AMC 10 · 2003 · #24

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sequences-arithmeticsystems-of-equationsquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 개의 식

x+y

x-y

xy

\frac{x}{y}

가 이 순서대로 어떤 등차수열의 처음 네 항이다. 등차수열에서는 한 항에서 다음 항으로 갈 때 항상 같은 값을 더한다. 다섯 번째 항은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{15}{8}$

(B)

$-\frac{6}{5}$

(C)

(D)

$\frac{27}{20}$

(E)

$\frac{123}{40}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

주어진 사실은 '등차수열'이라는 패턴 하나뿐이므로, 먼저 그 패턴을 식으로 바꾼다(도구 #5, 도구 #13). 간격이 일정하다는 것은 각 항에서 바로 앞 항을 뺀 값이 모두 같은 상수 d라는 뜻이다. 처음 두 항이 가장 간단하므로 거기서 d를 읽어낸다(도구 #4, 간격을 d로 이름 붙이기). 그 d 하나로 세 번째와 네 번째 항을 두 가지 방식으로 쓸 수 있다 — 주어진 식으로, 그리고 '앞 항 더하기 d'로. 이 둘을 같다고 놓으면 x, y에 대한 두 방정식이 나온다. 이 작은 연립방정식을 푸는 것이 핵심 소문제이며(도구 #7), x, y, d를 알면 다섯 번째 항은 네 번째 항에 d를 더한 것이다.

1STEP 1

처음 두 항에서 공통 간격 읽기

간격이 일정하니 처음 두 항에서 읽는다: $d=(x-y)-(x+y)$ , 즉 매 단계 $-2y$ 를 더한다.

d = (x-y)-(x+y) = -2y

2STEP 2

셋째, 넷째 항을 두 가지로 쓰기

각 항은 앞 항에 $-2y$ 를 더한 것이므로, 셋째 항에서 $x-3y=xy$ , 넷째 항에서 $xy-2y=\frac{x}{y}$ 를 얻는다.

x - 3y = xy (1) xy - 2y = x/y (2)

3STEP 3

x를 소거해 y에 대한 방정식 만들기

넷째 항 식에 $xy=x-3y$ 를 대입하고 분모의 $y$ 를 없애면 $x$ 가 모두 지워지고 $y(5y+3)=0$ 만 남는다.

xy - 5y² = x → (x-3y) - 5y² = x → y(5y+3)=0

4STEP 4

y, x, 간격을 차례로 구하기

$\frac{x}{y}$ 가 있어야 하므로 $y=0$ 은 버리고 $y=-\frac{3}{5}$ , 이때 $x=-\frac{9}{8}$ 이고 간격은 $d=\frac{6}{5}$ 이다.

y = -3/5, x = -9/8, d = -2y = 6/5

5STEP 5

네 번째 항에 간격 더하기

넷째 항이 $\frac{x}{y}=\frac{75}{40}$ 이므로 $\frac{6}{5}=\frac{48}{40}$ 을 더하면 $\frac{123}{40}$ , 즉 (E)이다.

x/y + d = 15/8 + 6/5 = 75/40 + 48/40 = 123/40 → (E)

정답

123/40

x=-9/8, y=-3/5일 때 주어진 네 식이 실제로 등차인지 확인한다. 분모를 40으로: x+y = -45/40-24/40 = -69/40; x-y = -45/40+24/40 = -21/40; xy = 27/40; x/y = 75/40. 차는 -21/40-(-69/40) = 48/40, 27/40-(-21/40) = 48/40, 75/40-27/40 = 48/40 — 모두 48/40=6/5=d로 같다. 진짜 등차수열이므로 48/40을 한 번 더 더하면 123/40, 즉 (E)와 일치한다.

💡핵심 정리

'등차수열'을 '각 항은 앞 항에 같은 간격을 더한 것'으로 바꿔라 — 그러면 미지수를 결정할 방정식이 생기고, 다음 항은 그 간격을 한 번 더 더하기만 하면 된다.

처음 두 항에서 공통 간격 읽기
셋째, 넷째 항을 두 가지로 쓰기
x를 소거해 y에 대한 방정식 만들기
y, x, 간격을 차례로 구하기
네 번째 항에 간격 더하기

처음 두 항에서 공통 간격 읽기

셋째, 넷째 항을 두 가지로 쓰기

x를 소거해 y에 대한 방정식 만들기

y, x, 간격을 차례로 구하기

네 번째 항에 간격 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기