n=1$ 이 마법의 선택인지도 보여 준다 — $m$ 이 아무리 커도 곱을 $0$ 으로 만들기 때문이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers ($n=1$ 을 $m\cdot n$ 과 $m+n$ 에 대입해 부등식을 $m\le m+1$ 로 줄이는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($m\le m+1$ 을 만족하는 양의 정수 $m$ 이 어떤 것인지 (전부) 판단하고 개수가 무한임을 결론짓는 데 사용.)

⭐ 문제가 값 하나만 존재하면 된다고 할 때는 네가 고를 수 있다 — 여기서 $n=1$ 을 고르면 부등식이 언제나 참인 $m\le m+1$ 이 되므로 모든 $m$ 이 작동한다.