AMC 10 · 2002 · #19
학년 6 arithmetic등차수열 {an} 이
a1+a2+⋯+a100=100 and a101+a102+⋯+a200=200
을 만족한다. 이때 a2−a1 의 값은?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 등차수열 $\{a_n\}$ 은 이웃한 항 사이의 간격이 일정하다. 처음 $100$ 개 항의 합은 $100$ 이고, 그다음 $100$ 개 항(제 $101$ 항부터 제 $200$ 항까지)의 합은 $200$ 이다. 한 걸음의 크기 $a_2 - a_1$ 을 구하라.
주어진 것: $\{a_n\}$ 은 등차수열이다: 각 항은 앞 항에 같은 일정한 간격을 더한 것이다; $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$; $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200$; 선택지: (A) $0.0001$, (B) $0.001$, (C) $0.01$, (D) $0.1$, (E) $1$
구하는 것: 공통 간격 $a_2 - a_1$ (공차 $d$)
이해
문제 재정리: 등차수열 $\{a_n\}$ 은 이웃한 항 사이의 간격이 일정하다. 처음 $100$ 개 항의 합은 $100$ 이고, 그다음 $100$ 개 항(제 $101$ 항부터 제 $200$ 항까지)의 합은 $200$ 이다. 한 걸음의 크기 $a_2 - a_1$ 을 구하라.
주어진 것: $\{a_n\}$ 은 등차수열이다: 각 항은 앞 항에 같은 일정한 간격을 더한 것이다; $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$; $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200$; 선택지: (A) $0.0001$, (B) $0.001$, (C) $0.01$, (D) $0.1$, (E) $1$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기
뻔한 길 — 두 합 방정식에서 $a_1$ 과 간격 $d$ 를 따로 구하는 것 — 은 필요 이상으로 일이 많다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 두 합을 재배치한다: 각 블록을 통째로 더하는 대신, 두 번째 합에서 첫 번째 블록의 합을 항끼리 짝지어 뺀다. 도구 #4(변수 도입하기)는 간격을 $d = a_2 - a_1$ 로 이름 붙이는데, 이것이 바로 미지수이며, $100$ 자리 뒤의 항을 $a_{k+100} = a_k + 100d$ 로 쓴다. 도구 #5(패턴 찾기)가 결정타다: 뺄셈에서 짝지어진 모든 쌍의 차이가 똑같이 $100d$ 이므로, 복잡한 합의 차이가 '개수 곱하기 $d$' 하나로 무너지고, 풀어야 할 깔끔한 방정식 하나만 남는다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 공통 간격 d 이름 붙이기
- 등차수열에서 모든 항은 앞 항에 하나의 일정한 수를 더한 것이다.
- 그 간격을 $d$ 라 하면 $d = a_2 - a_1$ 이 바로 문제가 묻는 것이다.
- 간격이 절대 변하지 않으므로, $100$ 항 앞으로 나아가면 간격을 $100$ 번 더한 셈이다: 모든 위치 $k$ 에 대해 $a_{k+100} = a_k + 100d$.
- 예를 들어 $a_{101} = a_1 + 100d$, $a_{102} = a_2 + 100d$, 그리고 $a_{200} = a_{100} + 100d$ 까지 이어진다.
💡 일정한 간격을 $100$ 번 반복한다는 것은, 두 번째 블록의 각 항이 첫 번째 블록의 짝을 똑같이 $100d$ 만큼 들어 올린 것일 뿐이라는 뜻이다.
6.EE.A.3 단계 2 두 합을 항끼리 빼기
- 각 블록을 따로 계산하는 대신, 두 번째 블록의 합에서 첫 번째 블록의 합을 항을 짝지어 뺀다: $a_{101}$ 은 $a_1$ 과, $a_{102}$ 는 $a_2$ 와, $a_{200}$ 은 $a_{100}$ 까지 짝짓는다.
- 각 짝의 차이는 $a_{k+100} - a_k = 100d$ — 매번 똑같은 값이다.
- 그런 짝이 $100$ 개 있으므로, 뺄셈 전체는 $100d$ 를 $100$ 번 더한 것이고, $100 \times 100d = 10000d$ 다.
- 그런데 같은 뺄셈을 주어진 합으로 읽으면 $200 - 100 = 100$ 이다.
- 따라서 $10000d = 100$.
💡 짝지은 항끼리 줄 세워 빼면 모든 미지의 시작값이 한꺼번에 사라지고, 셀 수 있는 만큼 반복된 간격만 남는다.
6.EE.B.7 단계 3 간격 풀기
- 이제 깔끔한 방정식 하나다: $10000d = 100$.
- 양변을 $10000$ 으로 나누면 $d = \frac{100}{10000} = \frac{1}{100} = 0.01$.
- $a_2 - a_1 = d$ 이므로 간격은 $0.01$ 이고, 이는 선택지 (C) 다.
💡 간격만 남기고 다른 미지수가 모두 지워지고 나면, 나눗셈 한 번으로 그 값이 드러난다.
6.EE.B.6 등차수열에서 모든 항은 앞 항에 하나의 일정한 수를 더한 것이다. 그 간격을 $d$ 라 하면 $d = a_2 - a_1$ 이 바로 문제가 묻는 6.EE.A.3 각 블록을 따로 계산하는 대신, 두 번째 블록의 합에서 첫 번째 블록의 합을 항을 짝지어 뺀다: $a_{101}$ 은 $a_1$ 과, $a_{1 6.EE.B.7 이제 깔끔한 방정식 하나다: $10000d = 100$. 양변을 $10000$ 으로 나누면 $d = \frac{100}{10000} = \fra 검토
합리성 확인: 규모를 확인하자. 두 블록은 겨우 $100$ (즉 $200 - 100$) 만큼 차이 나지만, 그 차이는 간격을 $10000$ 개의 작은 조각으로 쌓아 만든 것이므로 간격은 작은 분수여야 한다 — 대략 $\frac{100}{10000} = 0.01$. 이는 큰 선택지 (D) $0.1$ 과 (E) $1$ 을 배제한다. 그러면 블록 차이가 $100$ 이 아니라 $1000$ 또는 $10000$ 이 되기 때문이다. 또한 (A) $0.0001$ 과 (B) $0.001$ 도 배제한다. 그러면 차이가 겨우 $1$ 또는 $10$ 만 남기 때문이다. 오직 (C) $0.01$ 만이 요구되는 차이 정확히 $100$ 을 만든다.
대안 접근: 등차수열 합 공식을 바로 쓸 수도 있다. $n$ 개 항의 합은 $\frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$ 다. 첫 번째 블록은 $\frac{100}{2}\left(2a_1 + 99d\right) = 100$, 즉 $2a_1 + 99d = 2$. 두 블록을 합치면 $200$ 개 항 전체의 합이 $100 + 200 = 300$ 이므로 $\frac{200}{2}\left(2a_1 + 199d\right) = 300$, 즉 $2a_1 + 199d = 3$. 두 방정식을 빼면 $a_1$ 이 사라진다: $100d = 1$, 따라서 $d = 0.01$ — 같은 답이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수를 사용해 수를 나타내고 문제를 풀기 위한 식을 세운다 (공통 간격 $d = a_2 - a_1$ 을 이름 붙이고, $100$ 자리 뒤의 항을 $a_{k+100} = a_k + 100d$ 로 쓰는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 (항끼리의 뺄셈을 $100d$ 의 동일한 $100$ 개 복사본으로 인식하고 이를 $10000d$ 로 합치는 데 사용.)6.EE.B.7px = q 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제를 해결한다 ($10000d = 100$ 을 양변 $10000$ 으로 나누어 $d = 0.01$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 등차수열의 길이가 같은 두 블록이 일정한 거리를 두고 놓여 있으면, 짝을 지어 빼라 — 미지의 시작값은 사라지고 반복된 간격만 남는다.
⭐ 등차수열의 길이가 같은 두 블록이 일정한 거리를 두고 놓여 있으면, 짝을 지어 빼라 — 미지의 시작값은 사라지고 반복된 간격만 남는다.
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