AMC 10 · 2002 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

order-of-operationspolynomial-factoring identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

식 (3x-2)(4x+1) - (3x-2)·4x + 1은 두 곱에 같은 인수 (3x-2)를 반복해서 담고 있고, 마지막 +1은 두 곱 바깥에 놓여 있습니다. x=4일 때 이 식의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 0$

(B)

$\ 1$

(C)

$\ 10$

(D)

$\ 11$

(E)

$\ 12$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

앞의 두 항은 똑같은 인수 (3x-2)를 지니고 있으므로, 모두 전개하는 대신 도구 #15(다르게 정리하기)로 그 공통 인수를 앞으로 빼냅니다: (3x-2)[(4x+1)-4x]+1. 대괄호 안은 하나의 수로 줄어들어, 지저분한 문제가 한 줄짜리 문제로 바뀝니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 남은 부분을 깔끔한 단계로 처리합니다 — 대괄호 정리, 남은 +1 더하기, x=4 대입. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 막습니다: 바깥의 +1을 빠뜨리면 10이 나오고((C) 제거), 남은 상수 -2+1을 0으로 잘못 다루면 12가 나옵니다((E) 제거).

1STEP 1

공통 인수 빼내기

앞의 두 항은 모두 (3x-2) 곱하기이므로 묶어냅니다: (3x-2)[(4x+1)-4x]. 바깥 +1은 그대로 둡니다.

(3x-2)(4x+1)-(3x-2)·4x+1 = (3x-2)[(4x+1)-4x]+1

2STEP 2

대괄호 정리하기

대괄호 안에서 4x와 -4x가 상쇄되어 1만 남습니다. 두 곱은 합쳐서 (3x-2)·1 = 3x-2입니다.

(4x+1)-4x = 1 → (3x-2)·1 = 3x-2

3STEP 3

남은 +1 더하기

바깥에서 기다리던 +1을 더합니다: 3x-2+1. 상수끼리 -2+1 = -1이므로 식 전체는 3x-1입니다.

(3x-2)+1 = 3x-2+1 = 3x-1

4STEP 4

x=4 대입하기

3x-1에 x=4를 넣으면 3·4-1 = 12-1 = 11, 즉 (D)입니다. 바깥의 +1을 빠뜨리면 (C)의 10이 나옵니다.

3·4-1 = 12-1 = 11 → (D)

정답

지름길을 곧이곧대로 대입한 계산과 맞춰 봅니다. x=4 일 때: (3·4-2)=10, (4·4+1)=17 이므로 첫 번째 곱은 10·17=170, 두 번째 항은 10·16=160, 따라서 170-160+1=11입니다. 이는 인수분해 지름길이 준 3x-1=11과 일치하여 (D)를 확인해 줍니다. 답도 선택지 사이에서 자연스러운 크기이며, 근처의 10과 12는 정확히 가장 흔한 두 실수가 만들어 내는 값입니다.

💡핵심 정리

두 항이 같은 인수를 지니면 그 인수를 먼저 앞으로 빼내세요 — 지저분한 부분이 상쇄되고 대입할 작은 식만 남는 경우가 많습니다.

공통 인수 빼내기
대괄호 정리하기
남은 +1 더하기
x=4 대입하기

공통 인수 빼내기

대괄호 정리하기

남은 +1 더하기

x=4 대입하기

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