AMC 10 · 2003 · #17

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
equilateral-trianglearea-circlesthirty-sixty-ninety-triangle convert-to-algebra ↑ 선수 지식: equilateral-triangle
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정삼각형이 원 안에 들어가 세 꼭짓점이 모두 원에 닿아 있다. 삼각형의 둘레(인치)를 나타내는 수가 원의 넓이(제곱인치)를 나타내는 수와 같다. 원의 반지름을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{3\sqrt{2}}{\pi}$
(B)
$\frac{3\sqrt{3}}{\pi}$
(C)
$\sqrt{3}$
(D)
$\frac{6}{\pi}$
(E)
$\sqrt{3}\pi$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

우리가 구하려는 것은 반지름 R이고, 문제의 나머지 모든 것을 R로 나타낼 수 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 R을 하나뿐인 미지수로 삼는다. 도구 #1(그림 그리기)이 기하를 여는 열쇠이다: 내접한 삼각형을 그린 원을 스케치하고 중심에서 한 변으로 선을 내리면 그림이 30-60-90 직각삼각형으로 바뀌어, 변의 길이가 R에 묶인다. 둘레와 넓이가 모두 R로 나타난 표현이 되면, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 둘을 같다고 놓고 깔끔한 방정식 하나를 푼다. 계획은 두 양(3×변, 그리고 π R²)을 같은 변수로 나타낸 뒤 대수가 마무리하게 두는 것이다.

1STEP 1

그림을 그리고 반지름에 이름 붙이기

원 위에 삼각형의 세 꼭짓점이 놓인 그림을 그리고 반지름을 RR, 변을 ss라 하자. 세 반지름은 중심을 120∘120^\circ씩 나눈다.

R = 반지름, s = 변, 한 변에 대한 중심각 = 120°
2STEP 2

30-60-90 삼각형으로 반지름에서 변 구하기

중심에서 한 변에 수선을 내리면 120∘120^\circ가 반이 되어 빗변이 RR인 30-60-90 삼각형이 생기고, s=3Rs=\sqrt{3}R이다.

s/2 = √(3)/2R → s = √(3) R
3STEP 3

둘레와 넓이를 R로 나타내기

둘레는 3s=33R3s=3\sqrt{3}R, 넓이는 πR2\pi R^{2}이므로 두 수가 같다는 조건은 33R=πR23\sqrt{3}R=\pi R^{2}가 된다.

P = 3s = 3√(3) R, A = π R², 3√(3) R = π R²
4STEP 4

방정식을 풀어 반지름 구하기

R≠0R \neq 0이므로 양변을 RR로 나누면 33=πR3\sqrt{3}=\pi R이고, π\pi로 나누어 R=33πR=\frac{3\sqrt{3}}{\pi}, 곧 (B)이다.

3√(3) R = π R² → 3√(3) = π R → R = 3√(3)/π → (B)
정답
3√(3)/π
R = 3√(3)/π을 다시 넣어 보자. 넓이는 π R² = π·27/π² = 27/π이다. 둘레는 3√(3) R = 3√(3)·3√(3)/π = (9 · 3)/π = 27/π이다. 둘이 일치하므로 반지름이 맞다. 수치로는 R ≈ 5.196/3.1416≈ 1.65인치로, 둘레의 수와 넓이의 수가 우연히 같아지는 작은 원의 크기로 타당하다.
💡핵심 정리

둘레와 넓이를 모두 같은 반지름 R로 쓰고 서로 같다고 놓은 다음, 공통된 R을 약분하면 무서운 제곱 방정식이 쉬운 방정식으로 바뀐다.

  • 그림을 그리고 반지름에 이름 붙이기
  • 30-60-90 삼각형으로 반지름에서 변 구하기
  • 둘레와 넓이를 R로 나타내기
  • 방정식을 풀어 반지름 구하기

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