AMC 10 · 2003 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescircular-sectorequilateral-triangle identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

지름이 $1$ 인 반원이 지름이 $2$ 인 반원 위에 그림과 같이 놓여 있다. 작은 반원의 안쪽이면서 큰 반원의 바깥쪽인 색칠된 영역을 초승달(lune)이라고 한다. 이 초승달의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}\pi-\frac{\sqrt{3}}{4}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{12}\pi$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{24}\pi$

(D)

$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{24}\pi$

(E)

$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{12}\pi$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지름이 $1$인 작은 반원이 지름이 $2$인 큰 반원 위에 놓여 있다. 작은 반원의 평평한 변은 큰 반원의 현이고, 그 양 끝점은 모두 큰 호 위에 있다. 초승달(lune)은 작은 반원의 안쪽이면서 큰 반원의 바깥쪽인 영역이다. 그 넓이를 구하여라.

주어진 것: 큰 반원의 지름은 $2$이므로 반지름은 $1$이다.; 작은 반원의 지름은 $1$이므로 반지름은 $\tfrac12$이다.; 작은 반원의 곧은 변(길이 $1$의 지름)은 큰 원의 현이고, 두 끝점이 모두 큰 호 위에 놓여 있다.; 선택지: (A) $\tfrac16\pi-\tfrac{\sqrt3}{4}$, (B) $\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac1{12}\pi$, (C) $\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac1{24}\pi$, (D) $\tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac1{24}\pi$, (E) $\tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac1{12}\pi$.

구하는 것: 초승달의 넓이 — 작은 반원 안쪽이면서 큰 반원 바깥쪽인 색칠된 초승달 영역.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

초승달은 양쪽 변이 모두 곡선이라 하나의 공식으로 넓이를 구할 수 없다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 모양을 넓이를 아는 조각들 — 반원, 부채꼴, 삼각형 — 으로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 사실을 드러낸다: 작은 반원의 곧은 변이 큰 원의 현이고, 그 양 끝에 큰 원의 두 반지름을 그으면 삼각형이 나타난다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 접근 틀을 준다: 이상한 초승달을 직접 쫓는 대신, 작은 반원 전체를 잡고 그중 큰 원 안으로 파고든 한 조각만 빼는 것이다. 그 조각은 넓이를 잴 수 있는 평범한 활꼴이다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

두 반지름 정하기

지름과 반지름은 $2$배 차이다.
큰 반원의 지름은 $2$이므로 반지름은 $R=1$이다.
작은 반원의 지름은 $1$이므로 반지름은 $r=\tfrac12$이다.
작은 반원의 곧은 변은 길이가 $1$(그 지름)이고 양 끝이 큰 호 위에 있으므로, 그 변은 길이 $1$인 큰 원의 현이다.

$$R=\tfrac{2}{2}=1,\qquad r=\tfrac{1}{2}$$

💡 각 지름을 반으로 나누면 실제로 계산에 쓸 두 반지름이 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

작은 반원의 넓이

반원은 원의 절반이므로 넓이는 $\tfrac12\pi r^2$이다.
$r=\tfrac12$이면 $\tfrac12\pi\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac12\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{8}$이다.
이 반원 전체가 출발점이고, 초승달은 여기서 큰 반원 안쪽에 들어간 부분을 뺀 것이다.

$$\text{작은 반원}=\tfrac12\pi r^2=\tfrac12\pi\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac{\pi}{8}$$

💡 초승달은 작은 반원에서 한 입 베어 문 모양이므로, 반원 전체에서 시작한다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 3

베어낼 조각의 이름: 활꼴

작은 반원 중 큰 반원 안쪽에 있는 부분은 현과 큰 호 사이에 갇힌 영역 — 현 위쪽에 놓인 큰 원의 활꼴이다.
따라서 초승달은 작은 반원에서 이 활꼴을 뺀 것과 같다.
이제 모든 것은 그 활꼴 하나를 재는 문제로 줄어든다.

$$\text{초승달}=\tfrac{\pi}{8}-\text{(현 위쪽 큰 원의 활꼴)}$$

💡 이상한 초승달을 정면으로 재는 대신, 큰 원과 겹치는 단순한 조각 하나만 빼는 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

현이 큰 반지름과 같으므로 각은 60도

큰 원의 두 반지름을 현의 양 끝점까지 긋는다.
각 반지름은 $1$이고 현도 $1$이므로, 이 삼각형은 세 변이 모두 $1$인 정삼각형이다.
정삼각형의 모든 각은 $60^\circ$이므로 이 현에 대한 큰 원의 중심각은 $60^\circ$이다.
그것이 만드는 부채꼴은 원 전체의 $\tfrac{60}{360}=\tfrac16$이다: $\tfrac16\pi R^2=\tfrac16\pi(1)^2=\tfrac{\pi}{6}$.

$$\text{부채꼴}=\tfrac{60^\circ}{360^\circ}\,\pi R^2=\tfrac16\pi(1)^2=\tfrac{\pi}{6}$$

💡 현이 반지름과 같으면 그것이 만드는 조각은 딱 원의 6분의 1이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

활꼴 = 부채꼴 − 삼각형

활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것이다.
삼각형은 한 변이 $1$인 정삼각형이고, 높이는 피타고라스 정리로 $h=\sqrt{1^2-\left(\tfrac12\right)^2}=\tfrac{\sqrt3}{2}$이므로 넓이는 $\tfrac12\cdot 1\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\sqrt3}{4}$이다.
따라서 현 위쪽 활꼴은 $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$이다.

$$\text{활꼴}=\text{부채꼴}-\text{삼각형}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$$

💡 부채꼴의 평평한 삼각형 밑동을 잘라내면 곡선 조각만 남는다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 6

초승달 조립하기

작은 반원에서 활꼴을 뺀다: $\tfrac{\pi}{8}-\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\tfrac{\pi}{8}-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{4}$.
$\pi$ 항을 분모 $24$로 묶으면 $\tfrac{3\pi}{24}-\tfrac{4\pi}{24}=-\tfrac{\pi}{24}$이다.
따라서 초승달은 $\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac{\pi}{24}$이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$\text{초승달}=\tfrac{\pi}{8}-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{4}=\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac{\pi}{24}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 반원 전체에서 겹치는 조각을 빼면 정확히 초승달만 남는다.

[1] #1 7.G.B.4 지름과 반지름은 $2$배 차이다. 큰 반원의 지름은 $2$이므로 반지름은 $R=1$이다. 작은 반원의 지름은 $1$이므로 반지름은 $r=\tfr

[2] #7 7.G.B.4 반원은 원의 절반이므로 넓이는 $\tfrac12\pi r^2$이다. $r=\tfrac12$이면 $\tfrac12\pi\left(\tfrac12\

[3] #16 7.G.B.6 작은 반원 중 큰 반원 안쪽에 있는 부분은 현과 큰 호 사이에 갇힌 영역 — 현 위쪽에 놓인 큰 원의 활꼴이다. 따라서 초승달은 작은 반원에서

[4] #7 7.G.B.4 큰 원의 두 반지름을 현의 양 끝점까지 긋는다. 각 반지름은 $1$이고 현도 $1$이므로, 이 삼각형은 세 변이 모두 $1$인 정삼각형이다. 정

[5] #7 8.G.B.7 활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것이다. 삼각형은 한 변이 $1$인 정삼각형이고, 높이는 피타고라스 정리로 $h=\sqrt{1^2-\left(\t

[6] #16 7.G.B.6 작은 반원에서 활꼴을 뺀다: $\tfrac{\pi}{8}-\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\t

검토

합리성 확인: 초승달은 얇은 초승달 모양이므로, 넓이는 작은 반원 전체보다 조금 작고 분명히 양수여야 한다. 수치로 $\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac{\pi}{24}\approx 0.433-0.131=0.302$이고, 작은 반원은 $\tfrac{\pi}{8}\approx 0.393$이다 — 작은 활꼴을 잘라낸 만큼 초승달이 조금 작아, 예상과 정확히 맞는다. 선택지 (A)는 음수($\approx-0.09$)라 넓이가 될 수 없고, (B) $\approx 0.171$은 너무 작으며, (C) $\approx 0.302$가 맞는다.

대안 접근: 도구 #3, 가능성 지우기: 모든 선택지가 $\tfrac{\sqrt3}{4}$ 항을 공유하므로 승부는 $\pi$ 보정 항에서만 갈린다. 겹치는 활꼴($\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$)을 반원($\tfrac{\pi}{8}$)에서 빼므로 $\pi$ 부분은 $\tfrac{\pi}{8}-\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\pi}{24}$이다. $-\tfrac{\pi}{24}$를 가진 선택지는 (C)뿐이므로, 삼각형을 다시 계산하지 않아도 정답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems (작은 반원의 넓이($\tfrac12\pi r^2$)와 큰 원의 60도 부채꼴 넓이($\tfrac16\pi R^2$)를 계산.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (한 변이 $1$인 정삼각형의 높이 $\tfrac{\sqrt3}{2}$를 구해 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{4}$를 얻음.)
7.G.B.6 Solve real-world and mathematical problems involving area of two-dimensional objects composed of triangles, quadrilaterals, and polygons (초승달을 반원에서 활꼴을 뺀 것으로, 활꼴을 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것으로 나눈 뒤 넓이를 합침.)

⭐ 초승달은 작은 반원에서 큰 원과 겹치는 조각을 뺀 것이고, 곧은 변이 큰 반지름과 같으므로 그 조각은 정삼각형을 떼어낸 $60^\circ$ 부채꼴이라 $\tfrac{\sqrt3}{4}-\tfrac{\pi}{24}$가 남는다.