AMC 10 · 2011 · #24
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 순전히 3차원 그림 문제이므로, 핵심은 정육면체 안에 놓인 두 정사면체와 그 겹치는 부분을 머릿속으로 그려 보는 것이다. 정육면체를 좌표 위에 놓으면 모든 꼭짓점이 정해진다. 겹치는 영역이 정육면체 각 면의 중심을 정점으로 하는 정팔면체라는 것을 알아채는 것이 핵심이고, 그다음 그 팔면체를 두 개의 단순한 사각뿔로 쪼개면 부피 계산은 더 쉬운 작은 문제가 된다.
번갈아 놓인 꼭짓점으로 두 정사면체 고르기
여덟 꼭짓점을 좌표합의 짝수·홀수로 나누면, 짝수 넷이 한 정사면체를, 홀수 넷이 다른 정사면체를 이룬다.
정육면체의 꼭짓점을 번갈아 고르는 것이 서로 같은 거리인 네 점을 얻는 유일한 방법이고, 정사면체는 바로 그것을 필요로 한다.
5.G.A.2Visualize Spatial Relationships각 모서리는 길이 루트 2인 면 대각선
한 정사면체의 두 꼭짓점은 좌표가 두 개만 다르므로, 여섯 모서리 모두 길이 루트 2인 면 대각선이다.
입체의 모서리가 모두 같다면 전부 같은 종류의 선분이어야 하고, 여기서는 모두 면 대각선이다.
8.G.B.7Draw A Diagram겹치는 부분을 면 중심들의 정팔면체로 보기
각 면에서 두 정사면체의 모서리가 면 중심에서 만나므로, 겹친 영역은 여섯 면 중심을 꼭짓점으로 하는 정팔면체다.
모든 면의 두 대각선은 그 면의 중심에서 만나므로, 그 중심들이 겹치는 영역의 자연스러운 꼭짓점이 된다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships정팔면체 한가운데를 지나는 정사각형 찾기
높이 절반에서 자르면 옆면 중심 넷이 대각선 길이 1인 정사각형을 이루므로, 넓이는 2분의 1이다.
정팔면체의 두 긴 대각선은 정육면체의 모서리 길이 그대로 한가운데를 가로지르므로 각각 길이 1이다.
공유된 입체의 긴 두 대각선은 그 한가운데를 가로지르는 정육면체의 온전한 모서리다.
▸ 왜?
선분을 정육면체의 모서리에서 한가운데로 옮겨도 늘어나지 않는다.
▸ 왜?
그 정사각형에서 입체를 가르면 뿔 둘이 되며, 각각 같은 밑면의 상자의 3분의 1이다.
두 사각뿔을 더하기
그 정사각형이 높이 2분의 1인 사각뿔 두 개로 나누고 각각 12분의 1이므로, 겹친 부피는 1/6, 답은 (D)다.
정팔면체를 가장 넓은 정사각형에서 쪼개면 크기를 쉽게 계산할 수 있는 두 사각뿔이 된다.
7.G.B.6Identify Subproblems정육면체를 공유하는 두 정사면체는 면 중심을 꼭짓점으로 하는 정팔면체에서 겹치고, 그것을 두 사각뿔로 쪼개면 부피는 6분의 1이다.
- 번갈아 놓인 꼭짓점으로 두 정사면체 고르기
- 각 모서리는 길이 루트 2인 면 대각선
- 겹치는 부분을 면 중심들의 정팔면체로 보기
- 정팔면체 한가운데를 지나는 정사각형 찾기
- 두 사각뿔을 더하기
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