AMC 10 · 2002 · #7

학년 7 geometry-2d

arc-measureratio-proportionarea-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: arc-measureratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

원 A의 $45^\circ$ 호의 길이가 원 B의 $30^\circ$ 호의 길이와 같다. 원 A의 넓이와 원 B의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4/9

(B)

2/3

(C)

5/6

(D)

3/2

(E)

9/4

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 A에서 잘라낸 $45^\circ$ 호의 길이가 원 B에서 잘라낸 $30^\circ$ 호의 길이와 같다. 이 사실만으로 원 A의 넓이와 원 B의 넓이의 비를 구하라.

주어진 것: 원 A의 $45^\circ$ 호의 길이가 원 B의 $30^\circ$ 호의 길이와 같다; 호의 길이는 그 각이 $360^\circ$에서 차지하는 비율만큼 원 전체 둘레에서 차지한다; 선택지: (A) $4/9$, (B) $2/3$, (C) $5/6$, (D) $3/2$, (E) $9/4$

구하는 것: 비 $\dfrac{\text{원 A의 넓이}}{\text{원 B의 넓이}}$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

길이가 하나도 주어지지 않았으니, 없는 것에 이름을 붙인다. 두 반지름을 $r_A$, $r_B$라 하자(도구 #4). 각 호를 반지름으로 나타내고 나면 '길이가 같다'는 사실이 $r_A$와 $r_B$를 잇는 한 개의 방정식이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔한 두 단계로 나눈다. 먼저 반지름의 비를 구하고, 그 다음 그것을 넓이의 비로 바꾼다. 넓이는 반지름의 제곱에 달려 있으므로 이 둘은 정말로 다른 질문이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리를 지켜 준다. 각이 더 큰 호가 더 작은 원에 속하므로 원 A가 더 작고, 넓이의 비는 $1$보다 작아야 한다. 이것만으로 (D) $3/2$와 (E) $9/4$는 지워진다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 1

각 호의 길이 나타내기

호는 전체 둘레 $2\pi r$의 한 조각이고, 그 몫은 각이 $360^\circ$에서 차지하는 비율이다.
원 A의 $45^\circ$ 호는 둘레의 $\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$이므로 길이는 $\frac{1}{8}\cdot 2\pi r_A=\frac{\pi r_A}{4}$이다.
원 B의 $30^\circ$ 호는 둘레의 $\frac{30}{360}=\frac{1}{12}$이므로 길이는 $\frac{1}{12}\cdot 2\pi r_B=\frac{\pi r_B}{6}$이다.

$$\text{arc}_A=\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi r_A=\dfrac{\pi r_A}{4},\qquad \text{arc}_B=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi r_B=\dfrac{\pi r_B}{6}$$

💡 호는 원을 도는 길의 일부일 뿐이므로, 그 길이는 전체 둘레에서 같은 비율만큼이다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 2

두 호를 같게 놓고 반지름의 비 구하기

두 호의 길이가 같으므로 $\frac{\pi r_A}{4}=\frac{\pi r_B}{6}$이다.
양변의 공통 인수 $\pi$를 지우면 $\frac{r_A}{4}=\frac{r_B}{6}$가 남는다.
대각선으로 곱하면 $6r_A=4r_B$이고, 따라서 $\frac{r_A}{r_B}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$이다.
원 A의 반지름은 원 B의 반지름의 $\frac{2}{3}$이다.
호의 각이 더 컸던 A가 더 작은 원이라는 예상과 정확히 맞는다.

$$\dfrac{\pi r_A}{4}=\dfrac{\pi r_B}{6}\;\Rightarrow\;6r_A=4r_B\;\Rightarrow\;\dfrac{r_A}{r_B}=\dfrac{2}{3}$$

💡 각이 넓은 원과 좁은 원의 호가 같아지려면 각이 넓은 쪽 원이 더 작아야 하고, 비가 그것을 정확히 정해 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

비를 제곱해 넓이 비교하기

원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 두 원의 넓이의 비는 반지름의 제곱의 비이다.
$\frac{\pi r_A^2}{\pi r_B^2}=\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\frac{r_A}{r_B}=\frac{2}{3}$을 넣으면 $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$이다.
넓이의 비가 $1$보다 작으므로 원 A가 더 작은 원임이 확인된다.
이는 선택지 (A)에 해당한다.

$$\dfrac{\text{area}_A}{\text{area}_B}=\dfrac{\pi r_A^2}{\pi r_B^2}=\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 넓이는 반지름의 제곱에 따라 커지므로, 반지름을 어떤 배수로 늘리면 넓이는 그 배수의 제곱만큼 늘어난다.

[1] #4 7.G.B.4 호는 전체 둘레 $2\pi r$의 한 조각이고, 그 몫은 각이 $360^\circ$에서 차지하는 비율이다. 원 A의 $45^\circ$ 호는 둘

[2] #4 6.RP.A.3 두 호의 길이가 같으므로 $\frac{\pi r_A}{4}=\frac{\pi r_B}{6}$이다. 양변의 공통 인수 $\pi$를 지우면 $\fr

[3] #7 7.G.B.4 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 두 원의 넓이의 비는 반지름의 제곱의 비이다. $\frac{\pi r_A^2}{\pi r_B^2}=\left

검토

합리성 확인: 방향과 크기를 확인한다. $45^\circ$ 호는 $30^\circ$ 호보다 각이 크지만 두 길이가 같으므로, 원 A가 더 작아야 넓은 조각이 같은 길이로 나온다. 실제로 $r_A/r_B=2/3<1$이고 넓이의 비 $4/9<1$로, 둘 다 A가 더 작다고 말하니 일관적이다. 크기도 타당하다. $2/3$을 제곱하면 $0.67$에서 약 $0.44$로 줄고, $4/9\approx 0.44$는 $1$ 근처가 아니라 작은 오답들 사이에 놓인다. 함정 답 $2/3$은 제곱하지 않은 반지름의 비 그대로이고, $9/4$는 분수를 거꾸로 뒤집은 것이다. 작은 원 대 큰 원의 넓이 비는 반드시 $1$보다 작아야 한다.

대안 접근: 대수 대신 비율로 생각해도 된다. 호의 길이가 같다는 것은 (각의 몫)$\times$둘레가 같다는 뜻이다. 원 A는 둘레의 $\frac{1}{8}$을, 원 B는 $\frac{1}{12}$을 쓰는데 $\frac{1}{8}:\frac{1}{12}=3:2$이므로, A의 둘레(따라서 반지름)는 B의 $\frac{2}{3}$이다. 반지름의 비를 제곱하면 넓이의 비 $\frac{4}{9}$가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (각 호를 둘레 $2\pi r$의 한 비율로 나타내고, 넓이 $=\pi r^2$을 써서 반지름의 비를 넓이의 비로 바꾸는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (두 호의 길이를 같게 놓고 $\pi$를 지운 뒤 대각선으로 곱해 반지름의 비 $r_A/r_B=2/3$을 구하는 데 사용.)

⭐ 호가 같으면 반지름의 비를 구할 수 있고, 그 비를 제곱하면 넓이의 비가 된다. 원의 넓이는 반지름의 제곱에 따라 커지기 때문이다.