AMC 10 · 2003 · #21
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
구슬 하나하나의 색은 중요하지 않고, 남은 초록 구슬의 개수만 중요하다. 그래서 먼저 그 개수를 중심으로 문제를 다시 정리한다(도구 #15). 주머니에는 항상 4개가 있고, 매 차례 초록 개수는 그대로이거나(빨간 구슬을 꺼냄) 하나 줄어든다(초록 구슬을 꺼냄). 초록 2개에서 시작해 모두 빨간색으로 끝나려면 두 초록을 언젠가는 반드시 꺼내야 하므로, 세 번 중 정확히 두 번은 초록을, 나머지 한 번은 빨간을 꺼내야 한다. 이렇게 바꾸면 복잡한 색 이야기가 짧은 세는 문제가 된다. 초록을 꺼낼 확률은 남은 초록 개수에 따라 달라지므로, 상태 나무(도구 #1)를 그리면 각 차례의 확률이 보인다. 어느 차례가 빨간 차례인지에 따른 이기는 순서는 몇 가지뿐이므로, 그 순서들을 빠짐없이 나열하고(도구 #2), 각 순서의 확률은 그 가지를 따라 곱하는 작은 문제(도구 #7)로 구한다.
초록 구슬 개수만 세기
초록 개수만 따라가면 2에서 시작해 늘지 않으므로, 세 번 만에 0이 되려면 초록 2번, 빨강 1번이어야 한다.
넣는 구슬이 늘 빨간색이라 초록을 없애는 유일한 방법은 각 초록을 꺼내는 것이므로, 세 번 중 두 번은 초록을 꺼내야 한다.
7.SP.C.8Organize Information In More Ways각 상태에서 초록을 꺼낼 확률 구하기
주머니엔 늘 4개가 있고 모두 똑같이 뽑히니 초록이 g개면 확률은 g/4, 곧 2개일 때 1/2, 1개일 때 1/4이다.
네 구슬이 모두 똑같이 뽑히므로, 초록을 집을 확률은 그저 넷 중 초록이 몇 개인지일 뿐이다.
7.SP.C.7Draw A Diagram이기는 순서를 나열하고 각 가지 곱하기
빨강 차례가 언제인지만 다르므로 세 순서를 각각 곱한다: RGG=1/16, GRG=3/32, GGR=1/8.
순서가 정해진 각 과정은 나무의 한 갈래이고, 그 갈래 전체의 확률은 갈래를 따라 곱한 값이다.
순서 있는 각 이야기는 하나의 길이며, 그 길 전체의 확률은 길을 따라가는 확률의 곱이다.
▸ 왜?
각 뽑기의 확률은 출발한 상태로 정해지므로, 걸음이 길을 따라 곱해진다.
▸ 왜?
서로 다른 이기는 이야기는 함께 일어날 수 없으므로, 확률을 그냥 더하면 된다.
세 이기는 확률을 더하기
세 순서는 서로 배타적이라 분모 32로 맞춰 더하면 2/32+3/32+4/32 = 9/32, 곧 (C)이다.
서로 다른 이기는 이야기는 동시에 일어날 수 없으므로, 같은 분모로 맞춘 뒤 확률을 그냥 더하면 된다.
5.NF.A.1Identify Subproblems초록 구슬만 따라가라: 넣는 게 늘 빨강이라 두 초록을 모두 꺼내야만 이기므로, 그렇게 되는 몇 가지 순서를 나열해 확률을 더하면 된다.
- 초록 구슬 개수만 세기
- 각 상태에서 초록을 꺼낼 확률 구하기
- 이기는 순서를 나열하고 각 가지 곱하기
- 세 이기는 확률을 더하기