AMC 10 · 2002 · #25

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수들로 이루어진 목록의 평균이 있다. 이 목록에 15를 추가하면 평균이 2만큼 올라간다. 그렇게 커진 목록에 다시 1을 추가하면 그 목록의 평균이 1만큼 내려간다. 원래 목록에 정수가 몇 개 있었는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

각각의 정수 값은 알 수 없고 필요하지도 않지만, 개수와 평균은 문제가 이야기하는 바로 그 대상이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 개수를 n, 평균을 m이라 두면 합이 nm으로 정해진다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 평균에 관한 각 문장을 일차방정식으로 옮기면, 깔끔하게 풀리는 작은 2 × 2 연립방정식이 나온다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 검토 단계를 위해 남겨 둔다. 선택지가 작은 자연수들이므로, 구한 개수를 구체적인 목록에 다시 넣어 두 조건을 모두 확인할 수 있다.

1STEP 1

개수와 평균에 이름 붙이기

정수 개수를 n, 평균을 m이라 하면 합은 nm이다. 개별 값은 끝까지 몰라도 된다.

합 = nm

2STEP 2

첫 번째 변화를 방정식으로 옮기기

15를 추가하면 개수 n+1, 합 nm+15, 평균 m+2이므로 nm이 상쇄되어 m+2n=13이 남는다.

(nm+15)/(n+1)=m+2 → m+2n=13

3STEP 3

두 번째 변화를 방정식으로 옮기기

1을 더하면 개수 n+2, 합 nm+16, 평균은 m+2보다 1 작은 m+1이므로 2m+n=14가 남는다.

(nm+16)/(n+2)=m+1 → 2m+n=14

4STEP 4

두 방정식을 함께 풀기

m=13-2n을 2m+n=14에 대입하면 26-3n=14이므로 n=4, m=5이다. 답은 (A)이다.

m=13-2n → 26-3n=14 → n=4

정답

답을 구체적인 목록, 즉 5가 네 개인 목록에 다시 넣어 보자. 이 목록의 평균은 5, 합은 20이다. 15를 추가하면 합은 35, 개수는 5이므로 평균은 7 — 조건대로 2만큼 올라간다. 1을 추가하면 합은 36, 개수는 6이므로 평균은 6 — 7에서 1만큼 내려간다. 두 조건이 모두 성립하므로 n=4는 일관적이다.

💡핵심 정리

개수와 평균만 주어졌다면, 개수와 평균에 이름을 붙이고 합을 개수 곱하기 평균으로 쓴 다음, 평균에 관한 각 문장을 깔끔한 방정식 하나로 바꾸면 된다.

개수와 평균에 이름 붙이기
첫 번째 변화를 방정식으로 옮기기
두 번째 변화를 방정식으로 옮기기
두 방정식을 함께 풀기

개수와 평균에 이름 붙이기

첫 번째 변화를 방정식으로 옮기기

두 번째 변화를 방정식으로 옮기기

두 방정식을 함께 풀기

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