AMC 10 · 2003 · #19
학년 8 geometry-2d반지름이 2인 반원의 지름 AB 위에 반지름이 1인 반원 세 개가 세워져 있다. 작은 반원들의 중심은 AB를 길이가 같은 네 개의 선분으로 나눈다(그림 참조). 큰 반원 안에 있으면서 작은 반원들 밖에 있는 색칠된 영역의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반지름이 $2$인 큰 반원이 지름 $\overline{AB}$ 위에 놓여 있다. 같은 지름 위에 반지름 $1$인 작은 반원 세 개가 평평한 변을 $\overline{AB}$에 대고 세워져 있으며, 세 중심이 $\overline{AB}$를 길이가 같은 네 조각으로 나눈다. 큰 반원 안에 있으면서 세 작은 반원 밖에 있는 부분(색칠된 부분)의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 큰 반원의 반지름은 $2$, 지름 $\overline{AB}$의 길이는 $4$이다; 작은 반원 세 개는 각각 반지름 $1$이고 같은 지름 위에 놓여 있다; 세 작은 중심이 $\overline{AB}$를 길이 $1$짜리 네 조각으로 똑같이 나눈다; 색칠된 부분 = 큰 반원 안 이면서 모든 작은 반원 밖; 선택지: (A) $\pi-\sqrt3$, (B) $\pi-\sqrt2$, (C) $\frac{\pi+\sqrt2}{2}$, (D) $\frac{\pi+\sqrt3}{2}$, (E) $\frac{7}{6}\pi-\frac{\sqrt3}{2}$
구하는 것: 색칠된 영역의 넓이
이해
문제 재정리: 반지름이 $2$인 큰 반원이 지름 $\overline{AB}$ 위에 놓여 있다. 같은 지름 위에 반지름 $1$인 작은 반원 세 개가 평평한 변을 $\overline{AB}$에 대고 세워져 있으며, 세 중심이 $\overline{AB}$를 길이가 같은 네 조각으로 나눈다. 큰 반원 안에 있으면서 세 작은 반원 밖에 있는 부분(색칠된 부분)의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 큰 반원의 반지름은 $2$, 지름 $\overline{AB}$의 길이는 $4$이다; 작은 반원 세 개는 각각 반지름 $1$이고 같은 지름 위에 놓여 있다; 세 작은 중심이 $\overline{AB}$를 길이 $1$짜리 네 조각으로 똑같이 나눈다; 색칠된 부분 = 큰 반원 안 이면서 모든 작은 반원 밖; 선택지: (A) $\pi-\sqrt3$, (B) $\pi-\sqrt2$, (C) $\frac{\pi+\sqrt2}{2}$, (D) $\frac{\pi+\sqrt3}{2}$, (E) $\frac{7}{6}\pi-\frac{\sqrt3}{2}$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기
색칠된 조각은 네 개의 호로 이루어진 울퉁불퉁한 경계를 가져서 곧바로 재기가 까다롭다. 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)은 문제를 뒤집는다. 색칠된 넓이는 큰 반원 전체에서 작은 반원들이 덮는 흰색 영역을 뺀 것일 뿐이며, 둘 다 다루기 쉬운 둥근 도형이다. 흰색 넓이를 구하려면 겹침을 처리해야 하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 덮인 영역을 반원에서 공통 렌즈를 뺀 것으로, 각 렌즈를 삼각형과 두 활꼴로 쪼갠다. 도구 #1(그림 그리기)로 $\overline{AB}$ 위에 좌표를 두면 실제로 어느 반원끼리 겹치는지 추적할 수 있다.
실행 — 정답: E
7.G.B.4 단계 1 좌표와 기본 넓이 두 개 설정
- 원점을 $\overline{AB}$의 중점에 두면 $A=(-2,0)$, $B=(2,0)$이다.
- 큰 반원의 반지름은 $2$이므로 넓이는 $\pi r^2$의 절반인 $\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$이다.
- 세 작은 중심은 $(-1,0)$, $(0,0)$, $(1,0)$에 있고, 각각 반지름 $1$인 반원으로 넓이는 $\tfrac12\pi(1)^2=\tfrac{\pi}{2}$이다.
💡 반원은 원의 절반이므로 넓이는 $\pi r^2$의 절반이다.
7.G.B.6 단계 2 색칠된 넓이를 뺄셈으로 다시 쓰기
- 작은 반원은 모두 큰 반원 안에 들어가므로, 흰색(색칠 안 된) 부분은 정확히 세 작은 반원이 함께 덮는 영역이다.
- 따라서 색칠된 넓이는 큰 반원에서 흰색 영역을 뺀 것이다: $\text{색칠}=2\pi-\text{흰색}$.
- 이제 실제로 할 일은 흰색 영역을 재는 것뿐이다.
💡 구불구불한 가장자리를 직접 좇는 것보다, 전체에서 둥근 흰색 부분을 덜어내는 편이 쉽다.
7.G.B.6 단계 3 어느 작은 반원이 겹치는지 살피기
- 세 넓이를 더하면 $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}$인데, 두 반원이 같은 곳을 덮는 부분은 두 번 세어진다.
- 바깥 두 반원의 중심은 $(-1,0)$과 $(1,0)$으로 거리가 $2$이고 이는 두 반지름의 합이므로, 원점에서 닿기만 할 뿐 넓이를 공유하지 않는다.
- 가운데 반원은 각 바깥 반원과 거리 $1$($1+1=2>1$)이므로 각 이웃과 렌즈 모양으로 겹친다.
- 따라서 $\text{흰색}=\tfrac{3\pi}{2}-(\text{같은 렌즈 두 개})$이다.
💡 도형이 겹치면 공통 부분이 두 번 세어지므로, 각 겹침을 한 번씩 빼 준다.
8.G.B.7 단계 4 겹침 렌즈 하나 재기
- 가운데 반원(중심 $O=(0,0)$)과 오른쪽 반원(중심 $C=(1,0)$)을 보자.
- 둘 다 반지름이 $1$이고 중심 사이 거리는 $1$이다.
- 두 원은 $P=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$에서 만난다: 높이 $\tfrac{\sqrt3}{2}$는 두 변이 $\tfrac12$과 $h$, 빗변이 $1$인 직각삼각형에서 $h=\sqrt{1^2-(\tfrac12)^2}=\tfrac{\sqrt3}{2}$로 나온다.
- 삼각형 $OCP$는 세 변이 모두 $1$이므로 정삼각형이고 각은 $60^\circ$, 넓이는 $\tfrac{\sqrt3}{4}$이다.
- 겹침은 그 삼각형에 두 활꼴을 더한 것이며, 각 활꼴은 $60^\circ$ 부채꼴에서 삼각형 하나를 뺀 것이다: $\tfrac{60}{360}\pi(1)^2-\tfrac{\sqrt3}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$.
- 따라서 $L=\tfrac{\sqrt3}{4}+2\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sqrt3}{4}$이다.
💡 중심이 $1$ 떨어진 반지름 $1$짜리 두 원은 정삼각형을 이루어 모든 각을 $60^\circ$로 못 박는다.
7.G.B.6 단계 5 흰색 영역 합하기
- 세 배 한 반원에서 두 렌즈를 뺀다: $\text{흰색}=\tfrac{3\pi}{2}-2\left(\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{2\pi}{3}+\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- $\pi$ 항을 분모 $6$으로 통분하면 $\tfrac{9\pi}{6}-\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$이다.
- 따라서 $\text{흰색}=\tfrac{5\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{2}$이다.
💡 각 겹침을 정확히 한 번씩 덜어내면 남는 것이 반원들이 실제로 덮는 넓이다.
7.G.B.6 단계 6 빼서 색칠된 넓이 구하기
- 흰색 영역을 $\text{색칠}=2\pi-\text{흰색}$에 다시 넣는다: $\text{색칠}=2\pi-\left(\tfrac{5\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$.
- $2\pi=\tfrac{12\pi}{6}$이므로 $\tfrac{12\pi}{6}-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{7\pi}{6}$이 되어 $\text{색칠}=\tfrac{7\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{2}$이다.
- 이는 선택지 (E)와 일치한다.
💡 색칠된 넓이는 큰 반원에서 흰색 덮개를 걷어낸 뒤 남는 것이다.
7.G.B.4 원점을 $\overline{AB}$의 중점에 두면 $A=(-2,0)$, $B=(2,0)$이다. 큰 반원의 반지름은 $2$이므로 넓이는 $\pi 7.G.B.6 작은 반원은 모두 큰 반원 안에 들어가므로, 흰색(색칠 안 된) 부분은 정확히 세 작은 반원이 함께 덮는 영역이다. 따라서 색칠된 넓이는 큰 반 7.G.B.6 세 넓이를 더하면 $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}$인데, 두 반원 8.G.B.7 가운데 반원(중심 $O=(0,0)$)과 오른쪽 반원(중심 $C=(1,0)$)을 보자. 둘 다 반지름이 $1$이고 중심 사이 거리는 $1$이다. 7.G.B.6 세 배 한 반원에서 두 렌즈를 뺀다: $\text{흰색}=\tfrac{3\pi}{2}-2\left(\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sq 7.G.B.6 흰색 영역을 $\text{색칠}=2\pi-\text{흰색}$에 다시 넣는다: $\text{색칠}=2\pi-\left(\tfrac{5\pi}{6} 검토
합리성 확인: 수치로 $\tfrac{7}{6}\pi-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx 3.665-0.866=2.80$이다. 이는 큰 반원 전체 $2\pi\approx 6.28$보다 확실히 작고 양수이므로, 실제 넓이로서 타당하다. 흰색 덮개는 약 $\tfrac{5\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{2}\approx 2.618+0.866=3.48$이고, $6.28-3.48=2.80$으로 맞아떨어진다. 선택지 (A), (B)에는 $\tfrac{1}{6}\pi$ 항이 없고 (C), (D)는 $\sqrt{\ }$를 빼지 않고 더하므로, 계산이 요구하는 $\tfrac{7}{6}\pi$와 $-\tfrac{\sqrt3}{2}$를 모두 담을 수 있는 것은 (E)뿐이다.
대안 접근: 겹침을 빼는 대신, 참고 풀이처럼 흰색 영역을 그 자체의 조각들로 쌓아 올릴 수도 있다. 두 교점으로 그은 네 반지름이 덮인 영역을 반지름 $1$짜리 원의 $120^\circ$ 부채꼴(가운데 부채꼴)과 정삼각형 두 개, 그리고 바깥 반원 덮개로 나누며, 조심스럽게 맞추면 같은 $\tfrac{5\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{2}$이 나온다. 어느 쪽이든 $\text{색칠}=2\pi-\big(\tfrac{5\pi}{6}+\tfrac{\sqrt3}{2}\big)=\tfrac{7}{6}\pi-\tfrac{\sqrt3}{2}$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.4Know the formulas for area and circumference of a circle (각 반원의 넓이를 $\pi r^2$의 절반으로, $60^\circ$ 부채꼴을 원의 $\tfrac{60}{360}$로 구하는 데 사용.)7.G.B.6Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (복합 영역을 합치고 빼는 데 사용: 색칠 = 큰 반원에서 겹치는 흰색 덮개를 뺀 것.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (교점 높이 $\tfrac{\sqrt3}{2}$과 각 겹침 렌즈 안 정삼각형 넓이를 구하는 데 사용.)
⭐ 가장자리가 복잡한 영역은 전체에서 쉬운 나머지를 빼서 재고, 겹치는 도형은 공유한 넓이를 한 번 빼 줘야 함을 기억하자.
⭐ 가장자리가 복잡한 영역은 전체에서 쉬운 나머지를 빼서 재고, 겹치는 도형은 공유한 넓이를 한 번 빼 줘야 함을 기억하자.
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