AMC 10 · 2003 · #22

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer
coordinate-geometryslope-interceptsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
AB=8, BC=9인 직사각형 ABCD에서, 점 H는 BC 위에 있고 BH=6이며, 점 E는 AD 위에 있고 DE=4이다. 직선 EC와 직선 AH는 점 G에서 만나고, F는 직선 AD 위의 점으로 GF ⊥ AF를 만족한다. 선분 GF의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
20
(C)
24
(D)
28
(E)
30

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 도형은 직선들뿐이므로, 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 좌표 격자로 그릴 때 가장 강력하다: D를 원점에 두고 직선 AD를 x축에 맞춘다. 이 하나의 선택이 도구 #16(관점 바꾸기)으로 이어진다: F가 직선 AD(x축) 위에 있고 GF ⊥ AF이므로, 선분 GF는 수직으로 곧게 서 있어서 그 길이는 곧 G가 x축 위로 얼마나 높이 있는가 — 즉 G의 y좌표이다. F의 위치를 굳이 찾을 필요가 전혀 없다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 주어진 두 직선을 각각 방정식으로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 진짜 할 일을 가려낸다: 두 직선이 만나는 점을 찾고 그 높이를 읽어 내는 것이다.

1STEP 1

도형을 좌표 격자에 올리기

D를 원점, 직선 AD를 x축에 두면 H=(3,8), E=(4,0)이고 GF는 곧 G의 높이이다.

D=(0,0), A=(9,0), B=(9,8), C=(0,8), H=(3,8), E=(4,0)
2STEP 2

직선 EC의 방정식 세우기

직선 EC는 E=(4,0)과 C=(0,8)을 지나므로 기울기 -2, y절편 8, 즉 y=-2x+8이다.

기울기=(8-0)/(0-4)=-2 → y=-2x+8
3STEP 3

직선 AH의 방정식 세우기

직선 AH는 A=(9,0)과 H=(3,8)을 지나 기울기가 −43-\frac{4}{3}이므로 점-기울기 꼴에서 y=−43x+12y=-\frac{4}{3}x+12이다.

기울기=8/(3-9)=-4/3 → y=-4/3x+12
4STEP 4

두 직선을 교차시켜 높이 읽기

-2x+8=−43x+12-\frac{4}{3}x+12를 풀면 x=-6, y=-2(-6)+8=20이고 이 높이가 GF, 답은 (B)이다.

-2x+8=-4/3x+12 → x=-6, y=20 → GF=20 (B)
정답
20
교점 G=(-6,20)은 직사각형의 왼쪽 위로 한참 떨어진 곳에 놓이는데, 이는 그림과 맞는다: 두 직선 모두 왼쪽 위로 기울어져 도형 바깥 멀리에서 만난다. 값 20은 선택지 중 하나다. 좌표 없이도 빠르게 확인된다: 선분 CH(C=(0,8)에서 H=(3,8)까지)는 길이 3의 수평선이고, 선분 EA(E=(4,0)에서 A=(9,0)까지)는 길이 5의 수평선이므로 CH ∥ EA이다. C와 H가 G를 지나는 두 직선 위에 있으므로 삼각형 GCH는 삼각형 GEA와 닮음이고 비는 CH/EA=3/5이다. GF=h가 EA 위로의 G의 높이라면 h-8은 CH 위로의 높이이므로, (h-8)/h=3/5에서 5(h-8)=3h, h=20 — 같은 답이다.
💡핵심 정리

어떤 직선까지의 수직 거리를 구할 때는 그 직선을 x축으로 삼아라 — 거리는 그 점의 높이가 되고, 문제는 두 직선이 만나는 곳을 찾는 일로 바뀐다.

  • 도형을 좌표 격자에 올리기
  • 직선 EC의 방정식 세우기
  • 직선 AH의 방정식 세우기
  • 두 직선을 교차시켜 높이 읽기

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