경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #13
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
연필 한 자루 가격 c 는 143과 187을 모두 나누어떨어져야 하고, 문제에서 c ＞ 1 이라고 못 박았습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)로 j · c = 143, s · c = 187의 간단한 두 식을 세우면 "c 는 공약수"라는 사실이 한눈에 보입니다. 그다음에는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 가벼운 길 — 작은 소수(2, 3, 5, 7, 11, …)를 차례로 143에 대입해서 맞는 걸 찾고, 그게 187도 나누는지 확인하면 끝입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "c 찾기 → j, s 찾기 → 차 구하기" 의 세 조각으로 풀이를 깔끔하게 나눠 줍니다.
센트로 바꾸고 미지수 두기
금액을 센트로 바꾸고 미지수 c, j, s 를 정해 두 식 j·c = 143, s·c = 187 (c ＞ 1)을 세웁니다.
미지수에 문자 이름을 붙이고 "개수 × 가격 = 총액" 식을 세우는 것은 6학년 "문자를 사용해 수를 표현" 단계 그대로입니다.
6.EE.B.6Convert To Algebra143을 소인수분해하기
c 가 두 총액을 모두 나누므로, 143에 작은 소수를 대입해 143 = 11 × 13 을 얻습니다.
2, 3, 5, 7, 11, … 을 순서대로 대입해 맞을 때까지 시도하는 것은 4학년 "약수 쌍 찾기" 의 표준 절차입니다.
연필 한 자루의 가격(센트)은 두 총액 143과 187을 모두 나누어떨어지게 해야 한다 — 즉 두 금액의 공약수이다.
▸ 왜?
가격은 143을 나머지 없이 나누어야 한다. 자마르의 143센트는 그가 산 정수 개의 연필이 모두 그 한 가격이기 때문이다.
▸ 왜?
총액은 연필 수에 가격을 곱한 것이므로, 143은 바로 그만큼의 같은 크기 묶음(가격)이다.
▸ 왜?
143을 다시 가격만큼의 묶음으로 나누는 것은 143을 만든 곱셈을 거꾸로 하는 것이라, 나눗셈에 나머지가 남지 않는다.
▸ 왜?
같은 가격이 187도 나머지 없이 나누어야 한다. 샤로나의 187센트는 그녀가 산 정수 개의 연필이 똑같은 가격이기 때문이다.
▸ 왜?
그녀의 총액도 연필 수에 같은 가격을 곱한 것이므로, 187은 그만큼의 같은 크기 묶음(가격)이다.
▸ 왜?
187을 가격으로 나누는 것은 그것을 만든 곱셈을 되돌리는 것이라, 이것도 나누어떨어진다.
187이 11로 나뉘는지 확인하기
같은 소수를 다른 총액에도 확인하면 187 = 11 × 17 이므로 11이 둘 다 나눕니다.
두 수의 공통 약수가 있는지 확인하는 것은 6학년 "최대공약수" 개념 그 자체입니다.
6.NS.B.4Guess And Check다른 공약수 지우기
143과 187의 공약수는 1과 11 뿐이고 c ＞ 1이 1을 지우므로 c = 11 센트로 확정됩니다.
약수 전체 목록을 만들어 비교하면 짐작이 아니라 확인이 됩니다.
6.NS.B.4Guess And Check각자의 연필 수 구해 빼기
다시 나누면 j = 13, s = 17 이므로 샤로나는 s - j = 4 자루 더 샀습니다 — (C).
세 자리 수를 11로 나누는 것은 4학년 다자리 나눗셈, 마지막 뺄셈은 쪼개 둔 마지막 작은 문제입니다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 6학년 최대공약수만 알면 풀려요 — 1 센트보다 큰 공통 약수 하나를 찾고, 나눠서 자루 수를 구하면 끝!
- 센트로 바꾸고 미지수 두기
- 143을 소인수분해하기
- 187이 11로 나뉘는지 확인하기
- 다른 공약수 지우기
- 각자의 연필 수 구해 빼기
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