AMC 10 · 2003 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryarea-trianglessimilar-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=5$ , $BC=3$ 이다. 점 $F$ 와 $G$ 는 $\overline{CD}$ 위에 있으며 $DF=1$ , $GC=2$ 이다. 직선 $AF$ 와 $BG$ 는 점 $E$ 에서 만난다. $\triangle AEB$ 의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{21}{2}$

(C)

(D)

$\frac{25}{2}$

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$의 아래 변은 $AB=5$이고 옆 변은 $BC=3$입니다. 위쪽 변 $DC$ 위에, $D$로부터 $1$만큼 떨어진 곳에 $F$를, $C$로부터 $2$만큼 떨어진 곳에 $G$를 잡습니다. 직선 $AF$와 직선 $BG$를 그으면 직사각형 위쪽의 한 점 $E$에서 만납니다. 밑변이 아래 변 $AB$ 전체인 삼각형 $AEB$의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$는 $AB=5$, $BC=3$인 직사각형입니다.; $F$와 $G$는 위쪽 변 $\overline{DC}$ 위에 있고 $DF=1$, $GC=2$입니다.; $E$는 직선 $AF$와 직선 $BG$의 교점입니다.; 선택지: (A) $10$, (B) $\tfrac{21}{2}$, (C) $12$, (D) $\tfrac{25}{2}$, (E) $15$.

구하는 것: 삼각형 $AEB$의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 어려운 부분은 직사각형 바깥에서 두 기울어진 직선이 만나는 점 $E$의 위치를 찾는 것입니다. 교점을 정확히 잡는 가장 깔끔한 방법은 그림 전체를 좌표평면에 올려놓는 것입니다(도구 #1). 그러면 각 꼭짓점은 $(x,y)$ 좌표가 되고, 각 직선은 방정식이 됩니다. 왼쪽 아래 꼭짓점 $A$를 원점에 두면 $A,B,C,D,F,G$가 모두 정확한 좌표를 얻습니다. 다음으로 두 직선을 대수로 나타냅니다(도구 #4, #13): 직선 $AF$와 직선 $BG$가 각각 간단한 $y=mx+b$가 됩니다. 그러면 $E$를 찾는 것은 하나의 작은 문제입니다(도구 #7) — 두 방정식을 같다고 놓고 풀면 됩니다. 넓이 역시 또 하나의 작은 문제입니다: 삼각형 $AEB$의 밑변 $AB$는 $x$축 위에 있으므로, 높이는 바로 $E$의 $y$좌표이고, 넓이 $=\tfrac12 \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$입니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

직사각형을 좌표평면에 올리기

왼쪽 아래 꼭짓점 $A$를 원점에 두고 $AB$를 $x$축을 따라 놓습니다.
$AB=5$, $BC=3$이므로 네 꼭짓점은 $A=(0,0)$, $B=(5,0)$, $C=(5,3)$, $D=(0,3)$입니다.
위쪽 변 $DC$는 직선 $y=3$이며 $D=(0,3)$에서 $C=(5,3)$까지 이어집니다.
이제 그 위에 $F$와 $G$를 놓습니다.
$F$는 $D$에서 오른쪽으로 $1$만큼 떨어졌으므로 $F=(1,3)$입니다.
$G$는 $C$에서 왼쪽으로 $2$만큼 떨어졌으므로 $G=(5-2,\,3)=(3,3)$입니다.

$$A=(0,0),\; B=(5,0),\; C=(5,3),\; D=(0,3),\; F=(1,3),\; G=(3,3)$$

💡 모든 꼭짓점에 $(x,y)$ 주소를 붙이면 "직선들이 어디서 만나는가?"라는 물음이 어림짐작이 아니라 계산으로 바뀝니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

직선 AF의 방정식 세우기

직선 $AF$는 $A=(0,0)$에서 $F=(1,3)$로 갑니다.
기울기는 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값 $\frac{3-0}{1-0}=3$입니다.
원점을 지나므로 방정식은 그냥 $y=3x$입니다.

$$\text{기울기}_{AF}=\dfrac{3-0}{1-0}=3 \;\Rightarrow\; y=3x$$

💡 원점을 지나는 직선은 $y = (\text{기울기})\,x$일 뿐이라 한 단계로 식을 쓸 수 있습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 3

직선 BG의 방정식 세우기

직선 $BG$는 $B=(5,0)$에서 $G=(3,3)$로 갑니다.
기울기는 $\frac{3-0}{3-5}=\frac{3}{-2}=-\frac32$입니다.
점 $B=(5,0)$를 이용하면 직선은 $y-0=-\frac32(x-5)$, 즉 $y=-\frac32 x+\frac{15}{2}$입니다.

$$\text{기울기}_{BG}=\dfrac{3-0}{3-5}=-\dfrac32 \;\Rightarrow\; y=-\dfrac32(x-5)$$

💡 두 점이 직선 하나를 정하므로, 기울기와 지나는 한 점만 있으면 방정식이 완성됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 4

두 직선이 만나는 E 찾기

교점 $E$에서는 두 방정식이 모두 성립하므로 같다고 놓습니다: $3x=-\frac32(x-5)$.
오른쪽을 전개하면 $3x=-\frac32 x+\frac{15}{2}$.
양변에 $\frac32 x$를 더하면 $\frac92 x=\frac{15}{2}$.
따라서 $x=\frac{15}{2}\cdot\frac{2}{9}=\frac{15}{9}=\frac53$입니다.
이를 $y=3x$에 대입하면 $y=3\cdot\frac53=5$.
그러므로 $E=\left(\frac53,5\right)$입니다.

$$3x=-\tfrac32(x-5)\;\Rightarrow\; \tfrac92 x=\tfrac{15}{2}\;\Rightarrow\; x=\tfrac53,\quad y=3\cdot\tfrac53=5$$

💡 두 직선 위에 동시에 있는 유일한 점은 두 $y$ 식이 서로 같아지게 만들어 찾습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

삼각형 AEB의 넓이 구하기

삼각형 $AEB$의 밑변 $AB$는 $x$축 위 $A=(0,0)$에서 $B=(5,0)$까지 놓여 있으므로 밑변의 길이는 $5$입니다.
높이는 $E$에서 그 밑변까지의 수직 거리인데, 이는 바로 $E$의 $y$좌표, 즉 $5$입니다.
따라서 넓이는 $\frac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}=\frac12\cdot5\cdot5=\frac{25}{2}$입니다.
이는 선택지 (D)입니다.

$$[\triangle AEB]=\tfrac12\cdot AB\cdot y_E=\tfrac12\cdot5\cdot5=\dfrac{25}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 삼각형의 밑변이 $x$축 위에 있으면, 높이는 꼭대기 꼭짓점이 얼마나 높이 올라갔는지 그 값입니다.

[1] #1 5.G.A.1 왼쪽 아래 꼭짓점 $A$를 원점에 두고 $AB$를 $x$축을 따라 놓습니다. $AB=5$, $BC=3$이므로 네 꼭짓점은 $A=(0,0)$, $

[2] #4 8.EE.B.6 직선 $AF$는 $A=(0,0)$에서 $F=(1,3)$로 갑니다. 기울기는 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값 $\frac{3-0}{1-0}

[3] #13 8.EE.B.6 직선 $BG$는 $B=(5,0)$에서 $G=(3,3)$로 갑니다. 기울기는 $\frac{3-0}{3-5}=\frac{3}{-2}=-\frac32

[4] #7 8.EE.C.8 교점 $E$에서는 두 방정식이 모두 성립하므로 같다고 놓습니다: $3x=-\frac32(x-5)$. 오른쪽을 전개하면 $3x=-\frac32 x

[5] #7 6.G.A.1 삼각형 $AEB$의 밑변 $AB$는 $x$축 위 $A=(0,0)$에서 $B=(5,0)$까지 놓여 있으므로 밑변의 길이는 $5$입니다. 높이는 $

검토

합리성 확인: 꼭짓점 $E$의 높이는 $5$로, 직사각형 위쪽 변의 높이 $3$보다 넉넉히 위에 있습니다 — 이는 그림과 일치합니다. 높이 $3$에서 두 직선이 아직 $FG=2$만큼 벌어져 있으니, 만나기까지 조금 더 올라가야 하기 때문입니다. 닮은 삼각형으로 높이를 다시 확인해 봅니다: 위쪽 간격은 $FG = DC-DF-GC = 5-1-2=2$입니다. 삼각형 $EFG$와 $EAB$는 비 $FG:AB=2:5$로 닮았으므로, 높이 관계 $\frac{h-3}{h}=\frac{2}{5}$에서 $h=5$가 나옵니다 — 좌표로 구한 높이와 같으니 넓이 $\frac{25}{2}$가 확인됩니다. 이 값은 선택지 (C) $12$와 (E) $15$ 사이에 놓이는데, 상자 바로 위에 꼭짓점이 있을 때 예상되는 위치와 정확히 들어맞습니다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 닮은 삼각형을 바로 이용할 수도 있습니다. $DC\parallel AB$이므로 위쪽의 작은 삼각형 $EFG$는 아래쪽의 큰 삼각형 $EAB$와 닮았습니다. 평행한 두 변은 $FG=5-1-2=2$와 $AB=5$이므로 닮음비는 $\frac{2}{5}$입니다. $E$의 $AB$ 위 높이를 $h$라 하면, 작은 삼각형이 $FG$ 위로 올라간 높이는 $h-3$입니다. 비를 맞추면 $\frac{h-3}{h}=\frac{2}{5}$이고, 이를 풀면 $h=5$입니다. 그러면 넓이 $=\frac12\cdot5\cdot5=\frac{25}{2}$로, 직선의 방정식을 한 번도 쓰지 않고 같은 답을 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.1 Use a pair of perpendicular number lines forming a coordinate system (직사각형과 점 $F,G$를 좌표평면 위 정확한 좌표에 놓기.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (직선 $AF$와 $BG$의 기울기를 구하고 각 직선을 방정식으로 나타내기.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 직선의 방정식을 함께 풀어 교점 $E$의 위치 찾기.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변과 높이로부터 삼각형 $AEB$의 넓이 구하기.)

⭐ 그림을 좌표평면에 올려놓으세요: 각 직선을 방정식으로 바꾸고, 두 식을 함께 풀어 교점을 찾으면, 그 교점의 높이가 삼각형 넓이에 필요한 전부입니다.