AMC 10 · 2002 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

sequences-arithmeticsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

등차수열

a_1, a_2, a_3, \ldots

은 이웃한 두 항의 차가 항상 같은 값인 수열이다. 처음 100개 항의 합은 100이고, 그다음 100개 항, 즉

a_{101}

부터

a_{200}

까지의 합은 200이다. 한 걸음의 크기

a_2 - a_1

을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.0001

(B)

0.001

(C)

0.01

(D)

0.1

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

뻔한 길 — 두 합 방정식에서 a₁과 간격 d 를 따로 구하는 것 — 은 필요 이상으로 일이 많다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 두 합을 재배치한다: 각 블록을 통째로 더하는 대신, 두 번째 합에서 첫 번째 블록의 합을 항끼리 짝지어 뺀다. 도구 #4(변수 도입하기)는 간격을 d = a₂ - a₁로 이름 붙이는데, 이것이 바로 미지수이며, 100 자리 뒤의 항을 a_k+100 = a_k + 100d 로 쓴다. 도구 #5(패턴 찾기)가 결정타다: 뺄셈에서 짝지어진 모든 쌍의 차이가 똑같이 100d 이므로, 복잡한 합의 차이가 '개수 곱하기 d' 하나로 무너지고, 풀어야 할 깔끔한 방정식 하나만 남는다.

1STEP 1

공통 간격 d 이름 붙이기

공통 간격을 $d=a_2-a_1$ 이라 하자. 이 간격을 100번 반복하면 모든 $k$ 에 대해 $a_{k+100}=a_k+100d$ 이다.

d = a₂ - a₁, a_k+100 = a_k + 100d

2STEP 2

두 합을 항끼리 빼기

블록을 짝끼리 빼면 100개 짝이 모두 $100d$ 씩 차이 나므로 $10000d=200-100=100$ 이다.

Σ_k=1¹⁰⁰(a_k+100 - a_k) = 100 × 100d = 10000d = 200 - 100 = 100

3STEP 3

간격 풀기

10000으로 나누면 $d=\frac{100}{10000}=\frac{1}{100}$ 이므로 $a_2-a_1$ 은 0.01, 곧 (C)이다.

10000d = 100 → d = 100/10000 = 0.01 = a₂ - a₁ (C)

정답

0.01

규모를 확인하자. 두 블록은 겨우 100(즉 200 - 100)만큼 차이 나지만, 그 차이는 간격을 10000개의 작은 조각으로 쌓아 만든 것이므로 간격은 작은 분수여야 한다 — 대략

\frac{100}{10000}

= 0.01. 이는 큰 선택지 (D) 0.1과 (E) 1을 배제한다. 그러면 블록 차이가 100이 아니라 1000 또는 10000이 되기 때문이다. 또한 (A) 0.0001과 (B) 0.001도 배제한다. 그러면 차이가 겨우 1 또는 10만 남기 때문이다. 오직 (C) 0.01만이 요구되는 차이 정확히 100을 만든다.

💡핵심 정리

등차수열의 길이가 같은 두 블록이 일정한 거리를 두고 놓여 있으면, 짝을 지어 빼라 — 미지의 시작값은 사라지고 반복된 간격만 남는다.

공통 간격 d 이름 붙이기
두 합을 항끼리 빼기
간격 풀기

공통 간격 d 이름 붙이기

두 합을 항끼리 빼기

간격 풀기

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