AMC 10 · 2003 · #17

학년 8 geometry-3d
유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid
volume-spherevolume-conepercentage identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-spherevolume-cone
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
공 모양의 아이스크림 한 스쿱이 콘 위에 놓여 있다. 콘 입구의 지름이 공의 지름과 같아서 둘은 같은 반지름 r를 갖는다. 공이 녹으면 얼었을 때 부피의 75%로 줄어들고, 그 녹은 액체가 콘을 정확히 가장자리까지 채운다. 콘의 높이 h가 반지름 r와 어떤 비를 이루는지 h:r 형태로 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2:1
(B)
3:1
(C)
4:1
(D)
16:3
(E)
6:1

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 문제는 하나의 공통 길이로 이어진 부피들의 연쇄다. 도구 #4(변수 도입하기)가 중심축이다. 공통 반지름을 r, 콘의 높이를 h라 이름 붙이면 모든 양이 r와 h의 식이 된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작업을 세 조각으로 나눈다 — 얼어 있는 구의 부피, 그다음 75% 녹은 양, 그다음 콘의 부피 — 각각은 주어진 공식에 한 번 대입하는 것뿐이다. 녹은 양을 콘의 부피와 같다고 놓으면 방정식 하나가 나오고, 양변이 모두 π r²라는 인수를 갖기 때문에 그 인수가 약분되어 h가 r로 표현되어 떨어진다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 정직하게 유지한다 — 콘과 구가 왜 같은 반지름을 공유해야 하는지 보여 준다.

1STEP 1

공통 반지름과 높이에 이름 붙이기

지름이 같으므로 반지름 r는 하나뿐이다. 높이를 h라 하면 구는 4/3π r³, 콘은 1/3π r² h다.

V_구=4/3π r³, V_콘=1/3π r² h
2STEP 2

스쿱을 75%로 녹이기

녹으면 부피의 75%=3/4만 남고, 3/4가 4/3을 정확히 약분하므로 액체는 π r³이다.

V_녹은 것=3/4·4/3π r³=π r³
3STEP 3

녹은 부피를 콘과 같다고 놓기

"정확히 채운다"에서 1/3π r² h = π r³이다. 양변의 π r²로 나누면 h/3 = r만 남는다.

1/3π r² h=π r³ ⟹ 1/3h=r
4STEP 4

h를 구하고 비를 읽기

h/3 = r의 양변에 3을 곱하면 h = 3r, 즉 높이는 반지름의 세 배라서 h:r = 3:1, 선택지 (B)이다.

h=3r ⟹ h:r=3:1 → (B)
정답
3:1
여기서 키 크고 홀쭉한 콘이 나오는 것은 자연스럽다. 둥근 스쿱은 통통한 모양인데 콘은 자기를 감싸는 상자(원기둥)의 1/3만 담으므로, 공의 부피를 맞추려면 높이가 더 필요하다. h=3r로 직접 숫자를 확인하자: 콘의 부피 =1/3π r²(3r)=π r³, 이는 정확히 녹은 부피 π r³과 같다. 둘이 맞으니 h:r=3:1이 옳다. 빠른 범위 점검: 만약 h가 r뿐이라면(비 1:1) 콘은 1/3π r³만 담아 턱없이 부족하다 — 따라서 비는 1보다 확실히 커야 하고, 3:1이 딱 맞으며 거대한 6:1은 넘쳐 버린다.
💡핵심 정리

녹은 부피 하나가 다른 모양을 정확히 채워야 할 때는, 두 부피를 같다고 놓고 공통 부분을 약분하면 남는 것이 알고 싶던 길이를 알려 준다.

  • 공통 반지름과 높이에 이름 붙이기
  • 스쿱을 75%로 녹이기
  • 녹은 부피를 콘과 같다고 놓기
  • h를 구하고 비를 읽기

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