AMC 10 · 2003 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
isosceles-right-trianglearea-differenceratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
정팔각형 ABCDEFGH의 넓이가 1 제곱단위이다. 그 꼭짓점 A, B, E, F는 직사각형 ABEF를 이룬다. 직사각형 ABEF의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$1-\frac{\sqrt2}{2}$
(B)
$\frac{\sqrt2}{4}$
(C)
$\sqrt2-1$
(D)
$\frac{1}2$
(E)
$\frac{1+\sqrt2}{4}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

직사각형을 팔각형 전체와 비교하는 것은, 둘 다 이미 아는 조각으로 쪼개기 전까지는 어려워 보인다. 도구 #1(그림 그리기)로 팔각형을 네 모서리를 잘라 낸 큰 정사각형으로 다시 본다. 잘려 나간 모서리는 45-45-90 삼각형이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 팔각형의 한 변의 길이를 s라 두면 모든 길이가 식이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 개의 쉬운 넓이 계산으로 나눈다: 팔각형(정사각형에서 네 모서리를 뺀 것), 직사각형(가로 곱하기 세로), 그리고 둘의 비. 비만 필요하므로 지저분한 √2 항은 지워지고 답이 깔끔하게 나온다.

1STEP 1

팔각형을 모서리 잘린 정사각형으로 보기

AB가 위, EF가 아래로 오게 돌린 뒤 가장 작은 정사각형으로 감싸면, 잘린 네 모서리가 비스듬한 변이다.

팔각형 = (큰 정사각형) - (같은 모서리 삼각형 네 개)
2STEP 2

변의 이름을 정하고 모서리 다리 구하기

팔각형의 한 변을 s라 하자. 잘린 모서리는 빗변이 s인 45-45-90 삼각형이므로 다리는 s/√2이다.

다리 = s/√2
3STEP 3

팔각형의 넓이 계산하기

정사각형의 한 변은 s(1+√2)이고 네 모서리의 합은 s²이므로, 팔각형은 2s²(1+√2)이다.

팔각형 = s²(3+2√2) - s² = s²(2+2√2) = 2s²(1+√2)
4STEP 4

직사각형의 넓이 계산하기

직사각형 ABEF는 가로가 s, 세로가 팔각형의 전체 높이 s(1+√2)이므로 넓이는 s²(1+√2)이다.

직사각형 = s · s(1+√2) = s²(1+√2)
5STEP 5

두 넓이 비교하기

나누면 s²(1+√2)가 지워지고 비는 정확히 2이다. 팔각형이 두 배이므로 직사각형은 1/2, 즉 (D)이다.

팔각형/직사각형 = (2s²(1+√2))/(s²(1+√2)) = 2 → 직사각형 = 1/2 · 1 = 1/2 → (D)
정답
1/2
절반은 그럴듯한 답이다: 직사각형 ABEF는 팔각형 가운데의 길쭉한 띠이고, 그 왼쪽과 오른쪽에 남는 두 조각은 서로 거울상이므로, 합치면 가운데 띠와 대략 균형을 이룬다 — 절반에 가까운 분할이다. 수치로도 확인된다: 팔각형을 단위원 위에 그리면 넓이는 2√2 ≈ 2.83이고 직사각형은 √2 ≈ 1.41인데, 그 비는 정확히 2이다. 그래서 직사각형은 1의 절반, 즉 1/2이다.
💡핵심 정리

팔각형을 모서리 잘린 정사각형으로 바꾸고, 모든 길이를 한 변 s로 나타내면 √2 조각들이 지워지며 직사각형이 정확히 절반임이 드러난다.

  • 팔각형을 모서리 잘린 정사각형으로 보기
  • 변의 이름을 정하고 모서리 다리 구하기
  • 팔각형의 넓이 계산하기
  • 직사각형의 넓이 계산하기
  • 두 넓이 비교하기

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