AMC 10 · 2002 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

recursive-sequencetriangular-numberspattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: recursive-sequence

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수들의 수열 $\{a_k\}$ 가 $a_1=1$ 을 만족하고, 모든 양의 정수 $m$ , $n$ 에 대해 $a_{m+n}=a_m+a_n+mn$ 을 만족한다. 이때 $a_{12}$ 는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수들의 수열이 $a_1 = 1$ 로 시작하고, 모든 양의 정수 $m$, $n$ 에 대해 $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ 을 만족한다. 열두 번째 수 $a_{12}$ 를 구하여라.

주어진 것: 첫째 항은 $a_1 = 1$ 이다; 모든 양의 정수 $m$, $n$ 에 대해 $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ 이다; 항들은 모두 정수다; 선택지: (A) $45$, (B) $56$, (C) $67$, (D) $78$, (E) $89$

구하는 것: 열두 번째 항 $a_{12}$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #4 변수 도입하기

규칙 $a_{m+n}=a_m+a_n+mn$ 은 자유로운 문자가 두 개라 무겁게 보인다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 가 이를 길들인다: 규칙이 모든 $m$, $n$ 에 대해 성립하므로 가장 쉬운 값 $n=1$ 을 넣으면, 두 문자 규칙이 다음 항을 구하는 단순한 단계별 방법으로 바뀐다. 그런 다음 도구 #5 (패턴 찾기) 가 진짜 일을 한다 — 그 방법이 만들어 내는 처음 몇 항을 나열하면 익숙한 삼각수 $1,3,6,10,\dots$ 임을 알아채는데, 그 $k$ 번째 값은 $1+2+\cdots+k$ 이다. 도구 #4 (변수 도입하기) 는 $a_1$ 에서 $a_{12}$ 까지 올라가는 동안 지표 $m$ 을 추적해 계산을 정확하게 유지한다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 1

$n=1$ 을 넣어 단계 규칙 얻기

규칙은 모든 $m$, $n$ 에 대해 보장되므로 가장 단순한 짝을 고르자: $n=1$ 로 두면 $a_{m+1} = a_m + a_1 + m\cdot 1$ 이다.
$a_1 = 1$ 이므로 이는 $a_{m+1} = a_m + 1 + m = a_m + (m+1)$ 이 된다.
말로 하면: $m$ 번째 항에서 다음 항으로 갈 때 $m+1$ 을 더한다.
무섭던 두 문자 규칙이 '다음 세는 수를 더한다' 는 단순한 방법으로 바뀌었다.

$$a_{m+1} = a_m + a_1 + m = a_m + (m+1)$$

💡 규칙이 모든 입력에 대해 성립하므로, 가장 쉬운 $n=1$ 을 넣어 각 항이 앞 항에서 얼마나 커지는지 읽어낼 수 있다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

항을 만들며 패턴 찾기

$a_1 = 1$ 에서 시작해 매 단계 $m+1$ 을 더하는 방법을 적용한다.
$a_2 = a_1 + 2 = 3$; $a_3 = a_2 + 3 = 6$; $a_4 = a_3 + 4 = 10$; $a_5 = a_4 + 5 = 15$.
목록 $1, 3, 6, 10, 15, \dots$ 는 삼각수다: 각 항은 세는 수들의 누적합이므로 $a_k = 1 + 2 + 3 + \cdots + k$ 이다.

$$a_1{=}1,\ a_2{=}3,\ a_3{=}6,\ a_4{=}10,\ a_5{=}15 \;\Rightarrow\; a_k = 1+2+\cdots+k$$

💡 매 단계 $2$, 그다음 $3$, 그다음 $4$ 를 더하면 세는 수들이 차곡차곡 쌓이는데, 그것이 바로 삼각수다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 3

열두 번째 항까지 더하기

패턴을 쓰면 $a_{12} = 1 + 2 + 3 + \cdots + 12$ 이다.
양 끝을 짝지어 빠르게 더하자: $1+12 = 13$, $2+11 = 13$, 이런 식으로 각각 합이 $13$ 인 짝이 $6$ 개 생긴다.
따라서 $a_{12} = 6 \times 13 = 78$ 이다.
이는 선택지 (D) 이다.

$$a_{12} = 1+2+\cdots+12 = 6 \times 13 = 78 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 긴 합이 곱할 수 있는 몇 개의 똑같은 덩어리로 바뀐다.

[1] #9 6.EE.A.2 규칙은 모든 $m$, $n$ 에 대해 보장되므로 가장 단순한 짝을 고르자: $n=1$ 로 두면 $a_{m+1} = a_m + a_1 + m\cd

[2] #5 4.OA.C.5 $a_1 = 1$ 에서 시작해 매 단계 $m+1$ 을 더하는 방법을 적용한다. $a_2 = a_1 + 2 = 3$; $a_3 = a_2 + 3

[3] #5 4.OA.A.3 패턴을 쓰면 $a_{12} = 1 + 2 + 3 + \cdots + 12$ 이다. 양 끝을 짝지어 빠르게 더하자: $1+12 = 13$, $2+

검토

합리성 확인: $n=1$ 지름길 없이 원래의 두 문자 규칙으로 $78$ 을 확인하자. $m=n=6$ 을 택하면 $a_{12} = a_6 + a_6 + 6\cdot 6 = 2a_6 + 36$ 이다. 목록에서 $a_6 = 21$ 이므로 $a_{12} = 2\cdot 21 + 36 = 42 + 36 = 78$ — 완전히 다른 분할로도 같은 답이 나오니 강력한 확인이다. 크기도 타당하다: $a_{12}$ 는 $1+2+\cdots+12$ 근처여야 하며, 작은 미끼 $45$ 와 큰 미끼 $89$ 사이에 편안하게 놓인다.

대안 접근: 닫힌 식을 바로 알아채자. 삼각수 패턴은 $a_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ 를 주므로 $a_{12} = \tfrac{12\cdot 13}{2} = \tfrac{156}{2} = 78$, 역시 선택지 (D) 이다. 다섯 선택지가 $11$ 씩 떨어져 있음에 주목하자 ($45, 56, 67, 78, 89$); 식이 정확히 $78$ 에 떨어지므로 어떤 근접 미끼도 경쟁할 수 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers ($a_{m+n}=a_m+a_n+mn$ 에 $n=1$ 을 대입해 단계 규칙 $a_{m+1}=a_m+(m+1)$ 로 다시 쓰는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (단계 규칙으로 $1,3,6,10,15,\dots$ 를 생성하고 이를 삼각수로 알아채는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (양 끝을 짝지어 $1+2+\cdots+12$ 를 $6\times 13 = 78$ 로 더하는 데 사용.)

⭐ 규칙이 모든 입력에 대해 성립하면 가장 쉬운 값을 넣어 보자 — 여기서는 $n=1$ 이 규칙을 '다음 수를 더한다' 로 바꾸어, 삼각수를 곧장 $78$ 까지 쌓아 올린다.