AMC 10 · 2003 · #10

학년 6 geometry-3d
유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Fold Net to Locate Opposite or Adjacent Face
net-foldingpolyhedron-netsspatial-visualization complementary-countingphysical-representation ↑ 선수 지식: net-folding
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
합동인 정사각형 4개를 변끼리 이어 붙인 평면 도형이 주어진다. 여기에 합동인 정사각형 1개를 표시된 9개의 위치 중 한 곳에 한 번에 하나씩 붙이면 서로 다른 평면 도형 9개가 만들어진다. 이 9개의 도형 중, 정사각형의 변을 따라 접었을 때 한 면이 빠진 정육면체를 만들 수 있는 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

이 문제는 접기 문제이므로 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)이다. 평면의 정사각형들을 정육면체 둘레로 접어 올리면서 각 정사각형이 어디에 놓이는지 머릿속으로 따라가면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 개수를 정확히 세는 데 도움이 된다 — 기본 도형과 9개의 위치를 그려 하나도 빠뜨리지 않게 한다. 결정적인 착안은 도구 #16(관점 바꾸기)이다. 기본 정사각형 4개는 이미 좋은 면 4개로 접히므로, 새 정사각형은 이미 차지된 면과 부딪히지 않는 한 성공한다. 성공하는 위치를 찾는 것보다 부딪히는 몇 개를 세는 편이 훨씬 쉬우므로, 실패 개수를 세어 9에서 빼면 된다.

1STEP 1

목표를 면 5개로 다시 쓰기

정육면체는 면이 6개이므로 하나가 빠지면 5개, 곧 뚜껑 없는 상자다. 기본 4개에 붙인 1개면 정확히 5개다.

6 면 - 1 빠짐 = 5 면 필요
2STEP 2

기본 정사각형 4개는 이미 깔끔하게 접힌다

접어 올리면 정사각형 4개짜리 띠는 겹침 없이 서로 다른 4개 면을 감싸니, 다섯 벽 중 넷이 이미 서 있다.

3STEP 3

겹치지만 않으면 그 위치는 성공

그러므로 붙인 정사각형은 기본 정사각형이 이미 차지한 면 위로 접힐 때만 실패한다. 빈 면에 놓이면 성공이다.

4STEP 4

실패를 세어 빼기

9곳을 머릿속으로 접어 보면 3곳은 쓰인 면과 겹쳐 실패하니 9 - 3 = 6곳이 성공, 곧 선택지 (E)다.

9 위치 - 3 겹침 = 6 → (E)
정답
6
기본 정사각형 4개는 이미 작동하는 뚜껑 없는 상자를 이루고, 표시된 9개의 변 대부분은 빈 공간 바깥쪽을 향하므로, 실패보다 성공이 훨씬 많으리라 기대할 수 있다 — 6처럼 큰 값은 그럴듯하고 2처럼 작은 값은 오히려 뜻밖이다. 실패할 수 있는 위치는 붙인 정사각형이 기본 도형이 이미 쓰는 면 위로 곧장 접히는 곳뿐이며, 표시된 자리 중 정확히 3곳이 그렇다. 따라서 9-3 = 6곳이 성공해 (E)와 맞고, 더 작은 선택지들과는 어긋난다.
💡핵심 정리

한 면 빠진 정육면체는 정사각형 다섯 개를 접어 만든 뚜껑 없는 상자일 뿐이다. 주어진 정사각형 넷이 이미 벽 넷을 세워 두었으니, 새 정사각형은 이미 선 벽 위로 접히지만 않으면 성공한다 — 그런 자리는 9곳 중 3곳뿐이라 6곳이 남는다.

  • 목표를 면 5개로 다시 쓰기
  • 기본 정사각형 4개는 이미 깔끔하게 접힌다
  • 겹치지만 않으면 그 위치는 성공
  • 실패를 세어 빼기

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