AMC 10 · 2014 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

fraction-arithmeticratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

오빈은 풍선 $30$ 개를 살 수 있을 만큼의 돈만 가지고 가게에 갔다. 도착해 보니 가게에서 풍선 특별 할인을 하고 있었는데, 풍선 $1$ 개를 정가에 사면 두 번째 풍선은 정가에서 $\frac{1}{3}$ 만큼 할인해 주는 행사였다. 오빈이 살 수 있는 풍선의 최대 개수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오빈은 정가로 풍선 $30$개를 살 수 있는 돈을 정확히 가지고 왔다. 할인 행사에서는 풍선 하나를 정가로 사면 두 번째 풍선을 $\frac{1}{3}$ 할인된 가격에 살 수 있다. 가진 돈을 모두 쓰고 이 행사를 최대한 이용할 때, 오빈이 살 수 있는 풍선의 최대 개수를 구하라.

주어진 것: 가진 돈은 정가로 풍선 $30$개를 사는 값과 같다; 행사: 풍선 하나는 정가로 사고, 두 번째 풍선은 $\frac{1}{3}$ 할인받는다; 가진 돈으로 풍선을 가장 많이 사려고 한다; 선택지: (A) $33$, (B) $34$, (C) $36$, (D) $38$, (E) $39$

구하는 것: 할인 행사를 이용해 오빈이 살 수 있는 풍선의 최대 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기

금액이 주어지지 않았으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 편리한 정가를 정한다. 풍선 개수는 정가에 좌우되지 않으므로 아무 값이나 써도 되고, $3$으로 두면 $\frac{1}{3}$ 할인이 정수가 된다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 풍선 하나당, 묶음 하나당 금액을 따진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 행사를 '정해진 값의 풍선 두 개 묶음'이라는 반복 단위로 바꾸면, 전체 문제는 '그 돈에 묶음이 몇 개 들어가는가'로 줄어든다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

편리한 정가 정하기

정가가 주어지지 않았고 풍선 개수는 정가에 좌우되지 않으므로, 할인이 깔끔해지는 값을 고른다.
정가를 풍선 하나당 $3$달러로 두자.
그러면 정가로 풍선 $30$개를 정확히 살 수 있는 오빈의 돈은 $30 \times 3 = 90$달러이다.

$$\text{가진 돈} = 30 \times 3 = 90 \text{ 달러}$$

💡 비율만 중요할 때는 실제 가격을 마음대로 정해도 되며, 깔끔한 수를 고르면 계산이 쉬워진다.

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.6 단계 2

할인된 풍선 값 구하기

각 묶음에서 두 번째 풍선은 $\frac{1}{3}$ 할인된다.
$3$달러의 $\frac{1}{3}$은 $1$달러이므로 할인액은 $1$달러이고, 두 번째 풍선은 $3 - 1 = 2$달러이다.

$$\tfrac{1}{3} \times 3 = 1, \quad 3 - 1 = 2 \text{ 달러}$$

💡 일부를 깎는다는 것은 나머지를 낸다는 뜻이다. $\frac{1}{3}$을 깎으면 가격의 $\frac{2}{3}$이 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

묶음 하나의 값

행사를 두 번째 풍선마다 쓰려면 풍선을 둘씩 산다.
한 묶음은 정가 풍선 하나와 할인 풍선 하나이므로 $3 + 2 = 5$달러에 풍선 $2$개이다.

$$3 + 2 = 5 \text{ 달러당 } 2 \text{ 개}$$

💡 할인은 두 개 단위로 반복되므로, 낱개가 아니라 묶음을 세는 것이 자연스럽다.

#8 단위 살펴보기 4.OA.A.3 단계 4

돈에 묶음 채우기

묶음 하나가 $5$달러이고 오빈은 $90$달러를 가지고 있다.
살 수 있는 온전한 묶음의 수는 $90 \div 5 = 18$묶음이며, $90$달러를 남김없이 다 쓴다.

$$90 \div 5 = 18 \text{ 묶음}$$

💡 묶음 값이 정해지면 예산 문제는 나눗셈 하나로 끝난다.

#4 변수 도입하기 4.OA.A.3 단계 5

풍선 개수 세기

$18$묶음마다 풍선이 $2$개씩 들어 있으므로 오빈은 $18 \times 2 = 36$개를 얻는다.
돈을 정확히 다 썼으므로 하나도 더 살 수 없다.
최대 개수는 $36$개이며 이는 (C)이다.

$$18 \times 2 = 36 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 번째 풍선마다 $\frac{1}{3}$씩 아낀 돈이, 처음 서른 개를 넘어 여섯 개를 더 사게 해 준다.

[1] #4 6.RP.A.3 정가가 주어지지 않았고 풍선 개수는 정가에 좌우되지 않으므로, 할인이 깔끔해지는 값을 고른다. 정가를 풍선 하나당 $3$달러로 두자. 그러면 정

[2] #8 5.NF.B.6 각 묶음에서 두 번째 풍선은 $\frac{1}{3}$ 할인된다. $3$달러의 $\frac{1}{3}$은 $1$달러이므로 할인액은 $1$달러이고,

[3] #7 4.OA.A.3 행사를 두 번째 풍선마다 쓰려면 풍선을 둘씩 산다. 한 묶음은 정가 풍선 하나와 할인 풍선 하나이므로 $3 + 2 = 5$달러에 풍선 $2$개이

[4] #8 4.OA.A.3 묶음 하나가 $5$달러이고 오빈은 $90$달러를 가지고 있다. 살 수 있는 온전한 묶음의 수는 $90 \div 5 = 18$묶음이며, $90$달

[5] #4 4.OA.A.3 $18$묶음마다 풍선이 $2$개씩 들어 있으므로 오빈은 $18 \times 2 = 36$개를 얻는다. 돈을 정확히 다 썼으므로 하나도 더 살 수

검토

합리성 확인: 할인이 없다면 $90$달러로 풍선 $30$개를 사므로 답은 $30$보다 커야 하고, $36$은 그럴듯한 증가폭이다. 절약액을 직접 확인하면, 한 묶음이 $6$달러 대신 $5$달러이니 $\frac{1}{6}$을 아끼고, 돈은 $30 \times \frac{6}{5} = 36$개까지 늘어난다. 두 방법 모두 $36$을 주고 돈도 정확히 다 쓰므로 (C)와 맞는다.

대안 접근: 정가를 문자 $p$로 두고 소거되는지 보자. 가진 돈은 $30p$, 한 묶음은 $p + \frac{2}{3}p = \frac{5}{3}p$이다. 묶음 수는 $30p \div \frac{5}{3}p = 30 \times \frac{3}{5} = 18$이고 $p$가 사라지므로 개수가 정가와 무관함을 확인한다. 따라서 $18 \times 2 = 36$개, 즉 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (풍선 개수가 정가와 무관함을 알아채 편리한 정가 $3$달러를 고르고, 할인 행사를 묶음당 고정 비용으로 다루는 데 사용.)
5.NF.B.6 Solve real-world problems involving multiplication of fractions and mixed numbers ($3$달러 풍선의 $\frac{1}{3}$ 할인 계산: $3$의 $\frac{1}{3}$은 $1$이므로 할인 풍선은 $2$달러.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (묶음 값 $3+2=5$ 더하기, 예산 $90 \div 5 = 18$묶음 나누기, $18 \times 2 = 36$개 곱하기.)

⭐ 풍선을 둘씩 사자. 두 번째 풍선마다 삼분의 일이 깎이니, 5달러어치 행사로 6달러어치 풍선을 얻어, 서른 개 살 돈이 서른여섯 개로 늘어난다.