AMC 10 · 2003 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-trianglearea-circlesthirty-sixty-ninety-triangle convert-to-algebra ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형의 둘레를 인치로 나타낸 수가 그 외접원의 넓이를 제곱인치로 나타낸 수와 같다. 이 원의 반지름은 몇 인치인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3\sqrt{2}}{\pi}$

(B)

$\frac{3\sqrt{3}}{\pi}$

(C)

$\sqrt{3}$

(D)

$\frac{6}{\pi}$

(E)

$\sqrt{3}\pi$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형이 원 안에 들어가 세 꼭짓점이 모두 원에 닿아 있다. 삼각형의 둘레(인치)를 나타내는 수가 원의 넓이(제곱인치)를 나타내는 수와 같다. 원의 반지름을 구하라.

주어진 것: 삼각형은 정삼각형이고 원에 내접한다 (세 꼭짓점이 모두 원 위에 있다); 삼각형의 둘레(인치) $=$ 원의 넓이(제곱인치); 선택지: (A) $\frac{3\sqrt{2}}{\pi}$, (B) $\frac{3\sqrt{3}}{\pi}$, (C) $\sqrt{3}$, (D) $\frac{6}{\pi}$, (E) $\sqrt{3}\,\pi$

구하는 것: 원의 반지름 $R$ (인치)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

우리가 구하려는 것은 반지름 $R$이고, 문제의 나머지 모든 것을 $R$로 나타낼 수 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 $R$을 하나뿐인 미지수로 삼는다. 도구 #1(그림 그리기)이 기하를 여는 열쇠이다: 내접한 삼각형을 그린 원을 스케치하고 중심에서 한 변으로 선을 내리면 그림이 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형으로 바뀌어, 변의 길이가 $R$에 묶인다. 둘레와 넓이가 모두 $R$로 나타난 표현이 되면, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 둘을 같다고 놓고 깔끔한 방정식 하나를 푼다. 계획은 두 양($3\times$변, 그리고 $\pi R^2$)을 같은 변수로 나타낸 뒤 대수가 마무리하게 두는 것이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.EE.B.6 단계 1

그림을 그리고 반지름에 이름 붙이기

정삼각형이 안에 들어 있고 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 원을 스케치하자.
반지름을 $R$, 삼각형의 변의 길이를 $s$라 하자.
각 꼭짓점으로 반지름을 그으면, 삼각형이 정삼각형이므로 이 세 반지름이 중심에서 한 바퀴를 똑같이 나눈다.
따라서 이웃한 두 반지름 사이의 각은 $\tfrac{360^\circ}{3}=120^\circ$이다.
이제 목표는 $s$를 오직 $R$로만 쓴 것으로 바꾸는 것이다.

$$R = \text{반지름}, \quad s = \text{변}, \quad \text{한 변에 대한 중심각} = 120^\circ$$

💡 반지름에 문자를 붙이고 살을 그려 넣으면 말로 된 문제가 잴 수 있는 도형으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

30-60-90 삼각형으로 반지름에서 변 구하기

중심에서 한 변의 가운데로 곧은 선을 내리자.
그 선은 변과 직각으로 만나며, 변과 $120^\circ$ 중심각을 모두 정확히 반으로 자른다.
그러면 중심 쪽 각이 $60^\circ$, 삼각형 꼭짓점 쪽 각이 $30^\circ$, 가장 긴 변(반지름)이 $R$인 직각삼각형이 남는다.
모든 $30$-$60$-$90$ 삼각형에서 변의 비는 $1 : \sqrt{3} : 2$이고, 빗변 $R$이 $2$에 대응하므로, 삼각형 변의 절반($60^\circ$의 대변)은 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}R$이다.
두 배 하면 변 전체는 $s = \sqrt{3}\,R$이다.

$$\tfrac{s}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}R \;\Rightarrow\; s = \sqrt{3}\,R$$

💡 중심각을 반으로 자르면 $30$-$60$-$90$ 삼각형이 되고, 그 고정된 변의 비가 변의 길이를 공짜로 준다.

#4 변수 도입하기 7.G.B.4 단계 3

둘레와 넓이를 R로 나타내기

둘레는 똑같은 변 셋이다: $P = 3s = 3\sqrt{3}\,R$.
원의 넓이는 표준 공식 $A = \pi R^2$에서 나온다.
문제는 이 두 수가 같다고 하므로, 둘레 표현을 넓이 표현과 같다고 놓는다.
이제 둘 다 오직 하나의 미지수 $R$만으로 쓰여 있다.

$$P = 3s = 3\sqrt{3}\,R, \qquad A = \pi R^2, \qquad 3\sqrt{3}\,R = \pi R^2$$

💡 모든 양이 같은 언어($R$)로 말하면 '둘레가 넓이와 같다'는 그저 방정식 하나이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

방정식을 풀어 반지름 구하기

$3\sqrt{3}\,R = \pi R^2$에서 시작한다.
$R$은 실제 원의 반지름이므로 $0$이 아니고, 따라서 양변을 $R$로 나누면 $3\sqrt{3} = \pi R$이 된다.
그다음 $\pi$로 나누어 반지름만 남긴다: $R = \tfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$.
이것은 선택지 (B)와 일치한다.

$$3\sqrt{3}\,R = \pi R^2 \;\Rightarrow\; 3\sqrt{3} = \pi R \;\Rightarrow\; R = \tfrac{3\sqrt{3}}{\pi} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 양변이 $R$을 인수로 가지므로 $R$ 하나를 약분하면 이차식이 쉬운 일차 방정식으로 내려온다.

[1] #1 6.EE.B.6 정삼각형이 안에 들어 있고 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 원을 스케치하자. 반지름을 $R$, 삼각형의 변의 길이를 $s$라 하자. 각 꼭짓점으

[2] #7 8.G.B.7 중심에서 한 변의 가운데로 곧은 선을 내리자. 그 선은 변과 직각으로 만나며, 변과 $120^\circ$ 중심각을 모두 정확히 반으로 자른다.

[3] #4 7.G.B.4 둘레는 똑같은 변 셋이다: $P = 3s = 3\sqrt{3}\,R$. 원의 넓이는 표준 공식 $A = \pi R^2$에서 나온다. 문제는 이

[4] #13 8.EE.C.7 $3\sqrt{3}\,R = \pi R^2$에서 시작한다. $R$은 실제 원의 반지름이므로 $0$이 아니고, 따라서 양변을 $R$로 나누면 $3

검토

합리성 확인: $R = \tfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$을 다시 넣어 보자. 넓이는 $\pi R^2 = \pi\cdot\tfrac{27}{\pi^2} = \tfrac{27}{\pi}$이다. 둘레는 $3\sqrt{3}\,R = 3\sqrt{3}\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{\pi} = \tfrac{9\cdot 3}{\pi} = \tfrac{27}{\pi}$이다. 둘이 일치하므로 반지름이 맞다. 수치로는 $R \approx \tfrac{5.196}{3.1416}\approx 1.65$인치로, 둘레의 수와 넓이의 수가 우연히 같아지는 작은 원의 크기로 타당하다.

대안 접근: $30$-$60$-$90$ 대신 무게중심 사실을 쓴다: 정삼각형에서 외심은 무게중심과 같고, 각 중선을 따라 $\tfrac{2}{3}$ 지점에 있다. 중선(높이이기도 하다)은 $h = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$이므로 $R = \tfrac{2}{3}h = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}s = \tfrac{s}{\sqrt{3}}$, 즉 다시 $s = \sqrt{3}\,R$이다. 거기서 같은 방정식 $3\sqrt{3}\,R = \pi R^2$이 $R = \tfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$을 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions when solving a problem (반지름 $R$과 변 $s$에 이름을 붙여 도형 전체를 문자로 나타내는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($30$-$60$-$90$ 직각삼각형(피타고라스의 특수한 경우)을 이용해 반지름에서 변 $s = \sqrt{3}\,R$을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know and use the formulas for the area and circumference of a circle (원의 넓이를 $\pi R^2$로 써서 삼각형의 둘레와 같다고 놓는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($3\sqrt{3}\,R = \pi R^2$을 $R$로, 그다음 $\pi$로 나누어 $R = \tfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$을 푸는 데 사용.)

⭐ 둘레와 넓이를 모두 같은 반지름 $R$로 쓰고 서로 같다고 놓은 다음, 공통된 $R$을 약분하면 무서운 제곱 방정식이 쉬운 방정식으로 바뀐다.