AMC 10 · 2002 · #5

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circles area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 $2$ 와 $3$ 인 두 원이 외접하고, 그림과 같이 세 번째 원에 내접한다. 색칠된 부분의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\pi$

(B)

$4\pi$

(C)

$6\pi$

(D)

$9\pi$

(E)

$12\pi$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $3$인 원과 반지름이 $2$인 원이 나란히 붙어 서로 맞닿아 있고, 두 원이 모두 더 큰 원 안에 딱 맞게 들어가 그 큰 원과도 맞닿아 있습니다. 큰 원 안이면서 두 작은 원 바깥인 부분의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 작은 두 원의 반지름은 각각 $3$과 $2$입니다; 두 작은 원은 외접합니다 (한 점에서 맞닿습니다); 큰 원은 각 작은 원의 바깥쪽 끝을 지납니다 (두 원을 감쌉니다); 색칠된 부분은 큰 원에서 두 작은 원이 덮지 않은 부분입니다; 선택지: (A) $3\pi$, (B) $4\pi$, (C) $6\pi$, (D) $9\pi$, (E) $12\pi$

구하는 것: 색칠된 부분의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 그림 속 한 가지 사실에서 풀립니다. 두 작은 원의 중심을 지나는 가로선이 사실은 큰 원의 지름이라는 점입니다. 그래서 도구 #1 (그림 그리기)로 그 선 위의 길이를 바로 읽어 큰 원의 크기를 알아냅니다. 큰 원의 반지름을 알고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 색칠된 넓이를 세 개의 쉬운 원 넓이 계산으로 나누어 뺄셈으로 합칩니다 — 큰 원에서 두 작은 원을 뺍니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

선에서 큰 원의 지름 읽기

가로선은 각 작은 원의 중심을 지나므로, 큰 원을 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 곧게 가로지르는 길 — 즉 지름입니다.
이 선을 따라가면 반지름 $3$인 원을 두 번 ($3+3$), 반지름 $2$인 원을 두 번 ($2+2$) 지납니다.
두 작은 원이 틈 없이 맞닿아 있기 때문입니다.
따라서 큰 원의 지름은 $3+3+2+2=10$입니다.

$$\text{지름} = 2(3)+2(2)=10$$

💡 작은 원들을 변끼리 맞대어 늘어놓으면 큰 원의 폭 전체에 걸칩니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

큰 원의 반지름 구하기

반지름은 지름의 절반이므로, 큰 원의 반지름은 $10\div2=5$입니다.

$$R = \dfrac{10}{2}=5$$

💡 반지름은 언제나 가로질러 간 거리의 절반입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

큰 원의 넓이

원의 넓이 공식 $\pi r^2$에 $r=5$를 넣습니다.
큰 원의 넓이는 $\pi\cdot 5^2 = 25\pi$입니다.

$$\pi R^2 = \pi(5)^2 = 25\pi$$

💡 반지름을 제곱해 $\pi$를 곱하면 원이 차지하는 넓이가 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 작은 원의 넓이

같은 공식으로 각 작은 원의 넓이를 구합니다.
반지름 $3$인 원은 $\pi(3)^2=9\pi$, 반지름 $2$인 원은 $\pi(2)^2=4\pi$를 차지합니다.
둘을 합하면 $9\pi+4\pi=13\pi$입니다.

$$\pi(3)^2+\pi(2)^2 = 9\pi+4\pi = 13\pi$$

💡 각 흰 원은 그저 자기 자신의 $\pi r^2$입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 5

빼서 색칠된 넓이 구하기

색칠된 부분은 큰 원에서 두 작은 원을 덜어낸 나머지입니다.
모든 넓이가 $\pi$의 몇 배이므로, 그 개수끼리 뺍니다: $25\pi-13\pi=(25-13)\pi=12\pi$.
이것이 선택지 (E)입니다.

$$25\pi-13\pi=(25-13)\pi=12\pi\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 덮인 부분을 빼면 남은 $\pi$들이 색칠된 넓이입니다.

[1] #1 7.G.B.4 가로선은 각 작은 원의 중심을 지나므로, 큰 원을 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 곧게 가로지르는 길 — 즉 지름입니다. 이 선을 따라가면 반지름 $

[2] #1 7.G.B.4 반지름은 지름의 절반이므로, 큰 원의 반지름은 $10\div2=5$입니다.

[3] #7 7.G.B.4 원의 넓이 공식 $\pi r^2$에 $r=5$를 넣습니다. 큰 원의 넓이는 $\pi\cdot 5^2 = 25\pi$입니다.

[4] #7 7.G.B.4 같은 공식으로 각 작은 원의 넓이를 구합니다. 반지름 $3$인 원은 $\pi(3)^2=9\pi$, 반지름 $2$인 원은 $\pi(2)^2=4\p

[5] #7 6.EE.A.3 색칠된 부분은 큰 원에서 두 작은 원을 덜어낸 나머지입니다. 모든 넓이가 $\pi$의 몇 배이므로, 그 개수끼리 뺍니다: $25\pi-13\pi

검토

합리성 확인: 큰 원($25\pi$)이 두 작은 원을 합친 것($13\pi$)보다 훨씬 크므로, 색칠된 부분이 $12\pi$ — 큰 원의 절반보다 조금 작은 값 — 인 것은 큰 원에서 두 조각을 베어낸 결과로 자연스럽습니다. 더 작은 선택지들을 빠르게 점검하면, $3\pi$나 $4\pi$는 작은 원들이 큰 원을 거의 다 덮는다는 뜻이 되어 그림과 분명히 어긋납니다. 반드시 맞아야 하는 핵심은 지름입니다. $R=5$를 지름으로 잘못 쓰거나 반지름을 두 배 하는 것을 잊으면 답 전체가 어긋납니다.

대안 접근: 선을 따라가는 대신 지름 사실을 식으로 다룰 수도 있습니다. 큰 지름은 두 작은 지름의 합, 즉 $2\cdot3+2\cdot2=10$이므로 $R=5$이고, 색칠된 넓이 $=\pi R^2-\pi(3)^2-\pi(2)^2=25\pi-9\pi-4\pi=12\pi$입니다. 같은 결과가 한 줄에 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 (작은 반지름들을 큰 원의 지름($10$)과 반지름($5$)에 연결하고, $\pi r^2$로 넓이 $25\pi$, $9\pi$, $4\pi$를 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (공통인 $\pi$를 묶어내어 $25\pi-13\pi=(25-13)\pi=12\pi$로 빼는 데 사용.)

⭐ 두 원을 변끼리 맞대어 늘어놓으면 그 폭들이 큰 원의 지름이 되고, 색칠된 부분은 큰 원의 넓이에서 두 작은 원을 뺀 것입니다.