AMC 10 · 2002 · #1
학년 8 rate-ratio비 6200222001⋅32003 의 값은?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 하나의 분수 $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{6^{2002}}$ 를 주어진 값 중 하나로 간단히 하세요.
주어진 것: 식 $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{6^{2002}}$; 분자는 $2$의 거듭제곱과 $3$의 거듭제곱의 곱이고, 분모는 $6$의 거듭제곱이다; 선택지: (A) $\tfrac16$, (B) $\tfrac13$, (C) $\tfrac12$, (D) $\tfrac23$, (E) $\tfrac32$
구하는 것: 이 분수가 나타내는 하나의 값
이해
문제 재정리: 하나의 분수 $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{6^{2002}}$ 를 주어진 값 중 하나로 간단히 하세요.
주어진 것: 식 $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{6^{2002}}$; 분자는 $2$의 거듭제곱과 $3$의 거듭제곱의 곱이고, 분모는 $6$의 거듭제곱이다; 선택지: (A) $\tfrac16$, (B) $\tfrac13$, (C) $\tfrac12$, (D) $\tfrac23$, (E) $\tfrac32$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
유일한 걸림돌은 분모의 밑 $6$ 이 분자의 밑 $2$, $3$ 과 맞지 않는다는 점이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 $6^{2002}$ 을 밑이 $2$ 인 부분과 밑이 $3$ 인 부분으로 나누면, 무섭던 하나의 분수가 밑이 같은 두 개의 깔끔한 나눗셈으로 바뀐다. 그다음 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 거대한 지수를 무력화한다 — 거듭제곱의 지수가 $1$ 만 차이 나므로 $2^{2001}$ 이나 $3^{2003}$ 을 결코 계산하지 않고 지수만 빼면 된다. 도구 #3 (가능성 지우기) 는 두 함정을 막는다 — 지수를 반대로 빼면 (D) $\tfrac23$ 이 나오고, 남는 $3$ 을 빠뜨리면 (C) $\tfrac12$ 이 나온다.
실행 — 정답: E
8.EE.A.1 단계 1 밑 6을 쪼개기
- 분모는 밑이 $6$ 이라 분자와 밑이 겹치지 않는다.
- $6=2\cdot 3$ 이므로, 곱의 거듭제곱 법칙에 의해 $6^{2002}=(2\cdot 3)^{2002}=2^{2002}\cdot 3^{2002}$ 이다.
- 이제 분수 전체의 모든 밑이 $2$ 아니면 $3$ 이다.
💡 곱의 거듭제곱은 각각의 거듭제곱의 곱이므로, $6^n$ 은 $2^n$ 과 $3^n$ 의 곱이다.
6.EE.A.3 단계 2 2끼리, 3끼리 모으기
- 밑이 같은 것끼리 나란히 두고 분수를 다시 쓴다: $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{2^{2002}\cdot 3^{2002}}=\dfrac{2^{2001}}{2^{2002}}\cdot\dfrac{3^{2003}}{3^{2002}}$.
- 지저분한 분수 하나가 밑이 같은 두 개의 깔끔한 분수로 바뀌어 따로따로 다룰 수 있다.
💡 곱셈은 인수의 순서를 바꿔 같은 밑끼리 붙일 수 있게 해 준다.
8.EE.A.1 단계 3 각 밑에서 지수 빼기
- 밑이 같은 나눗셈에서는 지수를 뺀다.
- 밑 $2$ 에서: $\dfrac{2^{2001}}{2^{2002}}=2^{2001-2002}=2^{-1}=\dfrac12$.
- 밑 $3$ 에서: $\dfrac{3^{2003}}{3^{2002}}=3^{2003-2002}=3^{1}=3$.
- 거대한 지수는 계산할 필요가 전혀 없고, $1$ 이라는 차이만 중요하다.
💡 밑이 같은 거듭제곱을 나누면 지수를 빼기만 하면 되므로, $1$ 이라는 차이만 남는다.
5.NF.B.4 단계 4 두 조각 곱하기
- 결과를 합친다: $\dfrac12\cdot 3=\dfrac{3}{2}$.
- 이것이 선택지 (E) 이다.
- 함정을 확인하자 — 지수를 거꾸로 빼면 $2^{1}\cdot 3^{-1}=\dfrac23$ 이 되어 미끼 (D) 가 되고, 밑 $3$ 부분에서 $3$ 이 남는다는 것을 잊으면 $\dfrac12$ 이 되어 미끼 (C) 가 된다.
- 꼼꼼히 풀면 둘 다 살아남지 못한다.
💡 분수에 자연수를 곱하면 분자가 그만큼 커진다.
8.EE.A.1 분모는 밑이 $6$ 이라 분자와 밑이 겹치지 않는다. $6=2\cdot 3$ 이므로, 곱의 거듭제곱 법칙에 의해 $6^{2002}=(2\cdot 6.EE.A.3 밑이 같은 것끼리 나란히 두고 분수를 다시 쓴다: $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{2^{2002}\cdot 3^{200 8.EE.A.1 밑이 같은 나눗셈에서는 지수를 뺀다. 밑 $2$ 에서: $\dfrac{2^{2001}}{2^{2002}}=2^{2001-2002}=2^{-1}= 5.NF.B.4 결과를 합친다: $\dfrac12\cdot 3=\dfrac{3}{2}$. 이것이 선택지 (E) 이다. 함정을 확인하자 — 지수를 거꾸로 빼면 $ 검토
합리성 확인: 작은 지수로 빠르게 확인하면 패턴이 맞다: $\dfrac{2^{1}\cdot 3^{3}}{6^{2}}=\dfrac{2\cdot 27}{36}=\dfrac{54}{36}=\dfrac32$ 로 같은 값이다. 이유는, 밑 $2$ 의 지수가 공통 지수보다 $1$ 작아 $2^{-1}$ 을 주고, 밑 $3$ 의 지수가 $1$ 커서 $3^{+1}$ 을 주기 때문이다. 그래서 공통 지수가 아무리 커도 답은 $\dfrac{3}{2}$ 이다. $1$ 보다 조금 큰 값이라는 점도 타당하며, 작은 분수 (A)~(D) 를 배제한다.
대안 접근: 쪼개는 대신 모두 밑 $6$ 으로 맞출 수도 있다: $2^{2001}\cdot 3^{2003}=2^{2001}\cdot 3^{2001}\cdot 3^{2}=6^{2001}\cdot 9$. 그러면 $\dfrac{6^{2001}\cdot 9}{6^{2002}}=\dfrac{9}{6}=\dfrac32$ 로, 지수 뺄셈 한 번에 (E) 에 도달한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1Know and apply the properties of integer exponents (곱의 거듭제곱 법칙으로 $6^{2002}=2^{2002}\cdot 3^{2002}$ 을 나누고, 각 나눗셈에서 음의 지수 $2^{-1}=\tfrac12$ 를 포함해 지수를 빼는 데 사용.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (같은 밑 $2$ 와 $3$ 끼리 모아 두 개의 분리된 나눗셈으로 분수를 다시 묶는 데 사용.)5.NF.B.4Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (마지막 단계에서 $\tfrac12\cdot 3=\tfrac32$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 모든 밑을 소수로 쪼개 서로 맞추면, 같은 밑의 거듭제곱 나눗셈은 지수를 빼기만 하면 된다 — 거대한 수는 끝까지 계산할 필요가 없다.
⭐ 모든 밑을 소수로 쪼개 서로 맞추면, 같은 밑의 거듭제곱 나눗셈은 지수를 빼기만 하면 된다 — 거대한 수는 끝까지 계산할 필요가 없다.
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