AMC 10 · 2009 · #22

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids

area-trianglesvolume-rectangular-prismsurface-areacoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 모서리가 2인치인 정육면체 케이크에 네 옆면과 윗면에만 아이싱이 발려 있습니다(바닥은 없음). 위에서 내려다보면 윗면은 2×2 정사각형이고, M은 왼쪽 변의 중점입니다. 두 번의 수직 절단으로 케이크를 세 조각으로 나눕니다. 한 절단은 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점에서 M까지 이어지고, 다른 절단은 오른쪽 아래 꼭짓점에서 출발해 첫 절단과 직각으로 만납니다. 오른쪽 변 전체를 그대로 가진 조각의 윗면이 삼각형 B이고, 이 조각은 케이크 c 세제곱인치와 아이싱 s 제곱인치를 담고 있습니다. c + s는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{24}{5}$

(B)

$\frac{32}{5}$

(C)

$8+\sqrt5$

(D)

$5+\frac{16\sqrt5}{5}$

(E)

$10+5\sqrt5$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

c + s라는 하나의 질문 안에는 여러 작은 일이 숨어 있습니다. 삼각형 B의 넓이를 구하고, 그것을 각기둥의 부피로 바꾸고, 아이싱이 있는 면만 골라 더하는 것입니다. 이렇게 작은 문제로 쪼갭니다. B의 넓이는 직각삼각형의 두 변이 필요하고, 이는 이름 붙인 그림과 피타고라스 정리로 얻습니다. 입체 조각을 상상하면 어떤 면에 아이싱이 있는지 알 수 있습니다.

1STEP 1

위에서 본 모양 읽기

오른쪽 두 꼭짓점 Q1, Q2와 절단이 만나는 점 P로 삼각형 B가 생기고, P가 직각, 빗변 Q1-Q2는 2입니다.

△ B = △ Q₁ Q₂ P, ∠ P = 90°, Q₁Q₂ = 2

2STEP 2

도움 삼각형의 넓이

먼저 삼각형 Q1-Q2-M을 봅니다. 밑변 Q1-Q2가 2이고 M까지의 높이도 2이므로 넓이는 2입니다.

[△ Q₁ Q₂ M] = 1/2 · 2 · 2 = 2

3STEP 3

수직 변 구하기

피타고라스로 Q1-M = √5입니다. 같은 넓이 2를 Q1-M을 밑변으로 다시 재면 수직 절단은 Q2P = 4√5/5입니다.

Q₁M = √(2² + 1²) = √(5); 1/2 · √(5) · Q₂P = 2 → Q₂P = 4/√5 = 4√5/5

4STEP 4

삼각형 B의 넓이

피타고라스로 나머지 변 Q1P = 2√5/5이므로, 넓이는 1/2 · 2√5/5 · 4√5/5 = 4/5입니다.

Q₁P = √(2² - (4/√5)²) = √(4 - 16/5) = √(4/5) = 2/√5; [△ B] = 1/2 · 2/√5 · 4/√5 = 4/5

5STEP 5

조각의 부피

수직 절단이므로 조각은 삼각형 B를 밑면으로 하는 높이 2인 각기둥이고, c = 4/5 × 2 = 8/5입니다.

c = [△ B] · 2 = 4/5 · 2 = 8/5

6STEP 6

아이싱 더해 마무리

아이싱은 윗면(4/5)과 바깥 벽 Q1-Q2(2 × 2 = 4)뿐이므로 s = 24/5이고, c + s = 32/5, 보기 (B)입니다.

s = 4/5 + (2 · 2) = 4/5 + 4 = 24/5; c + s = 8/5 + 24/5 = 32/5

정답

32/5

답 32/5 = 6.4는 크지 않은데, 이는 전체 부피가 8이고 아이싱 겉넓이가 20인 정육면체의 작은 쐐기 조각에 잘 맞습니다. 부피 8/5 = 1.6은 전체 8보다 한참 작고, 아이싱 24/5 = 4.8은 전체 아이싱 20제곱인치의 작은 일부입니다. 계산 안의 지저분한 제곱근이 서로 지워져 깔끔한 분수가 남고, 이는 보기와 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

어려운 질문을 조각내세요. 작은 삼각형의 넓이를 구하고, 그것을 쌓아 각기둥 부피로 만들고, 자르지 않은 겉면에만 아이싱을 더하면 됩니다.

위에서 본 모양 읽기
도움 삼각형의 넓이
수직 변 구하기
삼각형 B의 넓이
조각의 부피
아이싱 더해 마무리