AMC 10 · 2005 · #18

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A팀과 B팀이 5판 3선승제 시리즈를 치릅니다: 먼저 3경기를 이긴 팀이 시리즈에서 승리합니다. 각 경기는 50-50 동전 던지기이고 서로 독립입니다. 이 시리즈에 대해 두 가지 사실이 주어졌습니다: B팀이 2번째 경기를 이겼고, A팀이 시리즈에서 이겼다는 것입니다. 이 조건만으로 B팀이 1번째 경기도 이겼을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{5}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

조건부확률은 (목표와 조건이 함께 일어날 확률)을 (조건이 일어날 확률)로 나눈 것일 뿐이므로, 결국 할 일은 경기 순서로부터 만들어지는 두 확률을 재는 것입니다 — 이 순서들을 펼쳐 놓는 엔진이 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다. 함정은 끝난 시리즈들의 길이가 서로 달라서 똑같이 일어나지 않는다는 점인데, 도구 #15(다르게 정리하기)로 모든 시리즈를 항상 5경기 전체로 다시 상상하면 32가지 결과가 모두 똑같이 일어나게 되어, 서로 다른 가중치를 저글링하는 대신 개수를 셀 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 조건부확률이 필요로 하는 두 조각으로 나눕니다: 조건을 만족하는 똑같이-일어나는 결과가 몇 개인지, 그리고 그중 B가 1번째 경기를 이긴 것이 몇 개인지.

1STEP 1

모든 결과를 똑같이 일어나게 만들기

승부가 난 뒤에도 늘 5경기를 다 치른다고 상상하면 A/B 문자열 32 가지가 똑같이 일어나고, A는 3승 이상이면 승리입니다.

2⁵ = 32 가지 똑같이 일어나는 5경기 문자열, 각각 1/32

2STEP 2

조건을 만족하는 결과 세기

2번째 경기가 B이므로 A는 1,3,4,5번째에서 3승 이상 해야 하고, C(4,3)+C(4,4)=5 가지가 조건을 만족합니다.

C(4, 3)+C(4, 4)=4+1=5 가지 결과

3STEP 3

그중 B가 1번째 경기를 이긴 경우 세기

1번째도 B라면 A는 3,4,5번째를 모두 이겨야 하므로 BBAAA 하나뿐, 5 가지 중 1 가지입니다.

B B A A A → C(3, 3)=1 가지 결과

4STEP 4

조건부확률 만들기

결과들이 모두 똑같이 일어나므로 조건부확률은 1/5이고, 이는 선택지 (A)입니다.

P(B가 게임 1 승리 ∣ 조건) = 1/5 → (A)

정답

1/5

답 1/5는 작은데, 이는 타당합니다: B가 (2번째에 더해) 1번째 경기까지 이기면 A는 0-2의 깊은 수렁에 빠지고, A가 그 상황에서 올라와 시리즈를 이기는 것은 조건이 성립하는 방식 중 드문 경우이므로, 조건을 만족하는 이야기 중 가장 가능성이 낮아야 합니다. 실제 확률로 확인해도 일치합니다: 유일한 0-2 역전 BBAAA는 5경기 전부가 필요하므로 확률 1/32이고, (A가 1번째 경기를 이긴) 나머지 조건 성립 시리즈들의 확률 합은 4/32이므로 조건의 확률은 5/32이고 답은 1/32/5/32=1/5입니다. 똑같은-가중치 개수 세기와 실제-확률 계산이 일치합니다. 함정 답 1/4는 끝난 시리즈 네 가지(BBAAA, ABAA, ABABA, ABBAA)를 나열하고 이들을 똑같이 일어난다고 취급할 때 나옵니다 — 그러나 4경기짜리 시리즈 ABAA는 특정한 5경기짜리보다 두 배 더 일어나기 쉽고, 채우기(padding)가 이를 정확히 반영합니다.

💡핵심 정리

시리즈가 서로 다른 경기 수로 끝날 수 있을 때는 항상 다섯 경기를 모두 치른다고 상상해서 모든 결과가 똑같이 일어나게 만들면, 조건부확률은 그저 조건에 맞는 결과들 중 유리한 결과의 비율일 뿐입니다.

모든 결과를 똑같이 일어나게 만들기
조건을 만족하는 결과 세기
그중 B가 1번째 경기를 이긴 경우 세기
조건부확률 만들기

모든 결과를 똑같이 일어나게 만들기

조건을 만족하는 결과 세기

그중 B가 1번째 경기를 이긴 경우 세기

조건부확률 만들기

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