AMC 10 · 2002 · #23

학년 6 arithmetic
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence
recursive-sequencetriangular-numberspattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: recursive-sequence
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정수들의 수열이 a₁ = 1로 시작하고, 모든 양의 정수 m, n에 대해 aₘ₊ₙ = aₘ + aₙ + mn이 성립한다. 열두 번째 항 a₁₂를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
45
(B)
56
(C)
67
(D)
78
(E)
89

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

규칙 a_m+n=a_m+a_n+mn 은 자유로운 문자가 두 개라 무겁게 보인다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 이를 길들인다: 규칙이 모든 m, n 에 대해 성립하므로 가장 쉬운 값 n=1을 넣으면, 두 문자 규칙이 다음 항을 구하는 단순한 단계별 방법으로 바뀐다. 그런 다음 도구 #5 (패턴 찾기)가 진짜 일을 한다 — 그 방법이 만들어 내는 처음 몇 항을 나열하면 익숙한 삼각수 1,3,6,10,… 임을 알아채는데, 그 k 번째 값은 1+2+…+k 이다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 a₁ 에서 a₁₂까지 올라가는 동안 지표 m 을 추적해 계산을 정확하게 유지한다.

1STEP 1

n=1을 넣어 단계 규칙 얻기

규칙이 모든 m, n에 대해 성립하니 n=1을 넣자. a₁ = 1이므로 aₘ₊₁ = aₘ + m + 1, 다음 항은 m+1을 더한다.

a_m+1 = a_m + a₁ + m = a_m + (m+1)
2STEP 2

항을 만들며 패턴 찾기

a₁ = 1에서 올라가면 a₂ = 3, a₃ = 6, a₄ = 10, a₅ = 15, 곧 삼각수다. 즉 aₖ = 1 + 2 + … + k.

a₁=1, a₂=3, a₃=6, a₄=10, a₅=15 → a_k = 1+2+…+k
3STEP 3

열두 번째 항까지 더하기

그러면 a₁₂ = 1 + 2 + … + 12. 양 끝을 짝지으면 13이 6쌍이므로 a₁₂ = 6 × 13 = 78, 선택지 (D).

a₁₂ = 1+2+…+12 = 6 × 13 = 78 → (D)
정답
78
n=1 지름길 없이 원래의 두 문자 규칙으로 78을 확인하자. m=n=6을 택하면 a₁₂ = a₆ + a₆ + 6 · 6 = 2a₆ + 36이다. 목록에서 a₆ = 21 이므로 a₁₂ = 2 · 21 + 36 = 42 + 36 = 78 — 완전히 다른 분할로도 같은 답이 나오니 강력한 확인이다. 크기도 타당하다: a₁₂는 1+2+…+12 근처여야 하며, 작은 미끼 45와 큰 미끼 89 사이에 편안하게 놓인다.
💡핵심 정리

규칙이 모든 입력에 대해 성립하면 가장 쉬운 값을 넣어 보자 — 여기서는 n=1이 규칙을 '다음 수를 더한다' 로 바꾸어, 삼각수를 곧장 78까지 쌓아 올린다.

  • n=1을 넣어 단계 규칙 얻기
  • 항을 만들며 패턴 찾기
  • 열두 번째 항까지 더하기

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