AMC 10 · 2005 · #18

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

conditional-probabilityprobability-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probabilitycombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$A$ 팀과 $B$ 팀이 시리즈를 치릅니다. 먼저 세 경기를 이기는 팀이 시리즈에서 승리합니다. 각 팀이 매 경기를 이길 확률은 같고, 무승부는 없으며, 각 경기의 결과는 서로 독립입니다. $B$ 팀이 두 번째 경기를 이기고 $A$ 팀이 시리즈에서 승리했다면, $B$ 팀이 첫 번째 경기를 이겼을 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $A$팀과 $B$팀이 $5$판 $3$선승제 시리즈(먼저 $3$경기를 이기면 시리즈 승리)를 치릅니다. 각 경기는 $50\text{-}50$ 동전 던지기이고 서로 독립입니다. 이 시리즈에 대해 두 가지 사실이 주어졌습니다: $B$팀이 $2$번째 경기를 이겼고, $A$팀이 시리즈에서 이겼다는 것입니다. 이 조건만으로 $B$팀이 $1$번째 경기도 이겼을 확률을 구하세요.

주어진 것: 먼저 $3$경기를 이기는 팀이 시리즈를 가져갑니다 (최대 $5$경기); 한 경기는 $A$ 또는 $B$가 각각 확률 $\tfrac{1}{2}$로 이기며, 경기들은 서로 독립입니다; 우리에게 주어진(조건이 되는) 두 가지: $B$가 $2$번째 경기를 이겼고, $A$가 시리즈 전체를 이겼습니다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{5}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{2}{3}$

구하는 것: $B$가 $2$번째 경기를 이기고 $A$가 시리즈를 이겼다는 조건 아래에서, $B$가 $1$번째 경기를 이겼을 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기

조건부확률은 (목표와 조건이 함께 일어날 확률)을 (조건이 일어날 확률)로 나눈 것일 뿐이므로, 결국 할 일은 경기 순서로부터 만들어지는 두 확률을 재는 것입니다 — 이 순서들을 펼쳐 놓는 엔진이 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다. 함정은 끝난 시리즈들의 길이가 서로 달라서 똑같이 일어나지 않는다는 점인데, 도구 #15(다르게 정리하기)로 모든 시리즈를 항상 $5$경기 전체로 다시 상상하면 $32$가지 결과가 모두 똑같이 일어나게 되어, 서로 다른 가중치를 저글링하는 대신 개수를 셀 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 조건부확률이 필요로 하는 두 조각으로 나눕니다: 조건을 만족하는 똑같이-일어나는 결과가 몇 개인지, 그리고 그중 $B$가 $1$번째 경기를 이긴 것이 몇 개인지.

실행 — 정답: A

#15 다르게 정리하기 7.SP.C.7 단계 1

모든 결과를 똑같이 일어나게 만들기

$5$판 $3$선승제 시리즈는 $4$경기 또는 $5$경기로 끝날 수 있고, $4$경기짜리 시리즈는 특정한 어느 $5$경기짜리보다 확률이 크므로, 끝난 시리즈들은 똑같이 일어나지 않습니다 — 이것들을 그대로 세면 틀립니다.
두 팀이 (승부가 난 뒤에도) 항상 $5$경기를 모두 치른다고 가정해서 이를 바로잡습니다(추가 경기는 이미 정해진 승자를 바꾸지 않는 그냥 동전 던지기입니다).
이제 모든 결과는 각 글자가 $A$ 또는 $B$인 $5$글자 문자열이고, $2^5=32$가지 문자열은 각각 확률 $\tfrac{1}{32}$로 똑같습니다.
이 '전체 길이' 그림에서 $A$는 $5$경기 중 최소 $3$경기를 이길 때 정확히 시리즈를 이깁니다.

$$2^5 = 32 \text{ 가지 똑같이 일어나는 } 5\text{경기 문자열, 각각 } \tfrac{1}{32}$$

💡 모든 시리즈를 고정된 $5$경기로 채우면 모든 결과가 똑같이 일어나게 되어, 가중하는 대신 셀 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

조건을 만족하는 결과 세기

이제 조건을 적용합니다: $2$번째 경기는 $B$이고, $A$가 시리즈를 이긴다($A$가 $5$경기 중 최소 $3$경기를 이긴다).
$2$번째 경기가 $B$이므로 그것은 $A$의 승리가 아닙니다.
따라서 $A$는 나머지 네 경기 — $1,3,4,5$번째 경기 — 에서 $3$승 이상을 모아야 합니다.
이 네 경기 중 $A$가 최소 $3$경기를 이기는 문자열을 셉니다: 정확히 $4$경기 중 $3$경기는 $\binom{4}{3}=4$가지, $4$경기 모두는 $\binom{4}{4}=1$가지입니다.
즉 $4+1=5$가지의 똑같이-일어나는 결과에서 $B$가 $2$번째 경기를 이기고 $A$가 시리즈를 이깁니다.

$$\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5 \text{ 가지 결과}$$

💡 $2$번째 경기가 $B$로 고정되면 $A$는 남은 네 경기 중 $3$경기 이상을 이겨야 하므로, 그런 문자열만 세면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

그중 B가 1번째 경기를 이긴 경우 세기

그 $5$가지 결과 중에서 $B$가 $1$번째 경기도 이긴 것은 무엇일까요?
$1$번째 경기가 $B$라면 $1$번째와 $2$번째 경기가 모두 $B$이므로 둘 다 $A$의 승리가 아닙니다.
그러면 $A$는 남은 세 경기 — $3,4,5$번째 경기 — 만으로 최소 $3$경기를 이겨야 하므로 그 세 경기를 모두 이겨야 합니다.
이것은 문자열 $B\,B\,A\,A\,A$ 하나뿐입니다.
따라서 조건을 만족하는 $5$가지 결과 중 정확히 $1$가지가 $B$가 $1$번째 경기를 이긴 경우입니다.

$$B\,B\,A\,A\,A \;\Rightarrow\; \binom{3}{3}=1 \text{ 가지 결과}$$

💡 $B$가 처음 두 경기를 모두 가져가면, $A$가 그래도 이길 유일한 방법은 마지막 세 경기를 싹쓸이하는 것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

조건부확률 만들기

이 결과들이 모두 똑같이 일어나므로, 조건부확률은 $B$가 $1$번째 경기를 이긴 결과의 수를 조건을 만족하는 결과의 수로 나눈 것입니다.
그 값은 $\tfrac{1}{5}$입니다.
따라서 $B$가 $1$번째 경기를 이겼을 확률은 $\tfrac{1}{5}$이고, 이는 선택지 (A)입니다.

$$P(B\text{가 게임 }1\text{ 승리} \mid \text{조건}) = \dfrac{1}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 조건을 만족하는 똑같이-일어나는 모든 결과 중에서 유리한 결과의 비율이 조건부확률입니다.

[1] #15 7.SP.C.7 $5$판 $3$선승제 시리즈는 $4$경기 또는 $5$경기로 끝날 수 있고, $4$경기짜리 시리즈는 특정한 어느 $5$경기짜리보다 확률이 크므로,

[2] #2 7.SP.C.8 이제 조건을 적용합니다: $2$번째 경기는 $B$이고, $A$가 시리즈를 이긴다($A$가 $5$경기 중 최소 $3$경기를 이긴다). $2$번째

[3] #7 7.SP.C.8 그 $5$가지 결과 중에서 $B$가 $1$번째 경기도 이긴 것은 무엇일까요? $1$번째 경기가 $B$라면 $1$번째와 $2$번째 경기가 모두 $

[4] #7 7.SP.C.8 이 결과들이 모두 똑같이 일어나므로, 조건부확률은 $B$가 $1$번째 경기를 이긴 결과의 수를 조건을 만족하는 결과의 수로 나눈 것입니다. 그

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac{1}{5}$는 작은데, 이는 타당합니다: $B$가 ($2$번째에 더해) $1$번째 경기까지 이기면 $A$는 $0\text{-}2$의 깊은 수렁에 빠지고, $A$가 그 상황에서 올라와 시리즈를 이기는 것은 조건이 성립하는 방식 중 드문 경우이므로, 조건을 만족하는 이야기 중 가장 가능성이 낮아야 합니다. 실제 확률로 확인해도 일치합니다: 유일한 $0\text{-}2$ 역전 $BBAAA$는 $5$경기 전부가 필요하므로 확률 $\tfrac{1}{32}$이고, ($A$가 $1$번째 경기를 이긴) 나머지 조건 성립 시리즈들의 확률 합은 $\tfrac{4}{32}$이므로 조건의 확률은 $\tfrac{5}{32}$이고 답은 $\tfrac{1/32}{5/32}=\tfrac{1}{5}$입니다. 똑같은-가중치 개수 세기와 실제-확률 계산이 일치합니다. 함정 답 $\tfrac{1}{4}$는 끝난 시리즈 네 가지($BBAAA$, $ABAA$, $ABABA$, $ABBAA$)를 나열하고 이들을 똑같이 일어난다고 취급할 때 나옵니다 — 그러나 $4$경기짜리 시리즈 $ABAA$는 특정한 $5$경기짜리보다 두 배 더 일어나기 쉽고, 채우기(padding)가 이를 정확히 반영합니다.

대안 접근: 채우기를 하지 않고 실제 끝난 시리즈들을 각자의 실제 확률로 가중합니다. $B$가 $1$번째 경기를 이기는 경우: $A$가 그래도 이기는 유일한 시리즈는 $BBAAA$로 확률 $(\tfrac{1}{2})^5=\tfrac{1}{32}$입니다. $A$가 $1$번째 경기를 이기는 경우($B$는 여전히 $2$번째 경기를 이김): $A$가 이기는 시리즈는 $ABAA$로 확률 $(\tfrac{1}{2})^4=\tfrac{1}{16}=\tfrac{2}{32}$, 그리고 $ABABA$와 $ABBAA$가 각각 $(\tfrac{1}{2})^5=\tfrac{1}{32}$로 합 $\tfrac{4}{32}$입니다. 조건 전체의 확률은 $\tfrac{1}{32}+\tfrac{4}{32}=\tfrac{5}{32}$이므로 답은 $\dfrac{1/32}{5/32}=\tfrac{1}{5}$ — 똑같이 (A)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 이를 이용해 사건의 확률을 구하기 (길이가 다른 시리즈들이 똑같이 일어나지 않음을 알아채고, 모든 시리즈를 $5$경기 전체로 채워 $32$가지 결과가 모두 똑같은 확률 $\tfrac{1}{32}$을 갖도록 모델을 다시 세우는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 나무 그림, 시뮬레이션을 이용해 복합사건의 확률 구하기 (조건($B$가 $2$번째 경기 승리, $A$가 시리즈 승리)을 만족하는 똑같이-일어나는 $5$가지 결과와 그중 $B$가 $1$번째 경기도 이긴 $1$가지를 세어 비 $\tfrac{1}{5}$을 만드는 데 사용.)

⭐ 시리즈가 서로 다른 경기 수로 끝날 수 있을 때는 항상 다섯 경기를 모두 치른다고 상상해서 모든 결과가 똑같이 일어나게 만들면, 조건부확률은 그저 조건에 맞는 결과들 중 유리한 결과의 비율일 뿐입니다.