AMC 10 · 2003 · #11
학년 8 algebra기울기가 3인 직선과 기울기가 5인 직선이 점 (10,15)에서 만난다. 이 두 직선의 x절편 사이의 거리는 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 직선이 모두 점 $(10,15)$를 지난다: 하나는 기울기가 $3$이고 다른 하나는 기울기가 $5$이다. 각 직선은 저마다의 $x$절편에서 $x$축과 만난다. 그 두 $x$절편 사이의 거리를 구하라.
주어진 것: 한 직선은 기울기가 $3$이고 점 $(10,15)$를 지난다; 다른 직선은 기울기가 $5$이고 점 $(10,15)$를 지난다; $x$절편은 직선이 $x$축과 만나는 점이므로 그 $y$좌표는 $0$이다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $12$, (E) $20$
구하는 것: 두 직선의 $x$절편 사이의 거리
이해
문제 재정리: 두 직선이 모두 점 $(10,15)$를 지난다: 하나는 기울기가 $3$이고 다른 하나는 기울기가 $5$이다. 각 직선은 저마다의 $x$절편에서 $x$축과 만난다. 그 두 $x$절편 사이의 거리를 구하라.
주어진 것: 한 직선은 기울기가 $3$이고 점 $(10,15)$를 지난다; 다른 직선은 기울기가 $5$이고 점 $(10,15)$를 지난다; $x$절편은 직선이 $x$축과 만나는 점이므로 그 $y$좌표는 $0$이다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $12$, (E) $20$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #1 그림 그리기
각 직선은 기울기와 공유하는 점 $(10,15)$로 완전히 결정되므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 이렇게 말한다: $x$와 $y$를 변수로 하여 각 직선의 점-기울기 방정식을 쓰고, $y=0$을 넣어 미지의 $x$절편을 구하라. 도구 #8(단위 살펴보기)은 같은 결과를 더 빠르게 준다: 기울기는 세로변화 나누기 가로변화이므로, $y=15$에서 $y=0$으로 $15$만큼 내려가려면 각 직선은 뒤로 $15/\text{기울기}$만큼 이동하며, 이것이 절편이 $x=10$에서 얼마나 떨어져 있는지 알려 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 또렷하게 유지한다 — 한 점에서 부채처럼 벌어져 $x$축 위 가까운 두 지점으로 내려가는 두 직선 — 그래서 마지막에 두 $x$값을 빼는 것이 묻는 거리임이 분명해진다.
실행 — 정답: A
8.F.B.4 단계 1 각 직선의 방정식 쓰기
- 직선의 점-기울기 형태는 $y - y_1 = m(x - x_1)$이며, 여기서 $m$은 기울기, $(x_1,y_1)$은 직선 위의 알려진 점이다.
- 두 직선 모두 $(10,15)$를 지나므로 그것을 $(x_1,y_1)$로 넣는다.
- 기울기 $3$인 직선은 $y - 15 = 3(x - 10)$, 기울기 $5$인 직선은 $y - 15 = 5(x - 10)$이다.
💡 기울기와 지나는 점 하나만 있으면 직선의 정확한 방정식을 쓸 수 있다.
8.EE.C.7 단계 2 기울기 3인 직선의 x절편 찾기
- $x$절편은 $x$축 위, 즉 $y = 0$인 곳에 있다.
- 기울기 $3$ 방정식에 $y = 0$을 넣으면 $0 - 15 = 3(x - 10)$, 즉 $-15 = 3(x - 10)$이다.
- 양변을 $3$으로 나누면 $x - 10 = -5$, 따라서 $x = 5$이다.
- 기울기 $3$인 직선은 $x = 5$에서 $x$축과 만난다.
💡 $y=0$을 넣으면 직선의 방정식이 $x$축과 만나는 바로 그 지점을 구하는 하나의 방정식이 된다.
8.EE.C.7 단계 3 기울기 5인 직선의 x절편 찾기
- 기울기 $5$인 직선에도 똑같이 한다: $y = 0$을 넣으면 $-15 = 5(x - 10)$이다.
- 양변을 $5$로 나누면 $x - 10 = -3$, 따라서 $x = 7$이다.
- 기울기 $5$인 직선은 $x = 7$에서 $x$축과 만난다.
- 더 가파른 직선은 축에 더 가까이 $x=10$ 근처에서 만나는데, 이는 맞다: $7$이 $5$보다 $10$에 더 가깝다.
💡 기울기가 가파를수록 같은 $15$만큼 내려가는 데 필요한 가로 이동이 짧아지므로 절편이 $x=10$에 더 가까이 온다.
6.NS.C.7 단계 4 빼서 거리 구하기
- 두 절편 $x = 5$와 $x = 7$은 모두 $x$축 위에 있으므로 둘 사이의 거리는 그 $x$좌표들의 차이이다: $|7 - 5| = 2$.
- 그래서 두 $x$절편 사이의 거리는 $2$이며, 이는 선택지 (A)이다.
💡 같은 수평선 위의 두 점은 그 $x$값들의 절댓값 차이만큼 떨어져 있다.
8.F.B.4 직선의 점-기울기 형태는 $y - y_1 = m(x - x_1)$이며, 여기서 $m$은 기울기, $(x_1,y_1)$은 직선 위의 알려진 점이다 8.EE.C.7 $x$절편은 $x$축 위, 즉 $y = 0$인 곳에 있다. 기울기 $3$ 방정식에 $y = 0$을 넣으면 $0 - 15 = 3(x - 10)$, 8.EE.C.7 기울기 $5$인 직선에도 똑같이 한다: $y = 0$을 넣으면 $-15 = 5(x - 10)$이다. 양변을 $5$로 나누면 $x - 10 = - 6.NS.C.7 두 절편 $x = 5$와 $x = 7$은 모두 $x$축 위에 있으므로 둘 사이의 거리는 그 $x$좌표들의 차이이다: $|7 - 5| = 2$. 검토
합리성 확인: 두 절편 $5$와 $7$은 모두 $x=10$의 바로 왼쪽에 있는데, 이는 두 직선이 위로 올라가다가 다시 축으로 내려와야 하므로 타당하다. 더 가파른 기울기 $5$ 직선은 $7$(10에 더 가까움)에서, 더 완만한 기울기 $3$ 직선은 $5$(더 멀리)에서 만나며 차이는 $2$ — 작고, 선택지 (A)와 일치한다. 한 점으로 확인: 기울기 $3$ 직선의 $x=5$에서 $y = 15 + 3(5-10) = 15 - 15 = 0$이고, 기울기 $5$ 직선의 $x=7$에서 $y = 15 + 5(7-10) = 15 - 15 = 0$이므로 둘 다 실제로 축에 닿는다.
대안 접근: 방정식을 다 쓰지 않아도 된다. 각 직선은 $(10,15)$에서 $x$축까지 똑같이 $15$만큼 내려가고, 기울기는 세로변화 나누기 가로변화이므로 가로 이동은 $15/\text{기울기}$이다. 이는 절편을 $10 - \frac{15}{3} = 5$와 $10 - \frac{15}{5} = 7$에 놓는다. 둘 다 같은 출발 $x=10$을 공유하므로 거리는 $\frac{15}{3} - \frac{15}{5} = 5 - 3 = 2$, 다시 (A)이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.F.B.4두 양 사이의 선형 관계를 나타내는 함수 세우기 (각 직선의 기울기와 공유하는 점 $(10,15)$로부터 점-기울기 방정식 쓰기.)8.EE.C.7일차방정식 풀기 ($y=0$을 넣어 각 직선의 $-15 = m(x-10)$을 풀어 $x$절편 구하기.)6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($x$축 위 두 절편 사이의 거리로 $|7-5|$ 취하기.)
⭐ 직선이 $x$축과 만나는 곳은 $y=0$을 넣어 $x$를 풀면 되고, 두 절편 사이의 거리는 그 $x$값들의 차이일 뿐이다.
⭐ 직선이 $x$축과 만나는 곳은 $y=0$을 넣어 $x$를 풀면 되고, 두 절편 사이의 거리는 그 $x$값들의 차이일 뿐이다.
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