AMC 10 · 2003 · #21
학년 7 probability주머니에 빨간 구슬 두 개와 초록 구슬 두 개가 들어 있다. 주머니에 손을 넣어 구슬 하나를 꺼내고, 꺼낸 구슬의 색과 관계없이 그 자리에 빨간 구슬 하나를 넣는다. 이러한 교체를 세 번 한 뒤 주머니 안의 모든 구슬이 빨간색일 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 주머니에 빨간 구슬 $2$개와 초록 구슬 $2$개가 들어 있다. 세 번 연속으로, 구슬 하나를 무작위로 꺼낸 뒤 무슨 색을 꺼냈든 그 자리에 빨간 구슬을 하나 넣는다. 이 세 번의 교체가 끝난 뒤 주머니 속 모든 구슬이 빨간색일 확률을 구하여라.
주어진 것: 주머니는 처음에 빨간 구슬 $2$개, 초록 구슬 $2$개, 즉 총 $4$개로 시작한다.; 매 차례: 구슬 하나를 무작위로 꺼낸 뒤 그 자리에 빨간 구슬을 하나 넣는다.; 이 과정을 세 번 한다.; 보기: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{5}{32}$, (C) $\frac{9}{32}$, (D) $\frac{3}{8}$, (E) $\frac{7}{16}$.
구하는 것: 세 번의 교체가 끝난 뒤 $4$개 구슬이 모두 빨간색일 확률.
이해
문제 재정리: 주머니에 빨간 구슬 $2$개와 초록 구슬 $2$개가 들어 있다. 세 번 연속으로, 구슬 하나를 무작위로 꺼낸 뒤 무슨 색을 꺼냈든 그 자리에 빨간 구슬을 하나 넣는다. 이 세 번의 교체가 끝난 뒤 주머니 속 모든 구슬이 빨간색일 확률을 구하여라.
주어진 것: 주머니는 처음에 빨간 구슬 $2$개, 초록 구슬 $2$개, 즉 총 $4$개로 시작한다.; 매 차례: 구슬 하나를 무작위로 꺼낸 뒤 그 자리에 빨간 구슬을 하나 넣는다.; 이 과정을 세 번 한다.; 보기: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{5}{32}$, (C) $\frac{9}{32}$, (D) $\frac{3}{8}$, (E) $\frac{7}{16}$.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
구슬 하나하나의 색은 중요하지 않고, 남은 초록 구슬의 개수만 중요하다. 그래서 먼저 그 개수를 중심으로 문제를 다시 정리한다(도구 #15). 주머니에는 항상 $4$개가 있고, 매 차례 초록 개수는 그대로이거나(빨간 구슬을 꺼냄) 하나 줄어든다(초록 구슬을 꺼냄). 초록 $2$개에서 시작해 모두 빨간색으로 끝나려면 두 초록을 언젠가는 반드시 꺼내야 하므로, 세 번 중 정확히 두 번은 초록을, 나머지 한 번은 빨간을 꺼내야 한다. 이렇게 바꾸면 복잡한 색 이야기가 짧은 세는 문제가 된다. 초록을 꺼낼 확률은 남은 초록 개수에 따라 달라지므로, 상태 나무(도구 #1)를 그리면 각 차례의 확률이 보인다. 어느 차례가 빨간 차례인지에 따른 이기는 순서는 몇 가지뿐이므로, 그 순서들을 빠짐없이 나열하고(도구 #2), 각 순서의 확률은 그 가지를 따라 곱하는 작은 문제(도구 #7)로 구한다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 초록 구슬 개수만 세기
- 어떤 구슬이 어떤 것인지는 잊고, 주머니에 초록 구슬이 몇 개 있는지만 따라간다.
- 처음엔 $2$개다.
- 매 차례 하나를 빼고 빨간 하나를 넣으므로, 초록 개수는 그대로이거나(빨간을 꺼냄) 하나 줄어들 뿐(초록을 꺼냄)이다.
- 세 번 만에 초록이 $0$개로 끝나려면 두 초록을 모두 꺼내야 한다.
- 즉, 세 번 중 정확히 두 번은 초록을, 나머지 한 번은 빨간을 꺼내는 것이다.
💡 넣는 구슬이 늘 빨간색이라 초록을 없애는 유일한 방법은 각 초록을 꺼내는 것이므로, 세 번 중 두 번은 초록을 꺼내야 한다.
7.SP.C.7 단계 2 각 상태에서 초록을 꺼낼 확률 구하기
- 매 차례 주머니엔 $4$개가 있고 어느 것이나 똑같이 뽑히므로, 초록이 $g$개라면 초록을 꺼낼 확률은 $\frac{g}{4}$, 빨간을 꺼낼 확률은 $\frac{4-g}{4}$다.
- 초록 $2$개: 초록 $\tfrac{2}{4}=\tfrac12$, 빨강 $\tfrac12$.
- 초록 $1$개: 초록 $\tfrac14$, 빨강 $\tfrac34$.
- 초록 $0$개: 빨강은 확실하여 $\tfrac44=1$.
💡 네 구슬이 모두 똑같이 뽑히므로, 초록을 집을 확률은 그저 넷 중 초록이 몇 개인지일 뿐이다.
7.SP.C.8 단계 3 이기는 순서를 나열하고 각 가지 곱하기
- 이기는 과정은 초록 두 번, 빨강 한 번이다.
- 정할 것은 어느 차례가 빨간 차례인지뿐이라 세 가지 순서가 나온다.
- 각 순서마다 초록 개수를 따라가며 차례마다의 확률을 곱한다.
- 빨강 먼저 (R, G, G): 초록 $2$개에서 시작, 빨강 $\tfrac12$(여전히 $2$개), 초록 $\tfrac12$(이제 $1$개), 초록 $\tfrac14$(이제 $0$개): $\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac14=\tfrac{1}{16}$.
- 빨강 둘째 (G, R, G): 초록 $\tfrac12$(이제 $1$개), 빨강 $\tfrac34$(여전히 $1$개), 초록 $\tfrac14$(이제 $0$개): $\tfrac12\cdot\tfrac34\cdot\tfrac14=\tfrac{3}{32}$.
- 빨강 마지막 (G, G, R): 초록 $\tfrac12$(이제 $1$개), 초록 $\tfrac14$(이제 $0$개), 빨강 $1$: $\tfrac12\cdot\tfrac14\cdot 1=\tfrac18$.
💡 순서가 정해진 각 과정은 나무의 한 갈래이고, 그 갈래 전체의 확률은 갈래를 따라 곱한 값이다.
5.NF.A.1 단계 4 세 이기는 확률을 더하기
- 세 순서는 서로 다른 이기는 방법이므로 확률을 더한다.
- 공통분모 $32$로 맞추면 $\frac{1}{16}=\frac{2}{32}$, $\frac{3}{32}=\frac{3}{32}$, $\frac{1}{8}=\frac{4}{32}$.
- 합은 $\frac{2+3+4}{32}=\frac{9}{32}$다.
- 이는 보기 $\textbf{(C)}$이다.
💡 서로 다른 이기는 이야기는 동시에 일어날 수 없으므로, 같은 분모로 맞춘 뒤 확률을 그냥 더하면 된다.
7.SP.C.8 어떤 구슬이 어떤 것인지는 잊고, 주머니에 초록 구슬이 몇 개 있는지만 따라간다. 처음엔 $2$개다. 매 차례 하나를 빼고 빨간 하나를 넣으므로 7.SP.C.7 매 차례 주머니엔 $4$개가 있고 어느 것이나 똑같이 뽑히므로, 초록이 $g$개라면 초록을 꺼낼 확률은 $\frac{g}{4}$, 빨간을 꺼낼 7.SP.C.8 이기는 과정은 초록 두 번, 빨강 한 번이다. 정할 것은 어느 차례가 빨간 차례인지뿐이라 세 가지 순서가 나온다. 각 순서마다 초록 개수를 따라 5.NF.A.1 세 순서는 서로 다른 이기는 방법이므로 확률을 더한다. 공통분모 $32$로 맞추면 $\frac{1}{16}=\frac{2}{32}$, $\fra 검토
합리성 확인: 답 $\frac{9}{32}$은 모든 확률처럼 $0$과 $1$ 사이에 있고, $\frac12$보다 작다 — 세 번 중 두 번은 초록을 맞혀야 하고 초록은 점점 귀해지므로 타당하다. 갈래를 점검하면, 두 초록을 모두 없앨 전체 확률은 세 번 중 초록을 적어도 두 번 꺼낼 확률을 넘을 수 없는데, 실제로 $\frac{9}{32}\approx 0.28$은 그보다 충분히 작다. 빨강이 마지막인 순서 $\frac18$이 가장 큰 기여를 하는데, 초록을 일찍 꺼내면 온통 빨간 주머니가 남아 마지막 꺼내기가 무조건 무해하기 때문에 이는 자연스럽다.
대안 접근: 순서를 나열하는 대신 차례마다 상태의 확률을 따라가도 된다. 1차례 후 초록이 $1$개로 줄 확률은 $\frac12$(또는 $2$개 그대로 확률 $\frac12$)다. 초록 $1$개에서 2차례에 $0$개에 이를 확률은 $\frac14$이고, 초록 $2$개에서는 $1$개로만(확률 $\frac12$) 갈 수 있거나 $2$개 그대로다. 이 상태 확률들을 두 차례 더 이어가 3차례 후 초록 $0$개에 이르는 경우를 모두 더하면 똑같이 $\frac{9}{32}$이 나오며, 어떤 이기는 갈래도 빠뜨리지 않았음을 간결히 확인해 준다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (목표를 "초록 2번, 빨강 1번"으로 다시 정리하고, 세 이기는 순서를 나열하며, 상태 나무의 각 갈래를 따라 확률을 곱하는 데 사용.)7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (똑같이 뽑히는 모형을 이용해 주머니의 각 상태에서 초록을 꺼낼 확률을 $\frac{g}{4}$로 구하는 데 사용.)5.NF.A.1Add and subtract fractions with unlike denominators (세 갈래 확률 $\frac{1}{16}+\frac{3}{32}+\frac{1}{8}$을 공통분모 $32$로 맞춰 더해 $\frac{9}{32}$을 얻는 데 사용.)
⭐ 초록 구슬만 따라가라: 넣는 게 늘 빨강이라 두 초록을 모두 꺼내야만 이기므로, 그렇게 되는 몇 가지 순서를 나열해 확률을 더하면 된다.
⭐ 초록 구슬만 따라가라: 넣는 게 늘 빨강이라 두 초록을 모두 꺼내야만 이기므로, 그렇게 되는 몇 가지 순서를 나열해 확률을 더하면 된다.
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