AMC 10 · 2002 · #9
학년 7 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
120개 단어를 전부 적어도 답은 나오지만 실수가 생기기 쉽다. 그래서 USAMO를 직접 찾는 대신(도구 #16, 관점 바꾸기) 그보다 앞에 오는 단어 수를 세고 1을 더한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 앞에 오는 단어들을 깔끔한 알파벳 묶음으로 정리해 준다 — 먼저 첫 글자로, 다음에 둘째 글자로 나눈다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 자리의 묶음 크기를 하나씩 처리한다. 글자를 하나 고정할 때마다 남은 글자들을 배열하는 경우의 수는 팩토리얼이고, 이 수들을 그냥 더하면 된다. 유의할 점은 마지막 +1이다. USAMO보다 앞에 오는 단어 수는 114인데, 이것이 함정 선택지 (C)이며 실제 자리는 그보다 하나 더 크다.
U보다 앞선 첫 글자로 시작하는 단어 세기
A ＜ M ＜ O ＜ S ＜ U이므로 A, M, O, S로 시작하는 단어는 모두 앞선다. 4 × 4! = 96개이다.
첫 글자를 U보다 작은 글자로 고정하면 그 단어는 반드시 앞에 오고, 남은 글자들은 4!가지로 펼쳐진다.
첫 글자를 더 작은 것으로 고정하면 뒤에 무엇이 오든 그 낱말이 앞에 온다.
▸ 왜?
어떤 낱말이 첫 글자에서 앞서면, 그 뒤 무엇으로도 비교를 뒤집을 수 없다.
▸ 왜?
남은 글자는 자유롭게 늘어서므로, 그 개수는 줄어드는 선택지의 평범한 곱이다.
U 묶음 안에서 둘째 글자로 세기
U로 시작하는 단어 중 둘째 글자 A, M, O는 S보다 앞서므로 3 × 3! = 18개가 더 앞선다.
U 묶음 안에서도 둘째 글자가 더 작으면 단어가 앞에 오므로, 그런 경우를 세고 남은 글자의 배열 수를 곱한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List남은 글자들은 더 세지 않아도 됨을 확인
앞을 U S로 고정하면 A, M, O가 매번 남은 것 중 최소이므로 더 앞서는 단어는 없다.
고르는 남은 글자마다 항상 가장 작은 것이라면, 알파벳으로 더 앞선 단어는 없다.
7.SP.C.8Identify Subproblems개수를 더하고 하나 올리기
앞선 단어는 96 + 18 = 114개이므로 USAMO는 114 + 1 = 115번째, 즉 (D)이다. 114는 함정이다.
내 앞에 114명이 줄 서 있다면 나는 115번째 자리에 있는 것이다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement정렬된 목록에서 한 단어의 자리를 찾으려면, 글자를 왼쪽부터 하나씩 고정해 앞에 오는 단어 수를 센 뒤 그 단어 자신을 위해 1을 더하면 된다.
- U보다 앞선 첫 글자로 시작하는 단어 세기
- U 묶음 안에서 둘째 글자로 세기
- 남은 글자들은 더 세지 않아도 됨을 확인
- 개수를 더하고 하나 올리기