AMC 10 · 2006 · #24
학년 8 geometry-3d단위 정육면체의 이웃한 면들의 중심을 이어 정팔면체를 만든다. 이 정팔면체의 부피는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 모서리의 길이가 $1$인 정육면체의 여섯 면 각각의 중심에 점을 찍습니다. 모서리를 공유하는(이웃한) 면들의 중심을 이으면 정육면체 안에 정팔면체가 만들어집니다. 이 정팔면체의 부피를 구합니다.
주어진 것: 정육면체는 단위 정육면체입니다(모든 모서리의 길이가 $1$); 정팔면체의 꼭짓점 $6$개는 정육면체의 여섯 면의 중심입니다; 정팔면체의 모서리는 이웃한(모서리를 공유하는) 면들의 중심을 잇고, 그 결과는 정팔면체입니다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
구하는 것: 정팔면체의 부피
이해
문제 재정리: 한 모서리의 길이가 $1$인 정육면체의 여섯 면 각각의 중심에 점을 찍습니다. 모서리를 공유하는(이웃한) 면들의 중심을 이으면 정육면체 안에 정팔면체가 만들어집니다. 이 정팔면체의 부피를 구합니다.
주어진 것: 정육면체는 단위 정육면체입니다(모든 모서리의 길이가 $1$); 정팔면체의 꼭짓점 $6$개는 정육면체의 여섯 면의 중심입니다; 정팔면체의 모서리는 이웃한(모서리를 공유하는) 면들의 중심을 잇고, 그 결과는 정팔면체입니다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기, #8 단위 살펴보기
정팔면체 전체의 부피를 바로 주는 공식은 어린 해결사의 도구 상자에 없으므로, 이기는 수는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 정팔면체를 가운데에서 잘라 합동인 두 개의 사각뿔로 나누면, 각 사각뿔은 간단한 부피 공식을 가집니다. 깔끔하게 자르려면 먼저 여섯 면의 중심이 어디에 놓이는지 보아야 하는데, 이것이 도구 #17(공간 상상하기)입니다 — 정육면체를 좌표 상자에 놓으면 중심들이 축 위에 딱 맞아떨어집니다. 도구 #1(그림 그리기)은 평평한 '적도' 정사각형을 따로 떼어 그 넓이를 쉽게 읽게 하고, 도구 #8(단위 살펴보기)은 밑넓이와 높이를 사각뿔 부피 공식에 조합하고 두 배로 만듭니다. 이 문제는 사실상 한 번 보는 것과 한 번 쪼개는 것이며, 무거운 계산은 필요 없습니다.
실행 — 정답: B
8.G.B.8 단계 1 정육면체를 좌표에 놓기
- 단위 정육면체를 원점에 중심을 두면, 각 축을 따라 $-\tfrac12$부터 $\tfrac12$까지 놓입니다.
- 그러면 각 면의 중심은 한 축 위에 놓입니다: 면 $x=\pm\tfrac12$의 중심은 $(\pm\tfrac12,0,0)$, 면 $y=\pm\tfrac12$의 중심은 $(0,\pm\tfrac12,0)$, 면 $z=\pm\tfrac12$의 중심은 $(0,0,\pm\tfrac12)$입니다.
- 이 여섯 점이 정팔면체의 꼭짓점입니다.
- 이 중 네 점 $(\pm\tfrac12,0,0)$과 $(0,\pm\tfrac12,0)$은 모두 평면 $z=0$ 위에 놓이고, 나머지 두 점 $(0,0,\pm\tfrac12)$은 그 평면의 위와 아래로 튀어나옵니다.
💡 정육면체를 원점에 중심을 맞추면 각 면의 중심이 축 위에 깔끔히 놓여, 도형이 한눈에 읽힙니다.
7.G.B.6 단계 2 두 개의 사각뿔로 쪼개기
- 평면 $z=0$ 위의 네 꼭짓점은 정사각형을 이룹니다 — 이를 정팔면체의 적도라고 부릅시다.
- 나머지 두 꼭짓점 $(0,0,\tfrac12)$과 $(0,0,-\tfrac12)$은 그 정사각형의 위와 아래에 있는 꼭대기 점입니다.
- 그래서 정팔면체 전체는 바로 이 적도 정사각형을 밑면으로 맞붙인 두 개의 사각뿔입니다: 꼭대기 점이 $(0,0,\tfrac12)$인 위쪽 사각뿔과 꼭대기 점이 $(0,0,-\tfrac12)$인 아래쪽 사각뿔입니다.
- 둘은 거울상이라 부피가 같으므로, 사각뿔 하나의 부피만 구해 두 배로 하면 됩니다.
💡 바로 잴 수 없는 도형은 잴 수 있는 도형 두 개로 쪼개지는 경우가 많습니다.
6.G.A.1 단계 3 적도 정사각형의 넓이
- 적도 정사각형의 꼭짓점은 $(\tfrac12,0,0)$, $(0,\tfrac12,0)$, $(-\tfrac12,0,0)$, $(0,-\tfrac12,0)$입니다.
- 두 대각선은 축을 따라 놓입니다: $(\tfrac12,0,0)$에서 $(-\tfrac12,0,0)$까지는 길이 $1$이고, $(0,\tfrac12,0)$에서 $(0,-\tfrac12,0)$까지도 길이 $1$입니다.
- (이 대각선들은 정육면체의 마주 보는 면의 중심을 잇는데, 그 두 면은 모서리 하나만큼 떨어져 있으므로 각 대각선은 $1$입니다.) 서로 수직인 길이 $d$의 대각선을 가진 정사각형은 네 개의 직각삼각형으로 나뉘어 넓이가 $\tfrac{d^2}{2}$이므로, 밑넓이는 $\tfrac{1^2}{2}=\tfrac12$입니다.
💡 정사각형이 기울어져 대각선이 평평하게 놓이면, 대각선 곱의 절반이 넓이를 구하는 가장 깔끔한 길입니다.
8.G.B.8 단계 4 사각뿔 하나의 높이
- 적도 정사각형은 평면 $z=0$ 위에 있습니다.
- 위쪽 꼭대기 점은 $(0,0,\tfrac12)$이므로, 그 평면 위로의 높이는 바로 그 $z$-좌표인 $\tfrac12$입니다.
- 이 수직 거리가 사각뿔의 높이입니다: $h=\tfrac12$.
- (이것은 정확히 정육면체 높이의 절반인데, 꼭대기 점은 윗면의 중심이고 적도는 정육면체의 한가운데를 지나므로 당연합니다.)
💡 꼭대기 점은 한 면의 중심이고 밑면은 정육면체의 중간선에 놓이므로, 그 사이 거리는 정육면체의 절반입니다.
8.G.C.9 단계 5 정팔면체의 부피
- 사각뿔의 부피는 $\tfrac13 \times$ (밑넓이) $\times$ (높이)이므로, 사각뿔 하나는 $\tfrac13 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac{1}{12}$입니다.
- 정팔면체는 이것 두 개이므로 부피는 $2 \cdot \tfrac{1}{12} = \tfrac16$입니다.
- 이것이 선택지 $\textbf{(B)}$입니다.
💡 밑넓이 곱하기 높이의 삼분의 일이 사각뿔이고, 사각뿔 두 개가 이 다이아몬드 전체입니다.
8.G.B.8 단위 정육면체를 원점에 중심을 두면, 각 축을 따라 $-\tfrac12$부터 $\tfrac12$까지 놓입니다. 그러면 각 면의 중심은 한 축 위 7.G.B.6 평면 $z=0$ 위의 네 꼭짓점은 정사각형을 이룹니다 — 이를 정팔면체의 적도라고 부릅시다. 나머지 두 꼭짓점 $(0,0,\tfrac12)$과 6.G.A.1 적도 정사각형의 꼭짓점은 $(\tfrac12,0,0)$, $(0,\tfrac12,0)$, $(-\tfrac12,0,0)$, $(0,-\tfrac 8.G.B.8 적도 정사각형은 평면 $z=0$ 위에 있습니다. 위쪽 꼭대기 점은 $(0,0,\tfrac12)$이므로, 그 평면 위로의 높이는 바로 그 $z$- 8.G.C.9 사각뿔의 부피는 $\tfrac13 \times$ (밑넓이) $\times$ (높이)이므로, 사각뿔 하나는 $\tfrac13 \cdot \tfra 검토
합리성 확인: 정팔면체는 부피가 $1$인 단위 정육면체 안에 온전히 들어 있고, 그 정육면체의 적당한 안쪽만 채우는 것이 분명하므로, 부피 $\tfrac16 \approx 0.17$은 알맞은 크기 규모입니다 — 작지만 아주 작지는 않습니다. 정팔면체라는 것을 빠르게 확인해 보면: 꼭대기 점에서 적도 꼭짓점까지의 모서리($(0,0,\tfrac12)$에서 $(\tfrac12,0,0)$)든, 적도 꼭짓점 두 개 사이의 모서리($(\tfrac12,0,0)$에서 $(0,\tfrac12,0)$)든, 모든 모서리의 길이는 $\sqrt{(\tfrac12)^2+(\tfrac12)^2}=\tfrac{1}{\sqrt2}$이므로 $12$개 모서리가 모두 같고, 이 입체는 정말로 정팔면체입니다. 함정 선택지들은 사각뿔의 $\tfrac13$ 배수를 빠뜨린 데서 나옵니다: 두 사각뿔에 대해 밑넓이 $\times$ 높이를 하면 $2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac12$로 $\textbf{(E)}$이고, 하나에 대해서만 하면 $\tfrac14$로 $\textbf{(C)}$입니다.
대안 접근: 쪼개기를 건너뛰고 정팔면체 공식 $V=\tfrac{\sqrt2}{3}\,a^3$을 써도 됩니다. 여기서 $a$는 모서리 길이입니다. $a=\tfrac{1}{\sqrt2}$이므로 $a^3=\tfrac{1}{2\sqrt2}$이고 $V=\tfrac{\sqrt2}{3}\cdot\tfrac{1}{2\sqrt2}=\tfrac{1}{6}$입니다. 같은 답이므로 강력한 교차 확인이 됩니다. 세 번째 방법: 정팔면체는 $|x|+|y|+|z|\le\tfrac12$인 점들의 집합이고, 그 입체의 부피 역시 $\tfrac43(\tfrac12)^3=\tfrac16$입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.B.8Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (정육면체를 좌표에 놓아 면의 중심들이 축 위에 놓이게 하고, 사각뿔의 높이를 꼭대기 점과 밑면 평면 사이 거리로 읽는 데 사용.)7.G.B.6Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (정팔면체를 합동인 두 사각뿔로 쪼개어 그 부피가 사각뿔 하나 부피의 두 배가 되게 하는 데 사용.)6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑면 정사각형의 넓이를 대각선 곱의 절반 $\tfrac{d^2}{2}=\tfrac12$로 구하는 데 사용.)8.G.C.9Know the formulas for volumes of cones, cylinders, and spheres (밑넓이 곱하기 높이의 삼분의 일이라는 부피 규칙(원뿔 공식의 사각뿔 판)을 적용하고 두 사각뿔에 대해 두 배로 하는 데 사용.)
⭐ 정육면체를 좌표에 올려 면의 중심들이 축 위에 놓이게 하고, 정팔면체를 밑넓이 $\tfrac12$, 높이 $\tfrac12$인 사각뿔 두 개로 잘라 더하세요: $2\cdot\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac16$.
⭐ 정육면체를 좌표에 올려 면의 중심들이 축 위에 놓이게 하고, 정팔면체를 밑넓이 $\tfrac12$, 높이 $\tfrac12$인 사각뿔 두 개로 잘라 더하세요: $2\cdot\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac16$.
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