AMC 10 · 2003 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

isosceles-right-trianglearea-differenceratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔각형 $ABCDEFGH$ 의 넓이가 $1$ 제곱단위이다. 직사각형 $ABEF$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1-\frac{\sqrt2}{2}$

(B)

$\frac{\sqrt2}{4}$

(C)

$\sqrt2-1$

(D)

$\frac{1}2$

(E)

$\frac{1+\sqrt2}{4}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정팔각형 $ABCDEFGH$의 넓이가 $1$이다. 네 꼭짓점 $A$, $B$, $E$, $F$는 직사각형을 이룬다. 그 직사각형의 넓이를 구하라.

주어진 것: $ABCDEFGH$는 정팔각형이다 (모든 변이 같고 모든 각이 같다); 팔각형 전체의 넓이는 $1$ 제곱단위이다; $A$와 $B$는 한 변의 양 끝점이고, $E$와 $F$는 그 맞은편 변의 양 끝점이다; $ABEF$는 직사각형이므로, $AB$와 $EF$는 이 직사각형의 마주 보는 두 변이다; 선택지: (A) $1-\frac{\sqrt2}{2}$, (B) $\frac{\sqrt2}{4}$, (C) $\sqrt2-1$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) $\frac{1+\sqrt2}{4}$

구하는 것: 팔각형의 넓이가 $1$일 때, 직사각형 $ABEF$의 넓이

이해

문제 재정리: 정팔각형 $ABCDEFGH$의 넓이가 $1$이다. 네 꼭짓점 $A$, $B$, $E$, $F$는 직사각형을 이룬다. 그 직사각형의 넓이를 구하라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

직사각형을 팔각형 전체와 비교하는 것은, 둘 다 이미 아는 조각으로 쪼개기 전까지는 어려워 보인다. 도구 #1(그림 그리기)로 팔각형을 네 모서리를 잘라 낸 큰 정사각형으로 다시 본다. 잘려 나간 모서리는 $45$-$45$-$90$ 삼각형이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 팔각형의 한 변의 길이를 $s$라 두면 모든 길이가 식이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 개의 쉬운 넓이 계산으로 나눈다: 팔각형(정사각형에서 네 모서리를 뺀 것), 직사각형(가로 곱하기 세로), 그리고 둘의 비. 비만 필요하므로 지저분한 $\sqrt2$ 항은 지워지고 답이 깔끔하게 나온다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

팔각형을 모서리 잘린 정사각형으로 보기

팔각형을 돌려서 변 $AB$와 $EF$가 각각 위와 아래에 수평으로 오게 한다.
팔각형을 꼭 맞게 감싸는 가장 작은 정사각형을 그린다.
이 정사각형은 팔각형의 수평·수직 네 변에 닿고, 팔각형의 비스듬한 네 변은 바로 그 정사각형에서 잘려 나간 모서리이다.
잘린 각 모서리는 두 짧은 변의 길이가 같은 직각삼각형인데, 정팔각형의 모서리가 $45^\circ$로 잘리기 때문이다.

$$\text{팔각형} = \text{(큰 정사각형)} - \text{(같은 모서리 삼각형 네 개)}$$

💡 정팔각형은 네 모서리를 고르게 잘라 낸 정사각형일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

변의 이름을 정하고 모서리 다리 구하기

팔각형의 한 변의 길이를 $s$라 하자.
잘린 각 모서리는 $45$-$45$-$90$ 직각삼각형이고, 길이 $s$인 비스듬한 팔각형 변이 그 빗변이다.
$45$-$45$-$90$ 삼각형에서 빗변은 한 변의 $\sqrt2$배이므로, 각 다리(짧은 변)의 길이는 $\dfrac{s}{\sqrt2}$이다.

$$\text{다리} = \dfrac{s}{\sqrt2}$$

💡 모서리의 비스듬한 변이 빗변이므로, 두 다리는 $\sqrt2$배만큼 짧아진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3

팔각형의 넓이 계산하기

큰 정사각형의 한 변은 팔각형 한 변에 모서리 다리 두 개를 더한 것이다: $s + 2\cdot\dfrac{s}{\sqrt2} = s + s\sqrt2 = s(1+\sqrt2)$.
그 넓이는 $s^2(1+\sqrt2)^2 = s^2(3+2\sqrt2)$이다.
네 모서리 삼각형은 각각 넓이가 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{s}{\sqrt2}\right)^2 = \dfrac{s^2}{4}$이므로, 넷을 합하면 $s^2$이다.
빼면 팔각형의 넓이가 나온다.

$$\text{팔각형} = s^2(3+2\sqrt2) - s^2 = s^2(2+2\sqrt2) = 2s^2(1+\sqrt2)$$

💡 정사각형 전체에서 잘라 낸 네 모서리를 빼면 팔각형이 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

직사각형의 넓이 계산하기

직사각형 $ABEF$의 가로는 위 변 $AB$와 같아서 $s$이다.
세로는 위 변 $AB$와 아래 변 $EF$ 사이를 곧게 가로지르는 거리, 즉 팔각형의 전체 높이인데, 이는 큰 정사각형의 한 변과 같은 $s(1+\sqrt2)$이다.
가로에 세로를 곱한다.

$$\text{직사각형} = s \cdot s(1+\sqrt2) = s^2(1+\sqrt2)$$

💡 직사각형은 한 변만큼 넓고, 팔각형의 전체 높이까지 뻗어 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

두 넓이 비교하기

팔각형의 넓이를 직사각형의 넓이로 나눈다.
$s^2(1+\sqrt2)$라는 인수가 둘에 공통이므로 지워지고, 비는 정확히 $2$가 된다.
팔각형은 직사각형의 두 배이고, 이는 직사각형이 팔각형의 절반이라는 뜻이다.
팔각형의 넓이가 $1$이므로, 직사각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}$, 즉 선택지 (D)이다.

$$\dfrac{\text{팔각형}}{\text{직사각형}} = \dfrac{2s^2(1+\sqrt2)}{s^2(1+\sqrt2)} = 2 \;\Rightarrow\; \text{직사각형} = \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2} \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 똑같은 $\sqrt2$ 인수가 지워지고, 깔끔한 $2$대$1$의 비가 남는다.

[1] #1 6.G.A.1 팔각형을 돌려서 변 $AB$와 $EF$가 각각 위와 아래에 수평으로 오게 한다. 팔각형을 꼭 맞게 감싸는 가장 작은 정사각형을 그린다. 이 정사

[2] #4 8.G.B.7 팔각형의 한 변의 길이를 $s$라 하자. 잘린 각 모서리는 $45$-$45$-$90$ 직각삼각형이고, 길이 $s$인 비스듬한 팔각형 변이 그 빗

[3] #7 7.G.B.6 큰 정사각형의 한 변은 팔각형 한 변에 모서리 다리 두 개를 더한 것이다: $s + 2\cdot\dfrac{s}{\sqrt2} = s + s\s

[4] #7 6.G.A.1 직사각형 $ABEF$의 가로는 위 변 $AB$와 같아서 $s$이다. 세로는 위 변 $AB$와 아래 변 $EF$ 사이를 곧게 가로지르는 거리, 즉

[5] #7 6.RP.A.3 팔각형의 넓이를 직사각형의 넓이로 나눈다. $s^2(1+\sqrt2)$라는 인수가 둘에 공통이므로 지워지고, 비는 정확히 $2$가 된다. 팔각형

검토

합리성 확인: 절반은 그럴듯한 답이다: 직사각형 $ABEF$는 팔각형 가운데의 길쭉한 띠이고, 그 왼쪽과 오른쪽에 남는 두 조각은 서로 거울상이므로, 합치면 가운데 띠와 대략 균형을 이룬다 — 절반에 가까운 분할이다. 수치로도 확인된다: 팔각형을 단위원 위에 그리면 넓이는 $2\sqrt2 \approx 2.83$이고 직사각형은 $\sqrt2 \approx 1.41$인데, 그 비는 정확히 $2$이다. 그래서 직사각형은 $1$의 절반, 즉 $\tfrac12$이다.

대안 접근: 중심에서 여덟 꼭짓점으로 선분 여덟 개를 그으면 팔각형이 넓이 $\tfrac18$짜리 합동인 삼각형 여덟 개로 나뉜다. 중심에서 $A$, $B$, $E$, $F$로 이으면 직사각형 $ABEF$가 삼각형 네 개로 쪼개진다: $OAB$와 $OEF$는 그 여덟 조각 중 두 개이고, 나머지 두 개인 $OFA$와 $OBE$도 각각 한 조각과 같은 넓이임이 드러난다. 그래서 직사각형은 팔각형의 $4\times\tfrac18 = \tfrac12$ — 역시 $\tfrac12$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 분해하여 넓이 구하기 (팔각형을 네 모서리 삼각형을 잘라 낸 정사각형으로 보고, 직사각형을 가로 곱하기 세로로 구하기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용하여 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (팔각형 변(빗변)으로부터 각 $45$-$45$-$90$ 모서리 다리를 $\frac{s}{\sqrt2}$로 구하기.)
7.G.B.6 삼각형과 다각형으로 이루어진 이차원 도형의 넓이 문제 해결하기 (팔각형의 넓이를 큰 정사각형에서 네 모서리 삼각형을 뺀 것으로 계산하기.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제 해결하기 (팔각형 넓이를 직사각형 넓이로 나눠 $2$대$1$의 비와 직사각형이 차지하는 몫 구하기.)

⭐ 팔각형을 모서리 잘린 정사각형으로 바꾸고, 모든 길이를 한 변 $s$로 나타내면 $\sqrt2$ 조각들이 지워지며 직사각형이 정확히 절반임이 드러난다.