AMC 10 · 2003 · #10

학년 6 geometry-3d

유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Fold Net to Locate Opposite or Adjacent Face

net-foldingpolyhedron-netsspatial-visualization complementary-countingphysical-representation ↑ 선수 지식: net-folding

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 실선으로 둘러싸인 도형은 합동인 정사각형 $4$ 개를 변끼리 이어 붙여 만든 것이다. 여기에 합동인 정사각형 하나를 표시된 $9$ 개의 위치 중 한 변에 더 붙인다. 이렇게 만들어진 $9$ 개의 도형 중, 접었을 때 한 면이 빠진 정육면체를 만들 수 있는 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 합동인 정사각형 $4$개를 변끼리 이어 붙인 평면 도형이 주어진다. 여기에 합동인 정사각형 $1$개를 표시된 $9$개의 위치 중 한 곳에 한 번에 하나씩 붙이면 서로 다른 평면 도형 $9$개가 만들어진다. 이 $9$개의 도형 중, 정사각형의 변을 따라 접었을 때 한 면이 빠진 정육면체를 만들 수 있는 것은 몇 개인가?

주어진 것: 기본 도형은 합동인 정사각형 $4$개를 변끼리 이어 붙인 것이다 (정사각형으로 이루어진 평면 띠).; $5$번째 합동 정사각형을 표시된 $9$개의 변 위치 중 정확히 한 곳에, 한 번에 하나씩 붙인다.; 접기는 정사각형끼리 맞닿은 변을 따라서만 할 수 있다.; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$.

구하는 것: 만들어진 $9$개의 정사각형 $5$개짜리 도형 중, 한 면이 빠진 정육면체로 접히는 것이 몇 개인지.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

이 문제는 접기 문제이므로 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)이다. 평면의 정사각형들을 정육면체 둘레로 접어 올리면서 각 정사각형이 어디에 놓이는지 머릿속으로 따라가면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 개수를 정확히 세는 데 도움이 된다 — 기본 도형과 $9$개의 위치를 그려 하나도 빠뜨리지 않게 한다. 결정적인 착안은 도구 #16(관점 바꾸기)이다. 기본 정사각형 $4$개는 이미 좋은 면 $4$개로 접히므로, 새 정사각형은 이미 차지된 면과 부딪히지 않는 한 성공한다. 성공하는 위치를 찾는 것보다 부딪히는 몇 개를 세는 편이 훨씬 쉬우므로, 실패 개수를 세어 $9$에서 빼면 된다.

실행 — 정답: E

#17 공간 상상하기 6.G.A.4 단계 1

목표를 면 5개로 다시 쓰기

정육면체는 면이 $6$개다.
"한 면이 빠짐"은 면이 $6-1=5$개 있다는 뜻이므로, 목표는 뚜껑 없는 상자, 즉 정육면체의 서로 다른 면 $5$개 위에 놓이는 정사각형 $5$개다.
여기서 모든 후보는 기본 정사각형 $4$개에 붙인 정사각형 $1$개, 정확히 $5$개다.
그러니 조각 수는 맞고, 남은 질문은 접었을 때 $5$개가 모두 서로 다른 면에 자리 잡을 수 있는가뿐이다.

$$6 \text{ 면} - 1 \text{ 빠짐} = 5 \text{ 면 필요}$$

💡 뚜껑을 뗀 정육면체는 정사각형 다섯 개를 둘러 감은 것일 뿐이니, 면 다섯 개로 뚜껑 없는 상자를 짓는 것이다.

#17 공간 상상하기 6.G.A.4 단계 2

기본 정사각형 4개는 이미 깔끔하게 접힌다

원래의 정사각형 $4$개짜리 도형을 접어 올려 보자.
정사각형들이 정육면체 모서리를 감싸며 이어진 띠를 이루므로, 서로 겹치지 않고 서로 다른 $4$개 면에 감긴다 — 뚜껑 없는 상자의 다섯 면 중 $4$개를 만들고, 면 자리 $2$개를 비워 둔다.
따라서 기본 도형은 이미 좋은 부분 상자이며, 겹치지 않는 다섯 번째 정사각형을 어디에 붙이든 남은 면 하나를 채워 '한 면 빠진 정육면체'를 완성한다.

💡 다섯 벽 중 넷은 이미 서 있으니, 다섯 번째 정사각형은 이미 선 벽 위가 아니라 빈 공간에만 내려앉으면 된다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 3

겹치지만 않으면 그 위치는 성공

기본 면 $4$개가 고정돼 있으므로, 붙인 정사각형이 실패하는 유일한 경우는 접었을 때 기본 정사각형이 이미 차지한 면 위로 돌아가 겹치는 것이다 — 같은 면에 정사각형 둘이 놓이면 올바른 전개도가 아니다.
그래서 규칙이 단순해진다: 접힌 다섯 번째 정사각형이 빈 면에 놓이면 그 위치는 성공, 이미 쓰인 면과 겹치면 실패다.

💡 적은 겹침뿐이 적이다: 새 정사각형이 기존 면과 겹치지만 않으면 서로 다른 다섯 면이 저절로 한 면 빠진 정육면체를 이룬다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 4

실패를 세어 빼기

표시된 $9$곳 각각에서 붙인 정사각형을 머릿속으로 접어 보자.
그중 $3$곳에서는 정사각형이 기본 정사각형이 이미 차지한 면 위로 접혀 겹치므로 실패한다.
나머지 $6$곳에서는 정사각형이 빈 면으로 접혀 내려가 도형이 한 면 빠진 정육면체로 접힌다.
관점을 바꿔 여집합을 세면 $9 - 3 = 6$곳이 성공하고, 이는 선택지 (E)다.

$$9 \text{ 위치} - 3 \text{ 겹침} = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 이미 차지된 면 위로 접히는 자리는 몇 개뿐이니, 그 나쁜 $3$개를 세어 빼는 편이 아홉 개를 모두 확인하는 것보다 빠르다.

[1] #17 6.G.A.4 정육면체는 면이 $6$개다. "한 면이 빠짐"은 면이 $6-1=5$개 있다는 뜻이므로, 목표는 뚜껑 없는 상자, 즉 정육면체의 서로 다른 면 $

[2] #17 6.G.A.4 원래의 정사각형 $4$개짜리 도형을 접어 올려 보자. 정사각형들이 정육면체 모서리를 감싸며 이어진 띠를 이루므로, 서로 겹치지 않고 서로 다른

[3] #16 6.G.A.4 기본 면 $4$개가 고정돼 있으므로, 붙인 정사각형이 실패하는 유일한 경우는 접었을 때 기본 정사각형이 이미 차지한 면 위로 돌아가 겹치는 것이

[4] #16 6.G.A.4 표시된 $9$곳 각각에서 붙인 정사각형을 머릿속으로 접어 보자. 그중 $3$곳에서는 정사각형이 기본 정사각형이 이미 차지한 면 위로 접혀 겹치므

검토

합리성 확인: 기본 정사각형 $4$개는 이미 작동하는 뚜껑 없는 상자를 이루고, 표시된 $9$개의 변 대부분은 빈 공간 바깥쪽을 향하므로, 실패보다 성공이 훨씬 많으리라 기대할 수 있다 — $6$처럼 큰 값은 그럴듯하고 $2$처럼 작은 값은 오히려 뜻밖이다. 실패할 수 있는 위치는 붙인 정사각형이 기본 도형이 이미 쓰는 면 위로 곧장 접히는 곳뿐이며, 표시된 자리 중 정확히 $3$곳이 그렇다. 따라서 $9-3 = 6$곳이 성공해 (E)와 맞고, 더 작은 선택지들과는 어긋난다.

대안 접근: 직접 만들어 본다 (도구 #10, 직접 만져보기): 종이로 정사각형 $4$개짜리 기본 도형을 오려 뚜껑 없는 상자로 접은 뒤, 다섯 번째 정사각형을 $9$개 변 각각에 대어 한 면 위로 접어 눕혀 본다. 이미 서 있는 벽을 덮어야만 하는 정사각형 $3$개가 실패이고, 나머지 $6$개는 빈 면 위로 내려앉아 다시 $6$을 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.4 전개도를 이용해 입체도형을 나타내고 겉넓이를 구하기 (평면의 정사각형들을 한 면 빠진 정육면체로 접고, $9$개 위치 각각에서 붙인 정사각형이 빈 면에 놓이는지 이미 쓰인 면과 겹치는지를 확인하는 데 사용.)

⭐ 한 면 빠진 정육면체는 정사각형 다섯 개를 접어 만든 뚜껑 없는 상자일 뿐이다. 주어진 정사각형 넷이 이미 벽 넷을 세워 두었으니, 새 정사각형은 이미 선 벽 위로 접히지만 않으면 성공한다 — 그런 자리는 $9$곳 중 $3$곳뿐이라 $6$곳이 남는다.