AMC 10 · 2002 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

order-of-operationspolynomial-factoring identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$x=4$ 일 때 $(3x - 2)(4x + 1) - (3x - 2)4x + 1$ 의 값은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 10$

(D)

$\ 11$

(E)

$\ 12$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x=4$ 일 때 $(3x-2)(4x+1) - (3x-2)\cdot4x + 1$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 식 $(3x-2)(4x+1) - (3x-2)\cdot4x + 1$; 앞의 두 항은 모두 $(3x-2)$ 라는 조각을 품고 있고, 마지막 $+1$ 은 두 곱 바깥에 홀로 떨어져 있음; $x=4$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $x=4$ 일 때 이 식이 같아지는 하나의 수

이해

문제 재정리: $x=4$ 일 때 $(3x-2)(4x+1) - (3x-2)\cdot4x + 1$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

앞의 두 항은 똑같은 인수 $(3x-2)$ 를 지니고 있으므로, 모두 전개하는 대신 도구 #15(다르게 정리하기)로 그 공통 인수를 앞으로 빼냅니다: $(3x-2)\big[(4x+1)-4x\big]+1$. 대괄호 안은 하나의 수로 줄어들어, 지저분한 문제가 한 줄짜리 문제로 바뀝니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 남은 부분을 깔끔한 단계로 처리합니다 — 대괄호 정리, 남은 $+1$ 더하기, $x=4$ 대입. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 막습니다: 바깥의 $+1$ 을 빠뜨리면 $10$ 이 나오고((C) 제거), 남은 상수 $-2+1$ 을 $0$ 으로 잘못 다루면 $12$ 가 나옵니다((E) 제거).

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

공통 인수 빼내기

앞의 두 항 $(3x-2)(4x+1)$ 과 $(3x-2)\cdot4x$ 를 보세요.
둘 다 $(3x-2)$ 곱하기 무언가입니다.
분배법칙을 거꾸로 쓰면(인수분해), $(3x-2)(4x+1)-(3x-2)\cdot4x = (3x-2)\big[(4x+1)-4x\big]$ 입니다.
맨 끝의 $+1$ 은 어느 곱에도 속하지 않으므로 그대로 데리고 갑니다.

$$(3x-2)(4x+1)-(3x-2)\cdot4x+1 = (3x-2)\big[(4x+1)-4x\big]+1$$

💡 두 항이 같은 인수를 지니면 그 인수를 앞으로 빼고 남은 것끼리 빼면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

대괄호 정리하기

대괄호 안에서 빼기를 합니다: $(4x+1)-4x$.
$4x$ 와 $-4x$ 가 상쇄되어 $1$ 만 남습니다.
그래서 두 큰 곱을 합치면 $(3x-2)\cdot1 = 3x-2$ 입니다.
$4x$ 관련 계산이 모두 사라졌습니다.

$$(4x+1)-4x = 1 \;\Rightarrow\; (3x-2)\cdot1 = 3x-2$$

💡 같은 $4x$ 를 더했다 뺐으니 남는 것이 없어 대괄호는 그냥 $1$ 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 3

남은 $+1$ 더하기

이제 바깥에서 기다리던 $+1$ 을 다시 가져옵니다: $3x-2+1$.
상수끼리 계산하면 $-2+1=-1$.
그래서 식 전체는 $3x-1$ 로 줄어듭니다.
이 바깥의 $+1$ 을 빠뜨리지 마세요 — 빠뜨리면 $3x-2$ 가 나오는 실수를 하게 됩니다.

$$(3x-2)+1 = 3x-2+1 = 3x-1$$

💡 홀로 있던 $+1$ 이 상수를 $-2$ 에서 $-1$ 로 밀어 올립니다 — 잊으면 안 됩니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 4

$x=4$ 대입하기

마지막으로 정리된 식 $3x-1$ 에 $x=4$ 를 넣습니다: $3\cdot4-1 = 12-1 = 11$.
이것이 선택지 (D)입니다.
(C)의 함정 $10$ 은 $3x-2$ 로, 바깥의 $+1$ 을 빠뜨렸을 때 나오고, (E)의 함정 $12$ 는 $3x$ 로, 상수 $-2+1$ 을 $0$ 으로 잘못 보았을 때 나옵니다.

$$3\cdot4-1 = 12-1 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 식이 $3x-1$ 로 줄어들고 나면 한 번의 대입으로 끝납니다.

[1] #15 6.EE.A.3 앞의 두 항 $(3x-2)(4x+1)$ 과 $(3x-2)\cdot4x$ 를 보세요. 둘 다 $(3x-2)$ 곱하기 무언가입니다. 분배법칙을 거꾸

[2] #7 6.EE.A.3 대괄호 안에서 빼기를 합니다: $(4x+1)-4x$. $4x$ 와 $-4x$ 가 상쇄되어 $1$ 만 남습니다. 그래서 두 큰 곱을 합치면 $(3

[3] #7 6.EE.A.3 이제 바깥에서 기다리던 $+1$ 을 다시 가져옵니다: $3x-2+1$. 상수끼리 계산하면 $-2+1=-1$. 그래서 식 전체는 $3x-1$ 로

[4] #3 6.EE.A.2 마지막으로 정리된 식 $3x-1$ 에 $x=4$ 를 넣습니다: $3\cdot4-1 = 12-1 = 11$. 이것이 선택지 (D)입니다. (C)의

검토

합리성 확인: 지름길을 곧이곧대로 대입한 계산과 맞춰 봅니다. $x=4$ 일 때: $(3\cdot4-2)=10$, $(4\cdot4+1)=17$ 이므로 첫 번째 곱은 $10\cdot17=170$, 두 번째 항은 $10\cdot16=160$, 따라서 $170-160+1=11$ 입니다. 이는 인수분해 지름길이 준 $3x-1=11$ 과 일치하여 (D)를 확인해 줍니다. 답도 선택지 사이에서 자연스러운 크기이며, 근처의 $10$ 과 $12$ 는 정확히 가장 흔한 두 실수가 만들어 내는 값입니다.

대안 접근: 인수분해를 아예 건너뛰고 처음부터 $x=4$ 를 대입합니다: $(10)(17)-(10)(16)+1 = 170-160+1 = 11$. 이 방법도 (D)에 도달하지만 더 큰 수를 곱해야 합니다 — 인수분해 방법은 대입 전에 $4x$ 를 상쇄하여 큰 곱을 피합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 (앞의 두 항에서 공통 인수 $(3x-2)$ 를 빼내고, 대괄호 안의 $4x$ 를 상쇄하며, 상수를 합쳐 $3x-1$ 에 도달하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산한다 (정리된 식 $3x-1$ 에 $x=4$ 를 대입하여 $11$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 두 항이 같은 인수를 지니면 그 인수를 먼저 앞으로 빼내세요 — 지저분한 부분이 상쇄되고 대입할 작은 식만 남는 경우가 많습니다.