AMC 10 · 2003 · #15

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

probability-basicmultiplescomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multiples

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

집합 $\{1,2,3,...,100\}$ 에서 고른 정수가 $2$ 로는 나누어떨어지고 $3$ 으로는 나누어떨어지지 않을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{33}{100}$

(C)

$\frac{17}{50}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{18}{25}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 집합 $\{1,2,3,\dots,100\}$에서 정수 하나를 무작위로 고릅니다(모든 정수가 뽑힐 확률은 같습니다). 고른 정수가 $2$로는 나누어떨어지지만 $3$으로는 나누어떨어지지 않을 확률을 구하세요.

주어진 것: 집합은 $\{1,2,3,\dots,100\}$이므로 정수는 모두 $100$개입니다; 각 정수가 뽑힐 확률은 모두 같습니다; 정수가 $2$로 나누어떨어지면서 동시에 $3$으로는 나누어떨어지지 않아야 합니다; 선택지: (A) $\frac{1}{6}$, (B) $\frac{33}{100}$, (C) $\frac{17}{50}$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) $\frac{18}{25}$

구하는 것: 무작위로 고른 정수가 $2$로는 나누어떨어지고 $3$으로는 나누어떨어지지 않을 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

조건은 두 부분이 붙어 있습니다: "$2$로 나누어떨어짐" 그리고 "$3$으로는 안 됨." 한 번에 세기는 번거로우니 도구 #16(관점 바꾸기)을 씁니다. 먼저 짝수를 모두 센 다음, 그중 $3$의 배수도 되는 것들을 빼냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 깔끔한 세 개의 셈 — $2$의 배수 개수, $6$의 배수 개수, 그리고 그 차 — 으로 나눕니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 어떤 범위 안의 배수를 세는 믿을 만한 방법입니다. 배수는 일정한 간격으로 늘어서므로 세는 데 어림짐작이 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

짝수의 개수 세기

범위 안의 $2$의 배수는 $2, 4, 6, \dots, 100$입니다.
매번 $2$씩 커지므로 그 개수는 $100$을 $2$로 나눈 값입니다.
따라서 $1$부터 $100$까지 짝수는 $50$개입니다.

$$\left\lfloor \dfrac{100}{2} \right\rfloor = 50$$

💡 $2$의 배수는 일정한 간격으로 놓이므로 $1$부터 $100$까지 몇 개가 들어가는지는 $100$을 $2$씩 묶은 개수일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

2와 3으로 나누어떨어짐은 6의 배수

$2$와 $3$ 둘 다로 나누어떨어지는 수는 두 수의 최소공배수로도 나누어떨어져야 합니다.
$2$와 $3$은 공통 약수가 없으므로 최소공배수는 $2\times 3 = 6$입니다.
따라서 빼내야 할 짝수는 정확히 $6$의 배수들입니다.

$$\operatorname{lcm}(2,3) = 6$$

💡 $2$단과 $3$단에 동시에 들어간다는 것은 $6$단에 들어간다는 뜻입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

6의 배수 개수 세기

범위 안의 $6$의 배수는 $6, 12, 18, \dots, 96$입니다.
매번 $6$씩 커지므로 그 개수는 $100$을 $6$으로 나누고 남는 것을 버린 값입니다.
따라서 $6$의 배수는 $16$개입니다(가장 큰 것은 $96 = 6\times 16$).

$$\left\lfloor \dfrac{100}{6} \right\rfloor = 16$$

💡 $6$의 배수를 세는 것도 같은 일정 간격 원리입니다. $100$을 $6$씩 묶되 온전한 묶음만 세면 됩니다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 4

빼서 유리한 개수 구하기

짝수 $50$개에서 시작해, 그중 $3$의 배수도 되는 $16$개를 빼냅니다.
남는 것은 짝수이면서 $3$의 배수가 아닌 수입니다.
그러면 $50 - 16 = 34$개의 정수가 조건에 맞습니다.

$$50 - 16 = 34$$

💡 "짝수이지만 $3$의 배수는 아님"은 짝수에서 나쁜 것들($6$의 배수)을 빼낸 것일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 5

확률을 쓰고 약분하기

모든 정수가 똑같이 잘 뽑히므로 확률은 유리한 개수를 전체로 나눈 값입니다: $\dfrac{34}{100}$.
분자와 분모를 $2$로 나누면 $\dfrac{17}{50}$이 됩니다.
따라서 확률은 $\dfrac{17}{50}$이고, 이는 선택지 (C)입니다.

$$P = \dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 결과가 똑같이 잘 일어날 때 확률은 유리한 개수를 전체 개수로 나눈 뒤 약분한 것입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 범위 안의 $2$의 배수는 $2, 4, 6, \dots, 100$입니다. 매번 $2$씩 커지므로 그 개수는 $100$을 $2$로 나눈 값입니다.

[2] #7 6.NS.B.4 $2$와 $3$ 둘 다로 나누어떨어지는 수는 두 수의 최소공배수로도 나누어떨어져야 합니다. $2$와 $3$은 공통 약수가 없으므로 최소공배수는

[3] #2 4.OA.B.4 범위 안의 $6$의 배수는 $6, 12, 18, \dots, 96$입니다. 매번 $6$씩 커지므로 그 개수는 $100$을 $6$으로 나누고 남는

[4] #16 7.SP.C.8 짝수 $50$개에서 시작해, 그중 $3$의 배수도 되는 $16$개를 빼냅니다. 남는 것은 짝수이면서 $3$의 배수가 아닌 수입니다. 그러면 $5

[5] #7 7.SP.C.7 모든 정수가 똑같이 잘 뽑히므로 확률은 유리한 개수를 전체로 나눈 값입니다: $\dfrac{34}{100}$. 분자와 분모를 $2$로 나누면 $

검토

합리성 확인: 답 $\frac{17}{50} = 0.34$는 $0$과 $1$ 사이에 알맞게 놓입니다. 수의 절반이 짝수이고($0.5$), 그 짝수 중 대략 삼분의 일이 $3$의 배수라서 빠지므로 절반의 약 삼분의 이가 남습니다 — $0.33$~$0.34$에 가깝고 이는 맞아떨어집니다. 또한 $\frac{1}{6}$(너무 작음, 그건 $6$의 배수뿐)보다 분명히 크고 $\frac{1}{2}$(그건 모든 짝수)보다 작으므로 선택지 (A)와 (D)는 배제됩니다.

대안 접근: 일의 자리가 반복되는 패턴을 이용합니다(도구 #5). 연속한 정수 $6$개짜리 묶음마다 $6$으로 나눈 나머지가 $2$, $4$인 수가 정확히 짝수이면서 $3$의 배수가 아닙니다 — $6$개 중 $2$개, 비율 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$입니다. $1$부터 $96$까지 온전한 묶음이 $16$개이므로 $16\times 2 = 32$개, 여기에 $97,98,99,100$에서 $98$과 $100$ 두 개가 더해져 총 $34$개입니다. 같은 개수, 같은 확률 $\frac{34}{100}=\frac{17}{50}$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($1$부터 $100$까지 범위에서 $2$의 배수(그리고 $6$의 배수)가 몇 개인지 세는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ("$2$와 $3$ 둘 다로 나누어떨어짐"이 $\operatorname{lcm}(2,3)=6$으로 나누어떨어짐을 뜻함을 인식하는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation ($2$의 배수에서 $6$의 배수를 빼서 두 조건을 결합해 유리한 정수 $34$개를 구하는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (결과가 똑같이 잘 일어난다는 가정 아래 확률을 유리/전체 $\frac{34}{100}$로 쓰고 $\frac{17}{50}$로 약분하는 데 사용.)

⭐ "이것으로는 나누어떨어지고 저것으로는 안 됨" 문제는 첫 번째 수로 나누어떨어지는 것을 모두 센 다음, 두 번째 수로도 나누어떨어지는 것을 빼고, 그 값을 전체로 나누면 됩니다.