AMC 10 · 2009 · #22

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids

area-trianglesvolume-rectangular-prismsurface-areacoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 모서리의 길이가 $2$ 인치인 정육면체 모양의 케이크가 옆면과 윗면에 아이싱이 발려 있다. 이 케이크를 위에서 본 그림과 같이 수직으로 잘라 세 조각으로 나누는데, 여기서 $M$ 은 윗면 한 모서리의 중점이다. 윗면이 삼각형 $B$ 인 조각은 케이크 $c$ 세제곱인치와 아이싱 $s$ 제곱인치를 포함한다. $c+s$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{24}{5}$

(B)

$\frac{32}{5}$

(C)

$8+\sqrt5$

(D)

$5+\frac{16\sqrt5}{5}$

(E)

$10+5\sqrt5$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변이 2인치인 정육면체 케이크가 있고, 네 옆면과 윗면에만 아이싱이 발려 있습니다(바닥은 없음). 위에서 내려다보면 윗면은 2×2 정사각형입니다. 두 번의 수직 절단으로 케이크를 세 조각으로 나눕니다. 한 절단은 한 꼭짓점에서 반대편 변의 중점 M까지 이어지고, 다른 절단은 이웃한 꼭짓점에서 시작해 첫 번째 절단과 직각으로 만납니다. 위에서 본 모양이 삼각형 B인 조각은 부피가 c 세제곱인치, 아이싱이 s 제곱인치입니다. c + s를 구하세요.

주어진 것: 케이크는 한 변이 2인치인 정육면체입니다.; 아이싱은 네 옆면과 윗면에만 있습니다.; 위에서 본 모양은 2×2 정사각형이고, 한 절단은 꼭짓점에서 변의 중점 M까지 이어집니다.; 두 번째 절단은 이웃 꼭짓점에서 나와 첫 절단과 점 P에서 직각으로 만납니다.; 삼각형 B는 대상 조각의 윗면이며, 직각이 점 P에 있습니다.

구하는 것: c = 삼각형 B 아래 조각의 부피(세제곱인치); s = 그 조각의 아이싱 넓이(제곱인치); c + s

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #17 공간 상상하기

c + s라는 하나의 질문 안에는 여러 작은 일이 숨어 있습니다. 삼각형 B의 넓이를 구하고, 그것을 각기둥의 부피로 바꾸고, 아이싱이 있는 면만 골라 더하는 것입니다. 이렇게 작은 문제로 쪼갭니다. B의 넓이는 직각삼각형의 두 변이 필요하고, 이는 이름 붙인 그림과 피타고라스 정리로 얻습니다. 입체 조각을 상상하면 어떤 면에 아이싱이 있는지 알 수 있습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

위에서 본 모양 읽기

오른쪽 두 꼭짓점을 Q1(위), Q2(아래)라 하고, M을 왼쪽 변의 중점이라 합시다.
첫 절단은 선분 Q1-M입니다.
두 번째 절단은 Q2에서 나와 Q1-M과 점 P에서 수직으로 만납니다.
삼각형 B는 Q1-Q2-P이고, 직각은 P에 있습니다.
가장 긴 변은 정사각형의 오른쪽 변 전체 Q1-Q2로, 길이가 2입니다.

$$\triangle B = \triangle Q_1 Q_2 P,\quad \angle P = 90^\circ,\quad Q_1Q_2 = 2$$

💡 꼭짓점에 이름을 붙이면 그림이 변을 잴 수 있는 삼각형으로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

도움 삼각형의 넓이

삼각형 B의 변을 얻으려면 먼저 삼각형 Q1-Q2-M을 봅니다.
밑변 Q1-Q2는 오른쪽 변으로 길이 2이고, M은 그 변에서 왼쪽으로 2만큼 떨어져 있어 높이가 2입니다.
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반입니다.

$$[\triangle Q_1 Q_2 M] = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2 = 2$$

💡 밑변이 이미 아는 변이고 높이가 깔끔한 가로 거리이면 삼각형 넓이가 가장 쉽습니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

수직 변 구하기

선분 Q1-M은 꼭짓점에서 중점까지의 거리로, 가로 2, 세로 1이므로 피타고라스 정리로 그 길이는 루트 5입니다.
이제 같은 삼각형 Q1-Q2-M을 밑변 Q1-M으로 다시 봅니다.
그 밑변에 대한 높이가 바로 수직 절단 Q2-P입니다.
두 넓이 식을 같게 놓으면 Q2-P가 나옵니다.

$$Q_1M = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5};\quad \tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{5}\cdot Q_2P = 2 \;\Rightarrow\; Q_2P = \frac{4}{\sqrt5} = \frac{4\sqrt5}{5}$$

💡 같은 삼각형의 넓이는 하나이므로, 두 방법으로 재면 모르는 높이가 정해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

삼각형 B의 넓이

삼각형 B는 P에서 직각이고, 빗변 Q1-Q2 = 2이며 한 변 Q2-P는 이미 압니다.
다른 변 Q1-P는 피타고라스 정리로 나옵니다.
직각삼각형의 넓이는 두 변의 곱의 절반입니다.

$$Q_1P = \sqrt{2^2 - \left(\tfrac{4}{\sqrt5}\right)^2} = \sqrt{4 - \tfrac{16}{5}} = \sqrt{\tfrac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt5};\quad [\triangle B] = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt5}\cdot \frac{4}{\sqrt5} = \frac{4}{5}$$

💡 직각삼각형의 두 변을 알면 넓이는 그 곱의 절반일 뿐입니다.

#17 공간 상상하기 7.G.B.6 단계 5

조각의 부피

모든 절단이 수직이므로 조각은 각기둥입니다.
위에 삼각형 B, 아래에 같은 삼각형, 높이 2입니다.
부피는 밑넓이 곱하기 높이입니다.

$$c = [\triangle B]\cdot 2 = \frac{4}{5}\cdot 2 = \frac{8}{5}$$

💡 곧게 내려가는 수직 절단은 윗모양을 바닥까지 그대로 쌓으므로 부피는 넓이 곱하기 높이입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 6

아이싱 더해 마무리

아이싱은 원래 바깥면에만 있습니다.
윗면은 삼각형 B로 넓이 4/5입니다.
세 옆면 중 Q1-Q2만 정육면체의 바깥 벽이었고, 너비 2, 높이 2이므로 아이싱은 4입니다.
두 절단면은 새로 잘린 면이라 아이싱이 없습니다.
윗면과 옆면을 더하고 c를 더해 답을 얻습니다.
즉 s = 4/5 + 4 = 24/5이고, c + s = 8/5 + 24/5 = 32/5로, 보기 (B)입니다.

$$s = \frac{4}{5} + (2\cdot 2) = \frac{4}{5} + 4 = \frac{24}{5};\quad c + s = \frac{8}{5} + \frac{24}{5} = \frac{32}{5}$$

💡 자르지 않은 겉면만 아이싱을 그대로 간직합니다.

[1] #1 6.G.A.1 오른쪽 두 꼭짓점을 Q1(위), Q2(아래)라 하고, M을 왼쪽 변의 중점이라 합시다. 첫 절단은 선분 Q1-M입니다. 두 번째 절단은 Q2에서

[2] #7 6.G.A.1 삼각형 B의 변을 얻으려면 먼저 삼각형 Q1-Q2-M을 봅니다. 밑변 Q1-Q2는 오른쪽 변으로 길이 2이고, M은 그 변에서 왼쪽으로 2만큼

[3] #4 8.G.B.7 선분 Q1-M은 꼭짓점에서 중점까지의 거리로, 가로 2, 세로 1이므로 피타고라스 정리로 그 길이는 루트 5입니다. 이제 같은 삼각형 Q1-Q2

[4] #7 8.G.B.7 삼각형 B는 P에서 직각이고, 빗변 Q1-Q2 = 2이며 한 변 Q2-P는 이미 압니다. 다른 변 Q1-P는 피타고라스 정리로 나옵니다. 직각삼

[5] #17 7.G.B.6 모든 절단이 수직이므로 조각은 각기둥입니다. 위에 삼각형 B, 아래에 같은 삼각형, 높이 2입니다. 부피는 밑넓이 곱하기 높이입니다.

[6] #7 7.G.B.6 아이싱은 원래 바깥면에만 있습니다. 윗면은 삼각형 B로 넓이 4/5입니다. 세 옆면 중 Q1-Q2만 정육면체의 바깥 벽이었고, 너비 2, 높이

검토

합리성 확인: 답 32/5 = 6.4는 크지 않은데, 이는 전체 부피가 8이고 아이싱 겉넓이가 20인 정육면체의 작은 쐐기 조각에 잘 맞습니다. 부피 8/5 = 1.6은 전체 8보다 한참 작고, 아이싱 24/5 = 4.8은 전체 아이싱 20제곱인치의 작은 일부입니다. 계산 안의 지저분한 제곱근이 서로 지워져 깔끔한 분수가 남고, 이는 보기와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 정사각형 꼭짓점을 (\pm 1, \pm 1)에, M을 (-1,0)에 두는 좌표를 잡습니다. (1,-1)에서 (1,1)과 (-1,0)을 지나는 직선에 내린 수선의 발을 구하면 P = (1/5, 3/5)입니다. 두 변은 2/\sqrt5와 4/\sqrt5로, 넓이 4/5가 바로 나오고, 같은 부피와 아이싱 계산으로 32/5를 다시 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변과 높이로 삼각형 B와 도움 삼각형의 넓이를 계산.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (대각 절단 길이와 직각삼각형 B의 두 변을 구함.)
7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (삼각형 B를 각기둥 부피로 바꾸고 아이싱이 있는 윗면과 옆면 넓이를 합산.)

⭐ 어려운 질문을 조각내세요. 작은 삼각형의 넓이를 구하고, 그것을 쌓아 각기둥 부피로 만들고, 자르지 않은 겉면에만 아이싱을 더하면 됩니다.