AMC 10 · 2003 · #17

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-spherevolume-conepercentage identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-spherevolume-cone

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 아이스크림 콘은 바닐라 아이스크림 구 하나와, 그 구와 지름이 같은 직원뿔로 이루어져 있다. 아이스크림이 녹으면 콘을 정확히 가득 채운다. 녹은 아이스크림은 얼어 있던 아이스크림 부피의 $75\%$ 를 차지한다고 하자. 콘의 높이와 반지름의 비는 얼마인가? (참고: 반지름 $r$ , 높이 $h$ 인 원뿔의 부피는 $\pi r^2 h / 3$ 이고, 반지름 $r$ 인 구의 부피는 $4 \pi r^3 / 3$ 이다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:1

(B)

3:1

(C)

4:1

(D)

16:3

(E)

6:1

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공 모양의 아이스크림 한 스쿱이 콘 위에 놓여 있다. 콘 입구의 지름이 공의 지름과 같아서 둘은 같은 반지름 $r$를 갖는다. 공이 녹으면 얼었을 때 부피의 $75\%$로 줄어들고, 그 녹은 액체가 콘을 정확히 가장자리까지 채운다. 콘의 높이 $h$가 반지름 $r$와 어떤 비를 이루는지 $h:r$ 형태로 구하라.

주어진 것: 얼어 있는 스쿱은 반지름 $r$인 구이고, 부피는 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$; 콘은 구와 같은 반지름 $r$와 어떤 높이 $h$를 가지며, 부피는 $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; 녹은 아이스크림은 얼었을 때 부피의 $75\%$; 녹은 아이스크림이 콘을 정확히 채운다 (빈틈도 넘침도 없음)

구하는 것: 콘의 높이와 반지름의 비 $h:r$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

이 문제는 하나의 공통 길이로 이어진 부피들의 연쇄다. 도구 #4(변수 도입하기)가 중심축이다. 공통 반지름을 $r$, 콘의 높이를 $h$라 이름 붙이면 모든 양이 $r$와 $h$의 식이 된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작업을 세 조각으로 나눈다 — 얼어 있는 구의 부피, 그다음 $75\%$ 녹은 양, 그다음 콘의 부피 — 각각은 주어진 공식에 한 번 대입하는 것뿐이다. 녹은 양을 콘의 부피와 같다고 놓으면 방정식 하나가 나오고, 양변이 모두 $\pi r^2$라는 인수를 갖기 때문에 그 인수가 약분되어 $h$가 $r$로 표현되어 떨어진다. 도구 #1(그림 그리기)은 그림을 정직하게 유지한다 — 콘과 구가 왜 같은 반지름을 공유해야 하는지 보여 준다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

공통 반지름과 높이에 이름 붙이기

콘 입구의 지름이 공의 지름과 같으므로 둘은 같은 반지름을 갖는다.
그 반지름을 $r$, 콘의 높이를 $h$라 하자.
이제 문제가 건네준 두 부피를 쓴다.
얼어 있는 구는 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, 녹은 것을 받을 콘은 $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.
반지름이 하나만 등장한다는 점이, 두 부피가 서로 이어지게 하는 열쇠다.

$$V_{\text{구}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3,\qquad V_{\text{콘}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$

💡 공통 반지름이 하나라는 것은 문자 $r$ 하나가 구와 콘을 함께 묶는다는 뜻이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 2

스쿱을 75%로 녹이기

녹으면 얼었을 때 부피의 $75\%=\dfrac{3}{4}$만 남는다.
구의 부피에 $\dfrac{3}{4}$를 곱하자.
$\dfrac{3}{4}$와 $\dfrac{4}{3}$는 서로 역수라서 약분되어 지저분한 분수가 사라진다 — 녹은 액체의 부피는 정확히 $\pi r^3$이 된다.

$$V_{\text{녹은 것}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3=\pi r^3$$

💡 $\dfrac{4}{3}$의 $\dfrac{3}{4}$을 취하면 깔끔하게 $1$이 남아, 녹은 부피는 그냥 $\pi r^3$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 3

녹은 부피를 콘과 같다고 놓기

"정확히 채운다"는 것은 녹은 액체와 콘이 같은 부피를 담는다는 뜻이다.
서로 같다고 놓자: $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\pi r^3$.
양변이 인수 $\pi r^2$를 공유하므로 그것으로 나눈다.
그러면 방정식이 $\dfrac{1}{3}h=r$로 줄어든다.

$$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\pi r^3 \;\Longrightarrow\; \dfrac{1}{3}h=r$$

💡 콘이 녹은 스쿱 전체를 삼켜야 하므로 두 부피는 같고, 공통 인수 $\pi r^2$는 약분된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

h를 구하고 비를 읽기

$\dfrac{1}{3}h=r$의 양변에 $3$을 곱하면 $h=3r$이 된다.
즉 높이는 반지름의 세 배이고, 이는 비 $h:r$가 $3:1$이라는 뜻이다.
이것이 선택지 (B)다.

$$h=3r \;\Longrightarrow\; h:r=3:1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 삼분의 일을 세 배로 되돌리면, 높이가 반지름 세 개만큼임이 드러난다.

[1] #4 6.EE.B.6 콘 입구의 지름이 공의 지름과 같으므로 둘은 같은 반지름을 갖는다. 그 반지름을 $r$, 콘의 높이를 $h$라 하자. 이제 문제가 건네준 두 부

[2] #7 7.RP.A.3 녹으면 얼었을 때 부피의 $75\%=\dfrac{3}{4}$만 남는다. 구의 부피에 $\dfrac{3}{4}$를 곱하자. $\dfrac{3}{4

[3] #7 8.G.C.9 "정확히 채운다"는 것은 녹은 액체와 콘이 같은 부피를 담는다는 뜻이다. 서로 같다고 놓자: $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\pi r

[4] #4 8.EE.C.7 $\dfrac{1}{3}h=r$의 양변에 $3$을 곱하면 $h=3r$이 된다. 즉 높이는 반지름의 세 배이고, 이는 비 $h:r$가 $3:1$이

검토

합리성 확인: 여기서 키 크고 홀쭉한 콘이 나오는 것은 자연스럽다. 둥근 스쿱은 통통한 모양인데 콘은 자기를 감싸는 상자(원기둥)의 $\dfrac{1}{3}$만 담으므로, 공의 부피를 맞추려면 높이가 더 필요하다. $h=3r$로 직접 숫자를 확인하자: 콘의 부피 $=\dfrac{1}{3}\pi r^2(3r)=\pi r^3$, 이는 정확히 녹은 부피 $\pi r^3$과 같다. 둘이 맞으니 $h:r=3:1$이 옳다. 빠른 범위 점검: 만약 $h$가 $r$뿐이라면(비 $1:1$) 콘은 $\dfrac{1}{3}\pi r^3$만 담아 턱없이 부족하다 — 따라서 비는 $1$보다 확실히 커야 하고, $3:1$이 딱 맞으며 거대한 $6:1$은 넘쳐 버린다.

대안 접근: 대수 대신 "콘 단위"로 생각할 수도 있다. 높이가 반지름 $r$와 같은 콘은 $\dfrac{1}{3}\pi r^3$을 담는다. 녹은 아이스크림은 $\pi r^3$으로, 그 기준 콘의 $3$배다. 콘의 부피는 (반지름을 고정하면) 높이에 정비례하므로, 부피를 세 배로 하려면 높이를 세 배로 해야 한다: $h=3r$. 따라서 $h:r=3:1$, 선택지 (B)다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (공통 반지름 $r$와 콘 높이 $h$에 이름을 붙이고, 각 부피를 그 문자들의 식으로 쓰기.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (얼어 있는 구 부피의 $75\%$를 취해 녹은 부피 $\pi r^3$을 얻기.)
8.G.C.9 Know the formulas for volumes of cones, cylinders, and spheres (구의 부피 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$와 콘의 부피 $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$를 사용하고, 콘을 녹은 양과 같다고 놓기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($\tfrac{1}{3}h=r$를 $h$에 대해 풀어 $h=3r$과 비 $3:1$을 얻기.)

⭐ 녹은 부피 하나가 다른 모양을 정확히 채워야 할 때는, 두 부피를 같다고 놓고 공통 부분을 약분하면 남는 것이 알고 싶던 길이를 알려 준다.