AMC 10 · 2004 · #12
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
햄버거는 사실 두 결정이 붙어 있는 것이다. 패티를 몇 장 할지, 그리고 어떤 양념을 넣을지다. 이 두 결정은 서로 간섭하지 않으므로, 세는 일을 작은 문제로 쪼개라는 신호다(도구 #7). 패티 선택지를 세고, 양념 조합을 세고, 그다음 곱한다. 양념 부분은 더 잘게 쪼개진다. 8가지 양념 각각이 자기만의 예/아니오 결정이기 때문이다. 그 선택들을 빠짐없이 나열해 보면(도구 #2), 양념 하나가 늘 때마다 가능한 조합의 수가 두 배가 됨을 알 수 있고, 이는 정확히 2의 거듭제곱이다. 곱셈 세기 원리가 이를 하나로 묶는다. 서로 독립인 선택을 차례로 할 때 전체 개수는 곱해진다.
패티와 양념으로 쪼개기
버거는 패티 개수와 양념 조합이라는 독립적인 두 결정으로 만들어지므로, 전체는 (패티 선택지) × (양념 조합)이다.
두 선택이 서로 영향을 주지 않으면, 한쪽의 모든 선택지를 다른 쪽의 모든 선택지와 짝지을 수 있으므로 개수가 곱해진다.
7.SP.C.8Identify Subproblems패티 선택지 세기
패티는 한 장, 두 장, 세 장 세 경우를 나열한 것뿐이므로 고기를 고르는 방법은 정확히 3 가지다.
"한 장, 두 장, 또는 세 장"은 목록 위의 세 항목일 뿐이므로 개수는 셋이다.
7.SP.C.8Make A Systematic List양념 조합 세기
양념 여덟 개 각각이 독립적인 예/아니오 스위치이므로 조합은 2의 여덟 제곱, 즉 256 가지다(빈 조합과 전체 포함).
양념이 하나 새로 생길 때마다 넣고/빼는 스위치가 하나 더 생기므로, 양념이 하나 늘 때마다 가능한 조합의 수가 두 배가 된다.
양념이 하나 늘 때마다 새로운 넣기-빼기 스위치가 생기므로, 조합의 수가 두 배가 된다.
▸ 왜?
각 스위치는 다른 스위치와 상관없이 젖혀지므로, 개수가 곱해진다.
▸ 왜?
양념마다 같은 인수를 한 번씩 되풀이하는 것이 바로 거듭제곱이 기록하는 바다.
두 개수를 곱하기
패티 선택지 3에 양념 조합 256을 곱하면 768 가지, 즉 (C)다. 256만 쓰면(B) 패티를 빠뜨린 것이다.
세 가지 패티 선택 각각이 256가지 양념 조합 어느 것이든 입을 수 있으므로, 그 조합들이 세 번 반복된다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems서로 영향을 주지 않는 선택들은 각각을 세어 곱하면 된다. 그리고 n개의 항목마다 예/아니오 스위치가 있으면 2ⁿ가지 조합이 나온다.
- 패티와 양념으로 쪼개기
- 패티 선택지 세기
- 양념 조합 세기
- 두 개수를 곱하기