AMC 10 · 2003 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
coordinate-geometryarea-trianglessimilar-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
직사각형 ABCD의 아래 변은 AB=5이고 옆 변은 BC=3입니다. 위쪽 변 DC 위에, D로부터 1만큼 떨어진 곳에 F를, C로부터 2만큼 떨어진 곳에 G를 잡습니다. 직선 AF와 직선 BG를 그으면 직사각형 위쪽의 한 점 E에서 만납니다. 밑변이 아래 변 AB 전체인 삼각형 AEB의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
$\frac{21}{2}$
(C)
12
(D)
$\frac{25}{2}$
(E)
15

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제의 어려운 부분은 직사각형 바깥에서 두 기울어진 직선이 만나는 점 E의 위치를 찾는 것입니다. 교점을 정확히 잡는 가장 깔끔한 방법은 그림 전체를 좌표평면에 올려놓는 것입니다(도구 #1). 그러면 각 꼭짓점은 (x,y) 좌표가 되고, 각 직선은 방정식이 됩니다. 왼쪽 아래 꼭짓점 A를 원점에 두면 A,B,C,D,F,G가 모두 정확한 좌표를 얻습니다. 다음으로 두 직선을 대수로 나타냅니다(도구 #4, #13): 직선 AF와 직선 BG가 각각 간단한 y=mx+b가 됩니다. 그러면 E를 찾는 것은 하나의 작은 문제입니다(도구 #7) — 두 방정식을 같다고 놓고 풀면 됩니다. 넓이 역시 또 하나의 작은 문제입니다: 삼각형 AEB의 밑변 AB는 x축 위에 있으므로, 높이는 바로 E의 y좌표이고, 넓이 =1/2 · 밑변 · 높이입니다.

1STEP 1

직사각형을 좌표평면에 올리기

A를 원점, AB를 x축에 두면 B=(5,0), C=(5,3), D=(0,3)이고 위쪽 변에 F=(1,3), G=(3,3)입니다.

A=(0,0), B=(5,0), C=(5,3), D=(0,3), F=(1,3), G=(3,3)
2STEP 2

직선 AF의 방정식 세우기

AF는 (0,0)에서 (1,3)으로 가므로 기울기는 3이고, 원점을 지나니 y=3x입니다.

기울기_AF=(3-0)/(1-0)=3 → y=3x
3STEP 3

직선 BG의 방정식 세우기

BG는 (5,0)에서 (3,3)으로 가므로 기울기는 -3/2이고, B를 지나는 직선은 y=-3/2(x-5)입니다.

기울기_BG=(3-0)/(3-5)=-3/2 → y=-3/2(x-5)
4STEP 4

두 직선이 만나는 E 찾기

교점에서 3x=-3/2(x-5)를 풀면 9/2 x=15/2, x=5/3이고 y=5이므로 E=(5/3,5)입니다.

3x=-3/2(x-5) → 9/2 x=15/2 → x=5/3, y=3·5/3=5
5STEP 5

삼각형 AEB의 넓이 구하기

밑변 AB=5는 x축 위에 있고 높이는 E의 y좌표 5이므로 넓이는 1/2·5·5=25/2, 즉 (D)입니다.

[△ AEB]=1/2 · AB · y_E=1/2·5·5=25/2 → (D)
정답
25/2
꼭짓점 E의 높이는 5로, 직사각형 위쪽 변의 높이 3보다 넉넉히 위에 있습니다 — 이는 그림과 일치합니다. 높이 3에서 두 직선이 아직 FG=2만큼 벌어져 있으니, 만나기까지 조금 더 올라가야 하기 때문입니다. 닮은 삼각형으로 높이를 다시 확인해 봅니다: 위쪽 간격은 FG = DC-DF-GC = 5-1-2=2입니다. 삼각형 EFG와 EAB는 비 FG:AB=2:5로 닮았으므로, 높이 관계 (h-3)/h=2/5에서 h=5가 나옵니다 — 좌표로 구한 높이와 같으니 넓이 25/2가 확인됩니다. 이 값은 선택지 (C) 12와 (E) 15 사이에 놓이는데, 상자 바로 위에 꼭짓점이 있을 때 예상되는 위치와 정확히 들어맞습니다.
💡핵심 정리

그림을 좌표평면에 올려놓으세요: 각 직선을 방정식으로 바꾸고, 두 식을 함께 풀어 교점을 찾으면, 그 교점의 높이가 삼각형 넓이에 필요한 전부입니다.

  • 직사각형을 좌표평면에 올리기
  • 직선 AF의 방정식 세우기
  • 직선 BG의 방정식 세우기
  • 두 직선이 만나는 E 찾기
  • 삼각형 AEB의 넓이 구하기

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