AMC 10 · 2003 · #11

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
coordinate-geometryslope-interceptlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: slope-intercept
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 직선이 모두 점 (10,15)를 지난다: 하나는 기울기가 3이고 다른 하나는 기울기가 5이다. 각 직선은 저마다의 x절편에서 x축과 만난다. 그 두 x절편 사이의 거리를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
5
(C)
7
(D)
12
(E)
20

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

각 직선은 기울기와 공유하는 점 (10,15)로 완전히 결정되므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 이렇게 말한다: x와 y를 변수로 하여 각 직선의 점-기울기 방정식을 쓰고, y=0을 넣어 미지의 x절편을 구하라. 도구 #8(단위 살펴보기)은 같은 결과를 더 빠르게 준다: 기울기는 세로변화 나누기 가로변화이므로, y=15에서 y=0으로 15만큼 내려가려면 각 직선은 뒤로 15/기울기만큼 이동하며, 이것이 절편이 x=10에서 얼마나 떨어져 있는지 알려 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 또렷하게 유지한다 — 한 점에서 부채처럼 벌어져 x축 위 가까운 두 지점으로 내려가는 두 직선 — 그래서 마지막에 두 x값을 빼는 것이 묻는 거리임이 분명해진다.

1STEP 1

각 직선의 방정식 쓰기

공유하는 점 (10,15)를 써서 점-기울기 형태로 쓰면 y - 15 = 3(x - 10), y - 15 = 5(x - 10)이다.

y - 15 = 3(x - 10) 그리고 y - 15 = 5(x - 10)
2STEP 2

기울기 3인 직선의 x절편 찾기

기울기 3인 직선에 y = 0을 넣으면 -15 = 3(x - 10), 즉 x - 10 = -5이므로 절편은 x = 5이다.

0 - 15 = 3(x - 10) → x - 10 = -5 → x = 5
3STEP 3

기울기 5인 직선의 x절편 찾기

기울기 5인 직선도 마찬가지로 -15 = 5(x - 10), x - 10 = -3이므로 절편은 x = 7이다.

0 - 15 = 5(x - 10) → x - 10 = -3 → x = 7
4STEP 4

빼서 거리 구하기

두 절편 모두 x축 위에 있으므로 거리는 x좌표 차이인 |7 - 5| = 2, 즉 선택지 (A)이다.

|7 - 5| = 2 → (A)
정답
2
두 절편 5와 7은 모두 x=10의 바로 왼쪽에 있는데, 이는 두 직선이 위로 올라가다가 다시 축으로 내려와야 하므로 타당하다. 더 가파른 기울기 5 직선은 7(10에 더 가까움)에서, 더 완만한 기울기 3 직선은 5(더 멀리)에서 만나며 차이는 2 — 작고, 선택지 (A)와 일치한다. 한 점으로 확인: 기울기 3 직선의 x=5에서 y = 15 + 3(5-10) = 15 - 15 = 0이고, 기울기 5 직선의 x=7에서 y = 15 + 5(7-10) = 15 - 15 = 0이므로 둘 다 실제로 축에 닿는다.
💡핵심 정리

직선이 x축과 만나는 곳은 y=0을 넣어 x를 풀면 되고, 두 절편 사이의 거리는 그 x값들의 차이일 뿐이다.

  • 각 직선의 방정식 쓰기
  • 기울기 3인 직선의 x절편 찾기
  • 기울기 5인 직선의 x절편 찾기
  • 빼서 거리 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.