AMC 10 · 2002 · #1

학년 8 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

분자 2²⁰⁰¹ · 3²⁰⁰³은 2의 거듭제곱과 3의 거듭제곱의 곱이고, 분모는 6²⁰⁰²이다. 분수 (2²⁰⁰¹ · 3²⁰⁰³)/6²⁰⁰²를 하나의 값으로 간단히 하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1/6

(B)

1/3

(C)

1/2

(D)

2/3

(E)

3/2

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

유일한 걸림돌은 분모의 밑 6이 분자의 밑 2, 3과 맞지 않는다는 점이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 6²⁰⁰²을 밑이 2 인 부분과 밑이 3 인 부분으로 나누면, 무섭던 하나의 분수가 밑이 같은 두 개의 깔끔한 나눗셈으로 바뀐다. 그다음 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 거대한 지수를 무력화한다 — 거듭제곱의 지수가 1만 차이 나므로 2²⁰⁰¹ 이나 3²⁰⁰³을 결코 계산하지 않고 지수만 빼면 된다. 도구 #3 (가능성 지우기)는 두 함정을 막는다 — 지수를 반대로 빼면 (D) 2/3이 나오고, 남는 3을 빠뜨리면 (C) 1/2이 나온다.

1STEP 1

밑 6을 쪼개기

분모의 밑 6은 분자와 겹치지 않으니 쪼갠다: 6²⁰⁰²=(2 · 3)²⁰⁰²=2²⁰⁰² · 3²⁰⁰². 이제 밑은 2와 3뿐이다.

6²⁰⁰²=(2 · 3)²⁰⁰²=2²⁰⁰² · 3²⁰⁰²

2STEP 2

2끼리, 3끼리 모으기

밑이 같은 것끼리 모아 다시 쓴다: (2²⁰⁰¹ · 3²⁰⁰³)/(2²⁰⁰² · 3²⁰⁰²)=2²⁰⁰¹/2²⁰⁰² · 3²⁰⁰³/3²⁰⁰².

(2²⁰⁰¹ · 3²⁰⁰³)/(2²⁰⁰² · 3²⁰⁰²)=2²⁰⁰¹/2²⁰⁰²·3²⁰⁰³/3²⁰⁰²

3STEP 3

각 밑에서 지수 빼기

밑이 같으면 지수를 뺀다: 2²⁰⁰¹/2²⁰⁰²=2⁻¹=1/2, 3²⁰⁰³/3²⁰⁰²=3¹=3. 차이 1만 중요하다.

2²⁰⁰¹/2²⁰⁰²=2⁻¹=1/2, 3²⁰⁰³/3²⁰⁰²=3¹=3

4STEP 4

두 조각 곱하기

두 조각을 곱한다: 1/2 · 3=3/2, 곧 (E)이다. 거꾸로 빼면 (D), 3을 빠뜨리면 (C)가 된다.

1/2 · 3=3/2 → (E)

정답

3/2

작은 지수로 빠르게 확인하면 패턴이 맞다: (2¹ · 3³)/6²=(2 · 27)/36=54/36=3/2로 같은 값이다. 이유는, 밑 2의 지수가 공통 지수보다 1 작아 2⁻¹을 주고, 밑 3의 지수가 1 커서 3⁺¹을 주기 때문이다. 그래서 공통 지수가 아무리 커도 답은 3/2이다. 1보다 조금 큰 값이라는 점도 타당하며, 작은 분수 (A)~(D)를 배제한다.

💡핵심 정리

모든 밑을 소수로 쪼개 서로 맞추면, 같은 밑의 거듭제곱 나눗셈은 지수를 빼기만 하면 된다 — 거대한 수는 끝까지 계산할 필요가 없다.

밑 6을 쪼개기
2끼리, 3끼리 모으기
각 밑에서 지수 빼기
두 조각 곱하기

밑 6을 쪼개기

2끼리, 3끼리 모으기

각 밑에서 지수 빼기

두 조각 곱하기

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