AMC 10 · 2002 · #25

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 정수 목록에 $15$ 를 추가하면 평균이 $2$ 만큼 커진다. 그렇게 커진 목록에 다시 $1$ 을 추가하면 그 목록의 평균이 $1$ 만큼 작아진다. 원래 목록에는 정수가 몇 개 있었는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수들로 이루어진 목록의 평균이 있다. 이 목록에 $15$를 추가하면 평균이 $2$만큼 올라간다. 그렇게 커진 목록에 다시 $1$을 추가하면 그 목록의 평균이 $1$만큼 내려간다. 원래 목록에 정수가 몇 개 있었는지 구하여라.

주어진 것: 원래 목록에 $15$를 추가하면 평균이 $2$만큼 커진다; 커진 목록에 $1$을 추가하면 그 목록의 평균이 $1$만큼 작아진다; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 원래 목록에 들어 있는 정수의 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

각각의 정수 값은 알 수 없고 필요하지도 않지만, 개수와 평균은 문제가 이야기하는 바로 그 대상이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 개수를 $n$, 평균을 $m$이라 두면 합이 $nm$으로 정해진다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 평균에 관한 각 문장을 일차방정식으로 옮기면, 깔끔하게 풀리는 작은 $2\times 2$ 연립방정식이 나온다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 검토 단계를 위해 남겨 둔다. 선택지가 작은 자연수들이므로, 구한 개수를 구체적인 목록에 다시 넣어 두 조건을 모두 확인할 수 있다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 1

개수와 평균에 이름 붙이기

원래 목록의 정수 개수를 $n$, 평균을 $m$이라 하자.
평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 모든 정수의 합은 $nm$이다.
평균에 관한 질문이 실제로 의존하는 것은 이 두 문자뿐이므로, 개별 정수 값은 모른 채로 두어도 된다.

$$\text{합} = nm$$

💡 평균은 목록 전체를 한 수로 압축한 것이므로, 개수 곱하기 평균이 전체 합을 되돌려 준다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 2

첫 번째 변화를 방정식으로 옮기기

$15$를 추가하면 개수는 $n+1$, 합은 $nm+15$가 되고, 새 평균은 원래 평균에 $2$를 더한 값이다.
이를 $\dfrac{nm+15}{n+1}=m+2$로 쓰고 분모를 없애면 $nm+15=(m+2)(n+1)=nm+m+2n+2$가 된다.
양변에서 $nm$이 상쇄되어 $15=m+2n+2$, 즉 $m+2n=13$이 남는다.

$$\dfrac{nm+15}{n+1}=m+2 \;\Rightarrow\; m+2n=13$$

💡 새 평균에 새 개수를 곱하면 새 합이 되어야 하고, 공통된 $nm$은 사라진다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 3

두 번째 변화를 방정식으로 옮기기

이제 커진 목록에 $1$을 추가한다.
개수는 $n+2$, 합은 $nm+15+1=nm+16$이다.
새 평균은 커진 평균 $m+2$에서 $1$을 내린 값이므로 $m+1$과 같다.
그러면 $\dfrac{nm+16}{n+2}=m+1$에서 $nm+16=(m+1)(n+2)=nm+2m+n+2$가 된다.
다시 $nm$이 상쇄되어 $16=2m+n+2$, 즉 $2m+n=14$가 남는다.

$$\dfrac{nm+16}{n+2}=m+1 \;\Rightarrow\; 2m+n=14$$

💡 두 번째 평균은 올라간 평균에서 재기 때문에, 내려간 값은 $m$보다가 아니라 $m+2$보다 하나 아래다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 4

두 방정식을 함께 풀기

연립방정식은 $m+2n=13$과 $2m+n=14$이다.
첫 식에서 $m=13-2n$이다.
이를 둘째 식에 대입하면 $2(13-2n)+n=14$, 즉 $26-3n=14$가 되어 $3n=12$, $n=4$(그리고 $m=5$)를 얻는다.
원래 목록에는 정수가 $4$개 있었으므로 답은 (A)이다.

$$m=13-2n \;\Rightarrow\; 26-3n=14 \;\Rightarrow\; n=4$$

💡 같은 $n$과 $m$에 대한 서로 다른 두 사실이 정확히 하나의 해를 고정한다.

[1] #4 6.SP.B.5 원래 목록의 정수 개수를 $n$, 평균을 $m$이라 하자. 평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 모든 정수의 합은 $nm$이다. 평균에 관한 질문

[2] #13 6.EE.B.6 $15$를 추가하면 개수는 $n+1$, 합은 $nm+15$가 되고, 새 평균은 원래 평균에 $2$를 더한 값이다. 이를 $\dfrac{nm+15

[3] #13 6.EE.B.6 이제 커진 목록에 $1$을 추가한다. 개수는 $n+2$, 합은 $nm+15+1=nm+16$이다. 새 평균은 커진 평균 $m+2$에서 $1$을 내

[4] #4 8.EE.C.8 연립방정식은 $m+2n=13$과 $2m+n=14$이다. 첫 식에서 $m=13-2n$이다. 이를 둘째 식에 대입하면 $2(13-2n)+n=14$,

검토

합리성 확인: 답을 구체적인 목록, 즉 $5$가 네 개인 목록에 다시 넣어 보자. 이 목록의 평균은 $5$, 합은 $20$이다. $15$를 추가하면 합은 $35$, 개수는 $5$이므로 평균은 $7$ — 조건대로 $2$만큼 올라간다. $1$을 추가하면 합은 $36$, 개수는 $6$이므로 평균은 $6$ — $7$에서 $1$만큼 내려간다. 두 조건이 모두 성립하므로 $n=4$는 일관적이다.

대안 접근: 선택지에서 바로 추측하고 확인해 볼 수도 있다. $n=4$이고 모든 값이 평균 $m$과 같다고 두면, 두 방정식 $m+2n=13$과 $2m+n=14$는 모두 $m=5$를 요구하며, $5+8=13$과 $10+4=14$가 모두 맞는다. 반면 다른 선택지들은 이 두 방정식을 만족시키지 못한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.SP.B.5 관측값의 개수와 중심 경향값을 보고하여 수치 자료 집합을 요약하기 (평균 = 합 ÷ 개수를 이용하여 목록의 합을 $nm$으로 나타내는 데 사용.)
6.EE.B.6 문제를 풀 때 변수로 수를 나타내고 식을 세우기 (변하는 평균에 관한 각 문장을 $n$과 $m$에 대한 방정식으로 옮기는 데 사용.)
8.EE.C.8 연립일차방정식을 분석하고 풀기 ($m+2n=13$과 $2m+n=14$를 함께 풀어 $n=4$를 구하는 데 사용.)

⭐ 개수와 평균만 주어졌다면, 개수와 평균에 이름을 붙이고 합을 개수 곱하기 평균으로 쓴 다음, 평균에 관한 각 문장을 깔끔한 방정식 하나로 바꾸면 된다.