AMC 10 · 2003 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryslope-interceptsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=8$ , $BC=9$ 이다. 점 $H$ 는 $BC$ 위에 있고 $BH=6$ 이며, 점 $E$ 는 $AD$ 위에 있고 $DE=4$ 이다. 직선 $EC$ 는 직선 $AH$ 와 점 $G$ 에서 만나고, $F$ 는 직선 $AD$ 위의 점으로 $GF \perp AF$ 를 만족한다. 선분 $GF$ 의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AB=8$, $BC=9$인 직사각형 $ABCD$에서, 점 $H$는 $BC$ 위에 있고 $BH=6$이며, 점 $E$는 $AD$ 위에 있고 $DE=4$이다. 직선 $EC$와 직선 $AH$는 점 $G$에서 만나고, $F$는 직선 $AD$ 위의 점으로 $GF\perp AF$를 만족한다. 선분 $GF$의 길이를 구하라.

주어진 것: $AB=8$, $BC=9$인 직사각형 $ABCD$이므로 $AD=9$, $CD=8$이다; $H$는 $BC$ 위에 있고 $BH=6$; $E$는 $AD$ 위에 있고 $DE=4$이다; 직선 $EC$와 직선 $AH$는 $G$에서 만나고, $F$는 직선 $AD$ 위에서 $GF\perp AF$인 점이다; 선택지: (A) 16, (B) 20, (C) 24, (D) 28, (E) 30

구하는 것: 선분 $GF$의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 도형은 직선들뿐이므로, 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 좌표 격자로 그릴 때 가장 강력하다: $D$를 원점에 두고 직선 $AD$를 $x$축에 맞춘다. 이 하나의 선택이 도구 #16(관점 바꾸기)으로 이어진다: $F$가 직선 $AD$($x$축) 위에 있고 $GF\perp AF$이므로, 선분 $GF$는 수직으로 곧게 서 있어서 그 길이는 곧 $G$가 $x$축 위로 얼마나 높이 있는가 — 즉 $G$의 $y$좌표이다. $F$의 위치를 굳이 찾을 필요가 전혀 없다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 주어진 두 직선을 각각 방정식으로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 진짜 할 일을 가려낸다: 두 직선이 만나는 점을 찾고 그 높이를 읽어 내는 것이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

도형을 좌표 격자에 올리기

$D$를 원점에 두고 직선 $AD$를 $x$축에 맞춘다.
직사각형의 변의 길이를 읽으면 $D=(0,0)$, $A=(9,0)$, $B=(9,8)$, $C=(0,8)$이다.
$BH=6$을 $B$에서 $C$쪽으로 재므로 $H=(3,8)$이고, $DE=4$를 $D$에서 $A$쪽으로 재므로 $E=(4,0)$이다.
이제 $F$가 무엇인지 보자: $F$는 직선 $AD$, 즉 $x$축 위에 있고 $GF\perp AF$이므로 $GF$는 수직이어야 한다.
그러므로 $GF$는 $G$가 $x$축 위로 얼마나 높이 서 있는가 — 곧 $G$의 $y$좌표일 뿐이다.
문제 전체가 하나의 물음으로 줄어든다: 직선 $EC$와 $AH$가 만나는 점의 $y$좌표는 무엇인가?

$$D=(0,0),\;A=(9,0),\;B=(9,8),\;C=(0,8),\;H=(3,8),\;E=(4,0)$$

💡 밑이 되는 직선이 $x$축이면, 거기까지 내린 수직 선분의 길이는 그 점의 높이일 뿐이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 2

직선 $EC$의 방정식 세우기

직선 $EC$는 $E=(4,0)$과 $C=(0,8)$을 지난다.
기울기는 $\frac{8-0}{0-4}=-2$이다.
점 $C=(0,8)$은 이미 $y$축 위에 있으므로 $y$절편이고, 따라서 직선은 $y=-2x+8$이다.

$$\text{기울기}=\frac{8-0}{0-4}=-2\;\Rightarrow\;y=-2x+8$$

💡 기울기는 아는 두 점 사이의 (세로 변화)/(가로 변화)이고, 절편은 직선이 $y$축과 만나는 곳이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 3

직선 $AH$의 방정식 세우기

직선 $AH$는 $A=(9,0)$과 $H=(3,8)$을 지난다.
기울기는 $\frac{8-0}{3-9}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}$이다.
점 $A=(9,0)$을 점-기울기 꼴에 넣으면 $y-0=-\frac{4}{3}(x-9)$이고, 이를 정리하면 $y=-\frac{4}{3}x+12$이다.

$$\text{기울기}=\frac{8}{3-9}=-\frac{4}{3}\;\Rightarrow\;y=-\frac{4}{3}x+12$$

💡 두 점이 직선을 정한다: 기울기가 기울어짐을 정하고 한 점이 위치를 고정한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 4

두 직선을 교차시켜 높이 읽기

점 $G$는 두 직선 위에 모두 있으므로, 두 우변을 같게 놓는다: $-2x+8=-\frac{4}{3}x+12$.
분수를 없애기 위해 모든 항에 $3$을 곱하면 $-6x+24=-4x+36$이다.
항을 모으면 $-2x=12$, 즉 $x=-6$이다.
더 간단한 직선 $y=-2x+8$에 다시 대입하면 $y=-2(-6)+8=20$이다.
따라서 두 직선은 $G=(-6,20)$에서 만나고, 직선 $AD$ 위로의 높이는 $20$이다.
$GF$가 그 높이와 같으므로 $GF=20$이고, 이것은 선택지 (B)이다.

$$-2x+8=-\tfrac{4}{3}x+12\;\Rightarrow\;x=-6,\;y=20\;\Rightarrow\;GF=20\;\textbf{(B)}$$

💡 두 직선 위에 동시에 있는 단 하나의 점은 두 방정식을 동시에 만족하는 하나의 $(x,y)$ 쌍이다.

[1] #1 6.NS.C.8 $D$를 원점에 두고 직선 $AD$를 $x$축에 맞춘다. 직사각형의 변의 길이를 읽으면 $D=(0,0)$, $A=(9,0)$, $B=(9,8)$

[2] #13 8.EE.B.6 직선 $EC$는 $E=(4,0)$과 $C=(0,8)$을 지난다. 기울기는 $\frac{8-0}{0-4}=-2$이다. 점 $C=(0,8)$은 이미

[3] #13 8.EE.B.6 직선 $AH$는 $A=(9,0)$과 $H=(3,8)$을 지난다. 기울기는 $\frac{8-0}{3-9}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}

[4] #7 8.EE.C.8 점 $G$는 두 직선 위에 모두 있으므로, 두 우변을 같게 놓는다: $-2x+8=-\frac{4}{3}x+12$. 분수를 없애기 위해 모든 항에

검토

합리성 확인: 교점 $G=(-6,20)$은 직사각형의 왼쪽 위로 한참 떨어진 곳에 놓이는데, 이는 그림과 맞는다: 두 직선 모두 왼쪽 위로 기울어져 도형 바깥 멀리에서 만난다. 값 $20$은 선택지 중 하나다. 좌표 없이도 빠르게 확인된다: 선분 $CH$($C=(0,8)$에서 $H=(3,8)$까지)는 길이 $3$의 수평선이고, 선분 $EA$($E=(4,0)$에서 $A=(9,0)$까지)는 길이 $5$의 수평선이므로 $CH\parallel EA$이다. $C$와 $H$가 $G$를 지나는 두 직선 위에 있으므로 삼각형 $GCH$는 삼각형 $GEA$와 닮음이고 비는 $\frac{CH}{EA}=\frac{3}{5}$이다. $GF=h$가 $EA$ 위로의 $G$의 높이라면 $h-8$은 $CH$ 위로의 높이이므로, $\frac{h-8}{h}=\frac{3}{5}$에서 $5(h-8)=3h$, $h=20$ — 같은 답이다.

대안 접근: 좌표를 아예 쓰지 않고 닮음 삼각형에 기댄다. $C$는 (G를 지나는) 직선 $EC$ 위에, $H$는 (G를 지나는) 직선 $AH$ 위에 있고, $CH$는 $EA$와 평행하므로(직사각형에서 둘 다 수평), 삼각형 $GCH$와 $GEA$는 닮음이다. 밑변의 비는 $\frac{CH}{EA}=\frac{3}{5}$인데, $CH=3$은 직사각형에서 구하고 $EA=AD-DE=9-4=5$이다. 두 평행한 밑변 위로의 $G$의 높이도 같은 비 $\frac{3}{5}$이다. $CH$가 $EA$보다 $8$만큼 높으므로 $\frac{h-8}{h}=\frac{3}{5}$을 세워 풀면 기울기나 절편 없이 단 하나의 방정식으로 $h=GF=20$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (직사각형을 좌표 격자에 올리고($D$를 원점에, 직선 $AD$를 $x$축에) $A,B,C,H,E$를 읽어 내는 데 사용. $G$는 제2사분면에 놓인다.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (두 점으로부터 직선 $EC$와 $AH$의 기울기를 구하고 방정식 $y=-2x+8$과 $y=-\frac{4}{3}x+12$를 세우는 데 사용.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 직선의 방정식을 같게 놓아 교점 $G=(-6,20)$을 찾고, 그 높이로 $GF=20$을 얻는 데 사용.)

⭐ 어떤 직선까지의 수직 거리를 구할 때는 그 직선을 $x$축으로 삼아라 — 거리는 그 점의 높이가 되고, 문제는 두 직선이 만나는 곳을 찾는 일로 바뀐다.