AMC 10 · 2006 · #24

학년 8 geometry-3d
유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids
spatial-visualizationpythagorean-theoremformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: spatial-visualizationpythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 모서리의 길이가 1인 정육면체의 여섯 면 각각의 중심에 점을 찍습니다. 모서리를 공유하는(이웃한) 면들의 중심을 이으면 정육면체 안에 정팔면체가 만들어집니다. 이 정팔면체의 부피를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{8}$
(B)
$\frac{1}{6}$
(C)
$\frac{1}{4}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
$\frac{1}{2}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

정팔면체 전체의 부피를 바로 주는 공식은 어린 해결사의 도구 상자에 없으므로, 이기는 수는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 정팔면체를 가운데에서 잘라 합동인 두 개의 사각뿔로 나누면, 각 사각뿔은 간단한 부피 공식을 가집니다. 깔끔하게 자르려면 먼저 여섯 면의 중심이 어디에 놓이는지 보아야 하는데, 이것이 도구 #17(공간 상상하기)입니다 — 정육면체를 좌표 상자에 놓으면 중심들이 축 위에 딱 맞아떨어집니다. 도구 #1(그림 그리기)은 평평한 '적도' 정사각형을 따로 떼어 그 넓이를 쉽게 읽게 하고, 도구 #8(단위 살펴보기)은 밑넓이와 높이를 사각뿔 부피 공식에 조합하고 두 배로 만듭니다. 이 문제는 사실상 한 번 보는 것과 한 번 쪼개는 것이며, 무거운 계산은 필요 없습니다.

1STEP 1

정육면체를 좌표에 놓기

정육면체를 원점 중심에 놓으면 여섯 면의 중심이 축 위 (±1/2,0,0), (0,±1/2,0), (0,0,±1/2)에 놓입니다.

꼭짓점: (±1/2,0,0), (0,±1/2,0), (0,0,±1/2)
2STEP 2

두 개의 사각뿔로 쪼개기

그중 네 점은 평면 z=0 위의 정사각형(적도)을 이루고 나머지 둘은 꼭대기이므로, 정팔면체는 합동인 사각뿔 두 개입니다.

V_정팔면체 = 2 × V_사각뿔
3STEP 3

적도 정사각형의 넓이

그 정사각형의 두 대각선은 마주 보는 면의 중심을 이으므로 각각 1이고, 넓이 d²/2에서 밑넓이는 B = 1/2입니다.

B = d²/2 = 1²/2 = 1/2
4STEP 4

사각뿔 하나의 높이

밑면은 평면 z=0에, 꼭대기 점은 (0,0,1/2)에 있으므로 사각뿔 하나의 높이는 h = 1/2입니다.

h = 1/2
5STEP 5

정팔면체의 부피

사각뿔 하나는 1/3 · 1/2 · 1/2 = 1/12이고, 정팔면체는 그 두 배이므로 1/6, 곧 선택지 (B)입니다.

V = 2(1/3 · 1/2 · 1/2) = 2 · 1/12 = 1/6
정답
1/6
정팔면체는 부피가 1인 단위 정육면체 안에 온전히 들어 있고, 그 정육면체의 적당한 안쪽만 채우는 것이 분명하므로, 부피 1/6 ≈ 0.17은 알맞은 크기 규모입니다 — 작지만 아주 작지는 않습니다. 정팔면체라는 것을 빠르게 확인해 보면: 꼭대기 점에서 적도 꼭짓점까지의 모서리((0,0,1/2)에서 (1/2,0,0))든, 적도 꼭짓점 두 개 사이의 모서리((1/2,0,0)에서 (0,1/2,0))든, 모든 모서리의 길이는 √((1/2)²+(1/2)²)=1/√2이므로 12개 모서리가 모두 같고, 이 입체는 정말로 정팔면체입니다. 함정 선택지들은 사각뿔의 1/3 배수를 빠뜨린 데서 나옵니다: 두 사각뿔에 대해 밑넓이 × 높이를 하면 2·1/2·1/2=1/2로 (E)이고, 하나에 대해서만 하면 1/4로 (C)입니다.
💡핵심 정리

정육면체를 좌표에 올려 면의 중심들이 축 위에 놓이게 하고, 정팔면체를 밑넓이 1/2, 높이 1/2인 사각뿔 두 개로 잘라 더하세요: 2·1/3·1/2·1/2=1/6.

  • 정육면체를 좌표에 놓기
  • 두 개의 사각뿔로 쪼개기
  • 적도 정사각형의 넓이
  • 사각뿔 하나의 높이
  • 정팔면체의 부피

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