AMC 10 · 2004 · #12

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

exponentssystematic-enumeration identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Henry's Hamburger Haven 은 햄버거에 다음 양념들을 제공합니다: 케첩, 머스터드, 마요네즈, 토마토, 상추, 피클, 치즈, 양파. 손님은 고기 패티를 한 장, 두 장, 또는 세 장 고를 수 있고, 양념은 임의의 조합으로 고를 수 있습니다. 주문할 수 있는 서로 다른 햄버거는 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

256

(C)

768

(D)

40,320

(E)

120,960

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 햄버거는 서로 독립적인 두 가지 선택으로 만들어진다. 고기 패티의 개수(한 장, 두 장, 또는 세 장)와 여덟 가지 양념 중 임의의 조합이다. 주문할 수 있는 서로 다른 햄버거가 몇 가지인지 세어라.

주어진 것: 양념은 $8$가지다: 케첩, 머스터드, 마요네즈, 토마토, 상추, 피클, 치즈, 양파.; 손님은 패티를 한 장, 두 장, 또는 세 장 고른다.; 손님은 양념을 하나도 안 넣는 것부터 전부 넣는 것까지 임의의 조합으로 고를 수 있다.; 선택지: (A) $24$, (B) $256$, (C) $768$, (D) $40{,}320$, (E) $120{,}960$.

구하는 것: 주문할 수 있는 서로 다른 햄버거의 총 개수.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

햄버거는 사실 두 결정이 붙어 있는 것이다. 패티를 몇 장 할지, 그리고 어떤 양념을 넣을지다. 이 두 결정은 서로 간섭하지 않으므로, 세는 일을 작은 문제로 쪼개라는 신호다(도구 #7). 패티 선택지를 세고, 양념 조합을 세고, 그다음 곱한다. 양념 부분은 더 잘게 쪼개진다. $8$가지 양념 각각이 자기만의 예/아니오 결정이기 때문이다. 그 선택들을 빠짐없이 나열해 보면(도구 #2), 양념 하나가 늘 때마다 가능한 조합의 수가 두 배가 됨을 알 수 있고, 이는 정확히 $2$의 거듭제곱이다. 곱셈 세기 원리가 이를 하나로 묶는다. 서로 독립인 선택을 차례로 할 때 전체 개수는 곱해진다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

패티와 양념으로 쪼개기

햄버거를 만드는 것은 서로 독립적인 두 결정, 즉 패티 개수 고르기와 양념 조합 고르기다.
어떤 패티 개수든 어떤 양념 조합과도 짝지을 수 있으므로, 햄버거의 총 개수는 (패티 선택지 수) $\times$ (양념 조합 수)가 된다.
따라서 문제 전체는 이 두 조각을 따로따로 세는 일로 줄어든다.

$$\text{전체} = (\text{패티 선택지}) \times (\text{양념 조합})$$

💡 두 선택이 서로 영향을 주지 않으면, 한쪽의 모든 선택지를 다른 쪽의 모든 선택지와 짝지을 수 있으므로 개수가 곱해진다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

패티 선택지 세기

손님은 패티를 한 장, 두 장, 또는 세 장 고른다.
이는 세 가지 가능성을 나열한 것일 뿐이므로, 고기를 고르는 방법은 정확히 $3$가지다.

$$\text{패티 선택지} = 3$$

💡 "한 장, 두 장, 또는 세 장"은 목록 위의 세 항목일 뿐이므로 개수는 셋이다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 3

양념 조합 세기

각 양념을 따로 다룬다.
$8$가지 양념 하나하나마다 손님은 독립적인 예/아니오 결정을 한다.
넣거나 빼거나다.
각 결정은 $2$가지 결과를 가지고 그것이 연달아 $8$번 이루어지므로, 곱셈 세기 원리에 따라 가능한 양념 조합의 수는 $2$를 여덟 번 곱한 것이다.
즉 $2^{8} = 256$이다.
여기에는 양념을 하나도 안 넣은 기본 버거(여덟 번 모두 "아니오")와 여덟 개를 다 넣은 버거(여덟 번 모두 "예")가 저절로 포함된다.

$$2^{8} = \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{8} = 256$$

💡 양념이 하나 새로 생길 때마다 넣고/빼는 스위치가 하나 더 생기므로, 양념이 하나 늘 때마다 가능한 조합의 수가 두 배가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 4

두 개수를 곱하기

곱셈 세기 원리로 조각들을 합친다.
패티 선택지 $3$에 양념 조합 $256$을 곱하면 $3 \times 256 = 768$가지의 서로 다른 햄버거가 나온다.
이것이 선택지 (C)다.
함정에 주의하자.
$256$만 쓰면(B) 패티를 빠뜨린 것이고, $8!$(여덟 항목의 배열 수) 같은 엉뚱한 수를 곱하면 큰 수 $40{,}320$(D)과 $120{,}960$(E)으로 향하는데, 이는 "임의의 조합"을 "배열"로 착각한 것이다.

$$3 \times 256 = 768 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 세 가지 패티 선택 각각이 256가지 양념 조합 어느 것이든 입을 수 있으므로, 그 조합들이 세 번 반복된다.

[1] #7 7.SP.C.8 햄버거를 만드는 것은 서로 독립적인 두 결정, 즉 패티 개수 고르기와 양념 조합 고르기다. 어떤 패티 개수든 어떤 양념 조합과도 짝지을 수 있으

[2] #2 7.SP.C.8 손님은 패티를 한 장, 두 장, 또는 세 장 고른다. 이는 세 가지 가능성을 나열한 것일 뿐이므로, 고기를 고르는 방법은 정확히 $3$가지다.

[3] #2 6.EE.A.1 각 양념을 따로 다룬다. $8$가지 양념 하나하나마다 손님은 독립적인 예/아니오 결정을 한다. 넣거나 빼거나다. 각 결정은 $2$가지 결과를 가

[4] #7 5.NBT.B.5 곱셈 세기 원리로 조각들을 합친다. 패티 선택지 $3$에 양념 조합 $256$을 곱하면 $3 \times 256 = 768$가지의 서로 다른 햄

검토

합리성 확인: 답 $768$은 선택지들 사이에서 적절히 자리 잡는다. 이는 정확히 $256$의 세 배로, 세 가지 패티 선택지와 맞아떨어지므로 $256$보다 큰 $256$의 배수여야 한다. 따라서 (A) $24$와 (B) $256$은 배제된다. 큰 값 $40{,}320 = 8!$과 $120{,}960 = 3\times 8!$은 양념을 순서대로 배열해야 나오는데, 문제는 어떤 양념을 넣는지만 물을 뿐 어떤 순서로 넣는지는 묻지 않으므로 이들은 크게 과다 계산이다. $768$ 같은 적당한 답이 양념마다 예/아니오를 고르는 문제에서 정확히 나올 값이다.

대안 접근: 거듭제곱 $2^8$ 대신 양념 조합을 크기별로 세어 더할 수도 있다. $\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\cdots+\binom{8}{8} = 1+8+28+56+70+56+28+8+1 = 256$이다. 파스칼 삼각형의 한 줄 전체의 합은 $2^8$이므로 조합이 $256$가지임을 확인해 준다. 여기에 패티 선택지 $3$을 곱하면 다시 $3\times 256 = 768$, 선택지 (C)가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (패티 선택과 양념 선택을 개수가 곱해지는 독립적인 결정으로 인식하고, 각 양념을 따로따로의 예/아니오 결과로 세는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (여덟 개의 독립적인 두 갈래 선택을 거듭제곱 $2^8$로 바꾸고 $256$으로 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers using the standard algorithm (패티 선택지 $3$에 양념 조합 $256$을 곱해 $768$을 얻는 데 사용.)

⭐ 서로 영향을 주지 않는 선택들은 각각을 세어 곱하면 된다. 그리고 $n$개의 항목마다 예/아니오 스위치가 있으면 $2^n$가지 조합이 나온다.