AMC 10 · 2002 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circles area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 작은 원들은 모두 반지름이 $1$ 이다. 가장 안쪽의 원은 그것을 둘러싼 여섯 개의 원과 접하고, 그 여섯 원은 각각 큰 원과 접하며 이웃한 작은 원들과도 접한다. 색칠된 영역의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi$

(B)

$1.5\pi$

(C)

$2\pi$

(D)

$3\pi$

(E)

$3.5\pi$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $1$ 인 작은 원 일곱 개가 큰 원 안에 채워져 있다. 하나는 한가운데에 있고, 나머지 여섯 개가 그 둘레를 감싸며 가운데 원과 큰 바깥 원 모두에 접한다. 작은 원 일곱 개가 덮지 않은, 큰 원의 색칠된 부분의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 모든 작은 원의 반지름은 $1$ 이다; 가운데 원은 둘레의 여섯 원 각각과 접한다; 각 둘레 원은 큰 원과, 그리고 이웃한 두 작은 원과 접한다; 색칠된 영역은 큰 원판에서 작은 원 일곱 개가 덮지 않은 부분이다; 선택지: (A) $\pi$, (B) $1.5\pi$, (C) $2\pi$, (D) $3\pi$, (E) $3.5\pi$

구하는 것: 색칠된 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

색칠된 영역은 여섯 갈래로 울퉁불퉁한 경계를 가져서 직접 재기가 매우 까다롭다. 도구 #16 (관점 바꾸기 — 여집합 세기) 은 이를 완전히 피한다: 색칠된 넓이는 큰 원판 전체에서 뚫린 둥근 구멍 일곱 개를 뺀 것일 뿐이고, 원판의 넓이는 쉽다. 빼기 전에 도구 #1 (그림 그리기) 로 그림에서 접점의 연결을 읽어 유일하게 빠진 값인 큰 반지름을 확정한다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 이 일을 두 조각으로 나눈다 — 큰 원의 넓이와, 똑같은 작은 원 일곱 개의 전체 넓이. 가장 흔한 함정은 작은 원을 (눈에 보이는 둘레의) 여섯 개로 잘못 세고 가운데 하나를 빠뜨리는 것으로, 그러면 오답 (D) $3\pi$ 가 나온다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

큰 반지름 세우기

가운데 원의 중심을 원점에 둔다.
이 원은 반지름이 $1$ 이고 반지름 $1$ 인 둘레 원과 접하므로, 두 중심은 $1+1=2$ 만큼 떨어져 있다 — 각 둘레 원의 중심은 바깥으로 $2$ 만큼 나가 있다.
그 둘레 원은 큰 원에 닿기 위해 한 단위 더 바깥으로 뻗으므로, 큰 반지름은 중심에서 $2+1=3$ 만큼 나간다.
큰 원의 반지름은 $3$ 이다.

$$R = \underbrace{(1+1)}_{\text{중심에서 둘레 원 중심까지}} + \underbrace{1}_{\text{둘레 원 반지름}} = 3$$

💡 중심에서 곧게 바깥으로 걸어가면 맞닿은 원들의 반지름이 끝과 끝으로 이어져 그냥 더해진다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.4 단계 2

큰 원의 넓이

반지름 $3$ 으로 원의 넓이 공식을 쓰면, 큰 원판 전체의 넓이는 $\pi R^2 = \pi(3)^2 = 9\pi$ 이다.
이것이 구멍을 파낼 전체 넓이다.

$$\pi R^2 = \pi(3)^2 = 9\pi$$

💡 원의 넓이는 $\pi$ 에 반지름의 제곱을 곱한 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

구멍 일곱 개의 전체 넓이

작은 원을 꼼꼼히 센다: 가운데 하나에 둘레의 여섯 개를 더하면 $7$ 개이고, 각각 반지름이 $1$ 이라 각 넓이는 $\pi(1)^2 = \pi$ 이다.
일곱 개면 모두 $7 \times \pi = 7\pi$ 를 덮는다.

$$7 \times \pi(1)^2 = 7\pi$$

💡 똑같은 원은 똑같은 넓이를 덮으므로, 전체는 원 하나의 넓이에 개수를 곱한 것이다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 4

구멍 빼기

색칠된 영역은 큰 원판에서 작은 원들이 덮지 않은 전부이므로 빼면 된다: $9\pi - 7\pi = 2\pi$.
$\pi$ 가 공통인수이므로 $(9-7)\pi = 2\pi$ 일 뿐이다.
이것이 선택지 (C) 다.
(실수로 둘레의 여섯 원만 쓰면 $9\pi - 6\pi = 3\pi$, 즉 오답 (D) 가 된다.)

$$9\pi - 7\pi = (9-7)\pi = 2\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 큰 원판에서 둥근 구멍들을 빼내면 정확히 색칠된 넓이가 남는다.

[1] #1 7.G.B.4 가운데 원의 중심을 원점에 둔다. 이 원은 반지름이 $1$ 이고 반지름 $1$ 인 둘레 원과 접하므로, 두 중심은 $1+1=2$ 만큼 떨어져 있

[2] #16 7.G.B.4 반지름 $3$ 으로 원의 넓이 공식을 쓰면, 큰 원판 전체의 넓이는 $\pi R^2 = \pi(3)^2 = 9\pi$ 이다. 이것이 구멍을 파낼

[3] #7 7.G.B.4 작은 원을 꼼꼼히 센다: 가운데 하나에 둘레의 여섯 개를 더하면 $7$ 개이고, 각각 반지름이 $1$ 이라 각 넓이는 $\pi(1)^2 = \p

[4] #16 6.EE.A.3 색칠된 영역은 큰 원판에서 작은 원들이 덮지 않은 전부이므로 빼면 된다: $9\pi - 7\pi = 2\pi$. $\pi$ 가 공통인수이므로 $

검토

합리성 확인: 작은 원 일곱 개가 큰 원의 $9\pi$ 중 $7\pi$ 를 덮으므로, 색칠된 채로 남는 것은 $2\pi$ — 원판의 5분의 1 남짓 — 뿐이다. 원들이 안쪽을 거의 꽉 채우고 사이에는 얇고 굽은 조각만 남기는 그림과 잘 맞는다. 답 $2\pi$ 는 등장한 모든 원 넓이 합보다 작은데, '덮이지 않고 남은 부분' 이라면 마땅히 그래야 하며, 실제 넓이답게 양수다.

대안 접근: 여집합을 쓰지 않고 비율로 따져도 된다: 큰 반지름 $3$ 은 작은 반지름 $1$ 의 정확히 세 배이므로, 큰 넓이는 작은 넓이 $\pi$ 의 $3^2 = 9$ 배, 즉 $9\pi$ 다. 단위 원 넓이 아홉 칸의 방에 단위 원 일곱 개가 채워지니, 색칠은 $9-7 = 2$ 칸, 곧 $2\pi$ 가 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems (접점의 연결을 읽어 큰 반지름 $3$ 을 얻고, $A=\pi r^2$ 로 큰 넓이 $9\pi$ 와 작은 원 각 넓이 $\pi$ 를 계산.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (공통인수 $\pi$ 를 묶어 동류항을 합침: $9\pi - 7\pi = (9-7)\pi = 2\pi$.)

⭐ 큰 영역에서 구멍이 뚫린 도형은, 전체 넓이에서 구멍들을 빼서 넓이를 구한다 — 단, 모든 구멍을 빠짐없이 세는 것이 중요하다.