AMC 10 · 2002 · #9

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

systems-of-equationsmean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 수 $A$ , $B$ , $C$ 가 $1001C - 2002A = 4004$ 와 $1001B + 3003A = 5005$ 를 만족한다. $A$ , $B$ , $C$ 의 평균은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Not uniquely determined

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수 $A$, $B$, $C$가 두 식 $1001C-2002A=4004$와 $1001B+3003A=5005$를 만족한다. $A$, $B$, $C$의 평균을 구하여라.

주어진 것: $1001C-2002A=4004$; $1001B+3003A=5005$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $6$, (D) $9$, (E) 유일하게 정해지지 않음

구하는 것: 평균 $\dfrac{A+B+C}{3}$

이해

문제 재정리: 세 수 $A$, $B$, $C$가 두 식 $1001C-2002A=4004$와 $1001B+3003A=5005$를 만족한다. $A$, $B$, $C$의 평균을 구하여라.

주어진 것: $1001C-2002A=4004$; $1001B+3003A=5005$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $6$, (D) $9$, (E) 유일하게 정해지지 않음

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

평균은 오직 합 $A+B+C$에만 달려 있으므로, 세 수를 하나씩 쫓는 대신 도구 #16(관점 바꾸기)로 곧장 그 합을 겨냥한다. 식은 두 개인데 미지수는 세 개이므로 $A$, $B$, $C$를 각각 구하는 일은 더 어렵고 필요하지도 않다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 먼저 수를 다루기 쉽게 만든다. 모든 계수와 상수가 $1001$의 배수이므로 각 식을 $1001$로 나누면 큰 수의 벽이 작은 두 식으로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 함정 선택지 (E)를 막아 준다. 세 수가 각각 정해지지 않는다고 해서 평균이 정해지지 않는 것은 아니며, 바로 이 논리가 (E)를 지워 낸다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

각 식을 1001로 나누기

두 식에 나오는 모든 수는 $1001$의 배수이다: $2002=2\cdot1001$, $4004=4\cdot1001$, $3003=3\cdot1001$, $5005=5\cdot1001$.
첫 식을 $1001$로 나누면 $C-2A=4$, 둘째 식을 $1001$로 나누면 $B+3A=5$가 된다.
두 식은 같은 정보를 담고 있지만 이제 한 자리 수로 이루어져 있다.

$$1001C-2002A=4004 \;\Rightarrow\; C-2A=4 \qquad 1001B+3003A=5005 \;\Rightarrow\; B+3A=5$$

💡 식의 모든 항을 같은 수로 나누어도 등식은 그대로 참이므로, 공통인수 $1001$을 빼내는 일은 손해 없이 지저분함만 없앤다.

#16 관점 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

두 식을 더하기

간단해진 두 식의 좌변끼리, 우변끼리 더한다.
좌변에서 $(C-2A)+(B+3A)$는 $A$ 항이 $-2A+3A=A$로 모여 $A+B+C$가 남는다.
우변은 $4+5=9$이다.
따라서 $A+B+C=9$이다.
$A$, $B$, $C$는 여전히 각각 자유롭지만 그 합은 이렇게 정해진다.
$A$ 항이 정확히 $A$ 하나로 합쳐지도록 되어 있어서, 전체가 순수한 합 $A+B+C$에 딱 떨어진다.

$$(C-2A)+(B+3A)=4+5 \;\Rightarrow\; A+B+C=9$$

💡 합을 알기 위해 각 수를 알 필요는 없다. 식을 더하면 남는 $A$ 항이 정작 필요한 합 속으로 녹아든다.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 3

합을 3으로 나누기

세 수의 평균은 합을 $3$으로 나눈 값이다.
$A+B+C=9$이므로 평균은 $\dfrac{9}{3}=3$이다.
선택지 (E)는 함정이다.
$A$, $B$, $C$가 각각 정해지지 않는 것은 사실이지만, 조합 $A+B+C$—따라서 평균—은 하나의 값 $3$으로 고정되므로 평균은 유일하게 정해진다.
답은 $3$, 즉 선택지 (B)이다.

$$\dfrac{A+B+C}{3}=\dfrac{9}{3}=3 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 합이 하나로 고정되면 평균도 하나로 고정되므로, 세 수 자체는 흔들려도 '유일하게 정해지지 않음'은 틀린 말이다.

[1] #15 6.EE.A.3 두 식에 나오는 모든 수는 $1001$의 배수이다: $2002=2\cdot1001$, $4004=4\cdot1001$, $3003=3\cdot1

[2] #16 7.EE.A.1 간단해진 두 식의 좌변끼리, 우변끼리 더한다. 좌변에서 $(C-2A)+(B+3A)$는 $A$ 항이 $-2A+3A=A$로 모여 $A+B+C$가 남

[3] #3 6.SP.A.3 세 수의 평균은 합을 $3$으로 나눈 값이다. $A+B+C=9$이므로 평균은 $\dfrac{9}{3}=3$이다. 선택지 (E)는 함정이다. $A

검토

합리성 확인: 평균이 $3$으로 나왔는데, 이는 선택지 (B)와 맞고 선택지 $1,3,6,9$ 사이에 자연스럽게 놓이는 깔끔한 정수이다. 간단한 독립 확인: 한 문자에 편한 값을 넣어 본다. $C=0$이라 하면 $C-2A=4$에서 $A=-2$, $B+3A=5$에서 $B=5-3(-2)=11$이다. 합은 $0+(-2)+11=9$이고 평균은 $3$—다른 출발점에서도 같은 답이 나오며, 이것이 바로 '유일하게 정해짐'의 모습이다.

대안 접근: 더하는 대신, 간단해진 식을 한 문자에 대해 나머지로 풀 수도 있다: $C=2A+4$, $B=5-3A$. 그러면 $A+B+C=A+(5-3A)+(2A+4)=9$가 되고, $A$ 항은 어떤 $A$ 값에서도 상쇄된다. 이는 $A$가 무엇이든 합이 항상 $9$임을 곧바로 보여 주므로 평균은 항상 $3$이고 선택지 (E)는 옳을 수 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($2002,3003,4004,5005$가 모두 $1001$의 배수임을 알아채고 각 식을 $1001$로 나누어 동치인 식 $C-2A=4$와 $B+3A=5$를 얻는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (두 일차식을 더하고 동류항 $-2A+3A=A$를 모아, 각 미지수를 구하지 않고도 $A+B+C=9$를 얻는 데 사용.)
6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (평균을 합 나누기 개수, 즉 $\tfrac{9}{3}=3$으로 계산하고, 고정된 합이 하나의 유일한 평균을 강제함을 논증하는 데 사용.)

⭐ 합만 필요할 때는 식을 더해서 남는 문자들이 상쇄되게 하라 — 각 수를 하나도 구하지 않고도 평균을 찾을 수 있다.