AMC 10 · 2002 · #7

학년 5 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

fraction-arithmeticlcmdivisibility-rules bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlcm

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문제

양의 정수 n을 골라서 1/2+1/3+1/7+1/n이 정수가 되도록 합니다. n에 관한 다섯 개의 진술 중에서 참이 아닌 것 하나를 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2\ \text{divides\ }n$

(B)

$\ 3\ \text{divides\ }n$

(C)

$\ 6\ \text{divides\ }n$

(D)

$\ 7\ \text{divides\ }n$

(E)

$\ n > 84$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

n을 알기 전에는 다섯 진술을 판단할 수 없으므로, 진짜 할 일은 n을 찾는 것입니다. 먼저 (도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 이미 아는 세 분수를 더해 하나의 고정된 수 41/42을 얻습니다. 그다음 핵심 수는 도구 #14 (극단의 원리)입니다. 1/n은 작고 양수이므로 전체 합이 두 경계 사이에 갇혀 정수 1에만 놓일 수 있습니다 — 이 경계 논증이 n=42를 확정합니다. n을 알고 나면 도구 #3 (가능성 지우기)으로 각 진술을 검사해 실패하는 것을 남깁니다.

1STEP 1

이미 아는 세 분수 더하기

n이 없는 세 분수를 공통분모 42 위에 올리면 (21+14+6)/42=41/42입니다.

1/2+1/3+1/7=(21+14+6)/42=41/42

2STEP 2

전체 합을 두 경계 사이에 가두기

합은 41/42+1/n입니다. 1/n이 양수이고 1 이하라 41/42와 2 사이에 갇히므로 합은 1이어야 합니다.

41/42 ＜ 41/42+1/n ＜ 41/42+1 ＜ 2 → 합=1

3STEP 3

n 구하기

1/n은 1까지 모자란 만큼이라 1/n=1-41/42=1/42이고, 단위분수는 분모가 같아야 하므로 n=42입니다.

1/n=1-41/42=1/42 → n=42

4STEP 4

n = 42로 각 진술 검사하기

42=2×3×7이라 (A)~(D)는 모두 참이지만 42는 84보다 크지 않으므로 거짓인 것은 (E)입니다.

42=2×3×7 → 2 ∣ 42, 3 ∣ 42, 6 ∣ 42, 7 ∣ 42; 42 ≯ 84 → (E)

정답

n ＞ 84

찾은 값을 직접 확인합니다: 1/2+1/3+1/7+1/42=(21+14+6+1)/42=42/42=1로 정수이므로 n=42가 맞습니다. 그러면 네 진술 (A, B, C, D)이 참이고 정확히 하나 (E)만 거짓이 되어, 진술 하나가 실패한다는 문제의 약속과 맞습니다. 함정 답은 나눗셈 진술을 고르는 것이지만 42는 실제로 2, 3, 6, 7의 배수입니다. 오직 크기 비교 n ＞ 84만 무너집니다.

💡핵심 정리

더할 수 있는 분수를 먼저 더하고, 남은 것이 아주 작은 양수라면 전체는 바로 다음 정수까지만 올라갈 수 있습니다 — 여기서는 n=42로 정해지므로 거짓인 주장은 n ＞ 84입니다.

이미 아는 세 분수 더하기
전체 합을 두 경계 사이에 가두기
n 구하기
n = 42로 각 진술 검사하기

이미 아는 세 분수 더하기

전체 합을 두 경계 사이에 가두기

n 구하기

n = 42로 각 진술 검사하기

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