AMC 10 · 2002 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정팔각형 $ABCDEFGH$ 의 변의 길이가 모두 $2$ 이다. $\triangle ADG$ 의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4 + 2\sqrt2$

(B)

$6 + \sqrt2$

(C)

$4 + 3\sqrt2$

(D)

$3 + 4\sqrt2$

(E)

$8 + \sqrt2$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정팔각형 $ABCDEFGH$의 모든 변의 길이가 $2$이다. 꼭짓점은 팔각형을 따라 순서대로 이름 붙어 있다. 꼭짓점 $A$, $D$, $G$를 연결하여 삼각형 $\triangle ADG$를 만들 때, 그 넓이를 구하여라.

주어진 것: 정팔각형이다: 여덟 변의 길이가 모두 $2$이고, 여덟 내각이 모두 같다.; 꼭짓점은 팔각형을 따라 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 순서로 이름 붙어 있다.; 삼각형은 꼭짓점 $A$(1번째), $D$(4번째), $G$(7번째)를 사용한다.

구하는 것: $\triangle ADG$의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

삼각형이 이름표만으로는 정확한 위치를 그리기 어려운 도형 안에 놓여 있으므로, 핵심 수는 도구 #1 (그림 그리기)이다: 팔각형을 좌표 위에 고정해 모든 꼭짓점의 주소를 알아낸다. 그 좌표를 깔끔하게 얻는 방법은 도구 #17 (공간 상상하기)로, 정팔각형을 정사각형의 네 모서리를 잘라낸 모양으로 보는 것이다. $A$, $D$, $G$의 좌표를 얻고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 가로 밑변과 세로 높이라는 쉬운 두 조각으로 나눈다.

실행 — 정답: C

#17 공간 상상하기 8.G.B.7 단계 1

정사각형에서 팔각형 잘라내기

정팔각형을 큰 정사각형의 네 모서리를 잘라낸 모양으로 상상하자.
각 절단은 직각이등변삼각형 하나를 떼어내는데, 그 빗변이 팔각형의 한 변이므로 길이가 $2$이다.
그 빗변이 직각삼각형의 빗변이고, 길이가 같은 두 변은 정사각형의 변을 따라 놓인다.
각 변을 $\ell$이라 하면 피타고라스 정리에 의해 $\ell^2 + \ell^2 = 2^2$이므로 $2\ell^2 = 4$, 따라서 $\ell = \sqrt2$이다.

$$\ell^2 + \ell^2 = 2^2 \;\Rightarrow\; \ell = \sqrt2$$

💡 정팔각형은 정사각형에서 합동인 직각삼각형 모서리를 깎아낸 것이고, 깎인 각 변이 그 삼각형의 빗변이다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 2

모든 꼭짓점을 좌표로 놓기

정사각형의 한 변은 팔각형 한 변에 두 모서리 변을 더한 값, 즉 $2 + 2\sqrt2$이다.
팔각형을 밑변이 가로가 되도록 눕히자.
한 바퀴 돌면 꼭짓점들은 $A=(\sqrt2,\,0)$, $B=(\sqrt2+2,\,0)$, $C=(2\sqrt2+2,\,\sqrt2)$, $D=(2\sqrt2+2,\,\sqrt2+2)$, $E=(\sqrt2+2,\,2\sqrt2+2)$, $F=(\sqrt2,\,2\sqrt2+2)$, $G=(0,\,\sqrt2+2)$, $H=(0,\,\sqrt2)$에 놓인다.
필요한 것은 $A$, $D$, $G$ 세 개다.

$$A=(\sqrt2,\,0),\quad D=(2\sqrt2+2,\,\sqrt2+2),\quad G=(0,\,\sqrt2+2)$$

💡 팔각형을 정사각형에서 모서리를 뺀 모양으로 보면, 각 꼭짓점 주소는 변의 길이 $2$와 모서리 변 $\sqrt2$로 만들어진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.3 단계 3

밑변과 높이 읽어내기

$D=(2\sqrt2+2,\,\sqrt2+2)$와 $G=(0,\,\sqrt2+2)$를 보면 높이 $y=\sqrt2+2$가 같으므로 선분 $DG$는 가로다.
이것을 밑변으로 쓰자.
그 길이는 $x$값의 차이 $(2\sqrt2+2)-0 = 2\sqrt2+2$이다.
삼각형의 높이는 $A$가 그 가로선 아래로 얼마나 떨어져 있는가인데, $A$는 $y=0$이므로 그 거리는 $\sqrt2+2$이다.

$$DG = 2\sqrt2+2,\qquad h = (\sqrt2+2)-0 = \sqrt2+2$$

💡 높이가 같은 두 점은 평평한 밑변을 만들고, 세 번째 점이 거기까지 떨어진 세로 거리가 높이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

넓이 계산 마무리하기

삼각형 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다.
그래서 넓이는 $\tfrac12(2\sqrt2+2)(\sqrt2+2)$이다.
두 인수를 곱하면 $(2\sqrt2+2)(\sqrt2+2) = 2\sqrt2\cdot\sqrt2 + 2\sqrt2\cdot2 + 2\cdot\sqrt2 + 2\cdot2 = 4 + 4\sqrt2 + 2\sqrt2 + 4 = 8 + 6\sqrt2$이다.
그 절반이 $4 + 3\sqrt2$이다.
따라서 정답은 (C)이다.

$$\text{넓이} = \tfrac12(2\sqrt2+2)(\sqrt2+2) = \tfrac12(8+6\sqrt2) = 4+3\sqrt2$$

💡 밑변 곱하기 높이의 절반은 길이에 $\sqrt2$가 들어 있어도 그대로 통한다 — 조심스럽게 전개하면 된다.

[1] #17 8.G.B.7 정팔각형을 큰 정사각형의 네 모서리를 잘라낸 모양으로 상상하자. 각 절단은 직각이등변삼각형 하나를 떼어내는데, 그 빗변이 팔각형의 한 변이므로

[2] #1 6.G.A.3 정사각형의 한 변은 팔각형 한 변에 두 모서리 변을 더한 값, 즉 $2 + 2\sqrt2$이다. 팔각형을 밑변이 가로가 되도록 눕히자. 한 바퀴

[3] #7 6.G.A.3 $D=(2\sqrt2+2,\,\sqrt2+2)$와 $G=(0,\,\sqrt2+2)$를 보면 높이 $y=\sqrt2+2$가 같으므로 선분 $DG$

[4] #7 6.G.A.1 삼각형 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다. 그래서 넓이는 $\tfrac12(2\sqrt2+2)(\sqrt2+2)$이다. 두 인수를 곱하면 $(

검토

합리성 확인: 소수로 어림해 보자: $\sqrt2\approx1.41$이므로 밑변 $2\sqrt2+2\approx4.83$, 높이 $\sqrt2+2\approx3.41$, 넓이 $\approx\tfrac12(4.83)(3.41)\approx8.24$이다. 정답 $4+3\sqrt2\approx8.24$와 일치한다. 상한 점검으로, 팔각형 전체 넓이는 $2(1+\sqrt2)\cdot2^2 = 8(1+\sqrt2)\approx19.3$이고, 삼각형의 $8.24$는 그 절반보다 조금 작다 — 팔각형을 가로지르는 큰 삼각형으로서 그럴듯하다. 모든 길이가 양수였고 결과가 보기 중 하나다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않는 방법. 선분 $DG$는 팔각형을 곧게 가로지르며, 그 길이는 한 변 전체에 잘린 모서리 변 두 개를 더한 $2 + 2\sqrt2$이다. $A$에서 직선 $DG$까지의 수직 거리는 한 변 전체에 모서리 변 하나를 더한 $2 + \sqrt2$이다. 그러면 $\text{넓이} = \tfrac12(2+2\sqrt2)(2+\sqrt2) = \tfrac12(8+6\sqrt2) = 4+3\sqrt2$로 같은 정답 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (빗변 길이 $2$인 팔각형 변으로부터 잘린 모서리 변을 $\sqrt2$로 구하기.)
6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices; find side lengths (팔각형을 좌표에 놓고 밑변 $DG$와 $A$까지의 높이를 읽어내기.)
6.G.A.1 Find the area of triangles and other polygons (삼각형 넓이를 밑변 곱하기 높이의 절반으로 계산하기.)

⭐ 정팔각형을 모서리를 깎아낸 정사각형으로 보고 좌표에 놓으면, 어떤 삼각형이든 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반일 뿐이다.