AMC 10 · 2002 · #9

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
systems-of-equationsmean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 수 A, B, C가 두 식 1001C-2002A=4004와 1001B+3003A=5005를 만족한다. A, B, C의 평균을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
3
(C)
6
(D)
9
(E)
Not uniquely determined

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

평균은 오직 합 A+B+C에만 달려 있으므로, 세 수를 하나씩 쫓는 대신 도구 #16(관점 바꾸기)로 곧장 그 합을 겨냥한다. 식은 두 개인데 미지수는 세 개이므로 A, B, C를 각각 구하는 일은 더 어렵고 필요하지도 않다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 먼저 수를 다루기 쉽게 만든다. 모든 계수와 상수가 1001의 배수이므로 각 식을 1001로 나누면 큰 수의 벽이 작은 두 식으로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 함정 선택지 (E)를 막아 준다. 세 수가 각각 정해지지 않는다고 해서 평균이 정해지지 않는 것은 아니며, 바로 이 논리가 (E)를 지워 낸다.

1STEP 1

각 식을 1001로 나누기

모든 수가 1001의 배수이므로 두 식을 1001로 나누면 C-2A=4와 B+3A=5가 된다.

1001C-2002A=4004 → C-2A=4 1001B+3003A=5005 → B+3A=5
2STEP 2

두 식을 더하기

두 식을 더하면 -2A+3A=A로 A 항이 모여 좌변은 A+B+C, 우변은 4+5이므로 A+B+C=9이다.

(C-2A)+(B+3A)=4+5 → A+B+C=9
3STEP 3

합을 3으로 나누기

평균은 합을 3으로 나눈 값이므로 9÷3=3이다. 합이 고정이라 (E)는 답이 아니다.

(A+B+C)/3=9/3=3 → (B)
정답
3
평균이 3으로 나왔는데, 이는 선택지 (B)와 맞고 선택지 1,3,6,9 사이에 자연스럽게 놓이는 깔끔한 정수이다. 간단한 독립 확인: 한 문자에 편한 값을 넣어 본다. C=0이라 하면 C-2A=4에서 A=-2, B+3A=5에서 B=5-3(-2)=11이다. 합은 0+(-2)+11=9이고 평균은 3—다른 출발점에서도 같은 답이 나오며, 이것이 바로 '유일하게 정해짐'의 모습이다.
💡핵심 정리

합만 필요할 때는 식을 더해서 남는 문자들이 상쇄되게 하라 — 각 수를 하나도 구하지 않고도 평균을 찾을 수 있다.

  • 각 식을 1001로 나누기
  • 두 식을 더하기
  • 합을 3으로 나누기

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