AMC 10 · 2002 · #7

학년 5 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

fraction-arithmeticlcmdivisibility-rules bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

양의 정수 $n$ 에 대해 $\frac 12 + \frac 13 + \frac 17 + \frac 1n$ 이 정수라고 하자. 다음 진술 중 참이 아닌 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2\ \text{divides\ }n$

(B)

$\ 3\ \text{divides\ }n$

(C)

$$\ 6\ \text{divides\ }n$

(D)

$\ 7\ \text{divides\ }n$

(E)

$\ n > 84$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $n$을 골라서 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{n}$이 정수가 되도록 합니다. $n$에 관한 다섯 개의 진술 중에서 참이 아닌 것 하나를 찾으세요.

주어진 것: $n$은 양의 정수입니다; $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{n}$은 정수입니다; 진술: (A) $2$가 $n$을 나눕니다, (B) $3$이 $n$을 나눕니다, (C) $6$이 $n$을 나눕니다, (D) $7$이 $n$을 나눕니다, (E) $n>84$

구하는 것: 다섯 진술 중 거짓인 것 하나

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

$n$을 알기 전에는 다섯 진술을 판단할 수 없으므로, 진짜 할 일은 $n$을 찾는 것입니다. 먼저 (도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 이미 아는 세 분수를 더해 하나의 고정된 수 $\frac{41}{42}$을 얻습니다. 그다음 핵심 수는 도구 #14 (극단의 원리)입니다. $\frac{1}{n}$은 작고 양수이므로 전체 합이 두 경계 사이에 갇혀 정수 $1$에만 놓일 수 있습니다 — 이 경계 논증이 $n=42$를 확정합니다. $n$을 알고 나면 도구 #3 (가능성 지우기)으로 각 진술을 검사해 실패하는 것을 남깁니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 1

이미 아는 세 분수 더하기

먼저 $n$이 들어가지 않는 부분을 합칩니다.
분모 $2$, $3$, $7$의 최소공통분모는 $42$이므로 각 분수를 $42$ 위로 고쳐 씁니다: $\frac{1}{2}=\frac{21}{42}$, $\frac{1}{3}=\frac{14}{42}$, $\frac{1}{7}=\frac{6}{42}$.
분자를 더하면 $\frac{21+14+6}{42}=\frac{41}{42}$입니다.

$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{21+14+6}{42}=\dfrac{41}{42}$$

💡 고정된 세 분수를 한 분모 위에 올리면 다룰 수 있는 하나의 수로 뭉쳐집니다.

#14 극단의 원리 4.NF.A.2 단계 2

전체 합을 두 경계 사이에 가두기

이제 전체 합은 $\frac{41}{42}+\frac{1}{n}$입니다.
$\frac{41}{42}$은 $1$ 바로 아래임에 주목하세요.
$n$은 양의 정수이므로 $\frac{1}{n}$은 $0$보다 크고 $1$ 이하입니다.
따라서 전체 합은 $\frac{41}{42}$보다 크지만 $\frac{41}{42}+1$보다 작고, 그 값은 $2$ 미만입니다.
$\frac{41}{42}$과 $2$ 사이에 갇히는 유일한 정수는 $1$이므로, 합은 정확히 $1$이어야 합니다.

$$\dfrac{41}{42}<\dfrac{41}{42}+\dfrac{1}{n}<\dfrac{41}{42}+1<2\;\Rightarrow\;\text{합}=1$$

💡 $1$ 바로 아래인 수에 작은 양수를 더하면 바로 다음 정수인 $1$까지만 도달할 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

n 구하기

합이 $1$이라면, $\frac{1}{n}$은 $\frac{41}{42}$에서 $1$까지 모자란 만큼입니다: $\frac{1}{n}=1-\frac{41}{42}=\frac{1}{42}$.
두 단위분수는 분모가 같을 때만 같으므로 $n=42$입니다.

$$\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{41}{42}=\dfrac{1}{42}\;\Rightarrow\;n=42$$

💡 $1$ 아래로 남은 틈이 바로 마지막 분수여야 하고, $\frac{1}{42}$이 그것을 가리킵니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

n = 42로 각 진술 검사하기

이제 $n=42$로 진술을 확인합니다.
$42=2\times3\times7$이므로 $2$로 나누어지고 (A 참), $3$으로 나누어지고 (B 참), $6=2\times3$으로 나누어지고 (C 참), $7$로 나누어집니다 (D 참).
진술 (E)는 $n>84$를 주장하지만 $42$은 $84$보다 크지 않으므로 (E)는 거짓입니다.
참이 아닌 유일한 진술은 (E)입니다.

$$42=2\times3\times7\;\Rightarrow\;2\mid42,\;3\mid42,\;6\mid42,\;7\mid42;\quad 42\not>84\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 $42$을 소인수로 쪼개면 작은 약수 주장은 모두 쉽게 확인되고, 크기 주장만 실패로 남습니다.

[1] #7 5.NF.A.1 먼저 $n$이 들어가지 않는 부분을 합칩니다. 분모 $2$, $3$, $7$의 최소공통분모는 $42$이므로 각 분수를 $42$ 위로 고쳐 씁니다

[2] #14 4.NF.A.2 이제 전체 합은 $\frac{41}{42}+\frac{1}{n}$입니다. $\frac{41}{42}$은 $1$ 바로 아래임에 주목하세요. $n$

[3] #7 5.NF.A.1 합이 $1$이라면, $\frac{1}{n}$은 $\frac{41}{42}$에서 $1$까지 모자란 만큼입니다: $\frac{1}{n}=1-\fra

[4] #3 4.OA.B.4 이제 $n=42$로 진술을 확인합니다. $42=2\times3\times7$이므로 $2$로 나누어지고 (A 참), $3$으로 나누어지고 (B 참

검토

합리성 확인: 찾은 값을 직접 확인합니다: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}=\frac{21+14+6+1}{42}=\frac{42}{42}=1$로 정수이므로 $n=42$이 맞습니다. 그러면 네 진술 (A, B, C, D)이 참이고 정확히 하나 (E)만 거짓이 되어, 진술 하나가 실패한다는 문제의 약속과 맞습니다. 함정 답은 나눗셈 진술을 고르는 것이지만 $42$은 실제로 $2$, $3$, $6$, $7$의 배수입니다. 오직 크기 비교 $n>84$만 무너집니다.

대안 접근: 경계 논증을 건너뛰고 처음부터 공통분모로 다룰 수도 있습니다: 합이 정수이려면 $\frac{21+14+6}{42}+\frac{1}{n}=\frac{41}{42}+\frac{1}{n}$이 정수여야 하므로 $\frac{1}{n}$이 모자란 $\frac{1}{42}$을 채워야 합니다 (더 큰 도약은 $2$에 닿기 전에 $1$을 넘어 지나칩니다). 이 역시 $n=42$을 주고, 같은 진술 검사가 (E)를 집어냅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators ($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}$을 공통분모 $42$ 위에서 더해 $\frac{41}{42}$을 얻고, $1-\frac{41}{42}=\frac{1}{42}$을 빼서 $n$을 구함.)
4.NF.A.2 Compare two fractions with different numerators and different denominators ($\frac{41}{42}$을 $1$과 비교하고 $\frac{1}{n}$을 한정해 전체 합을 $\frac{41}{42}$과 $2$ 사이에 가두어 합이 $1$이 되도록 함.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($42=2\times3\times7$로 소인수분해하고 $2$, $3$, $6$, $7$의 배수임을 확인해 진술 (A)-(D)를 검사함.)

⭐ 더할 수 있는 분수를 먼저 더하고, 남은 것이 아주 작은 양수라면 전체는 바로 다음 정수까지만 올라갈 수 있습니다 — 여기서는 $n=42$로 정해지므로 거짓인 주장은 $n>84$입니다.