AMC 10 · 2003 · #24

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 등차수열의 처음 네 항이 순서대로 $x+y$ , $x-y$ , $xy$ , $\frac{x}{y}$ 이다. 다섯 번째 항은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{15}{8}$

(B)

$-\frac{6}{5}$

(C)

(D)

$\frac{27}{20}$

(E)

$\frac{123}{40}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 개의 식 $x+y$, $x-y$, $xy$, $\frac{x}{y}$가 이 순서대로 등차수열의 처음 네 항을 이룹니다. 등차수열에서는 한 항에서 다음 항으로 갈 때 항상 같은 값을 더합니다. 다섯 번째 항을 구하세요.

주어진 것: 처음 네 항은 순서대로 $x+y$, $x-y$, $xy$, $\frac{x}{y}$이다.; 네 항이 등차수열을 이루므로 이웃한 항의 차는 일정하다.; 선택지: (A) $-\frac{15}{8}$, (B) $-\frac{6}{5}$, (C) $0$, (D) $\frac{27}{20}$, (E) $\frac{123}{40}$.

구하는 것: 수열의 다섯 번째 항.; 네 식이 등차수열이 되게 하는 $x$와 $y$의 값.

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기

주어진 사실은 '등차수열'이라는 패턴 하나뿐이므로, 먼저 그 패턴을 식으로 바꾼다(도구 #5, 도구 #13). 간격이 일정하다는 것은 각 항에서 바로 앞 항을 뺀 값이 모두 같은 상수 $d$라는 뜻이다. 처음 두 항이 가장 간단하므로 거기서 $d$를 읽어낸다(도구 #4, 간격을 $d$로 이름 붙이기). 그 $d$ 하나로 세 번째와 네 번째 항을 두 가지 방식으로 쓸 수 있다 — 주어진 식으로, 그리고 '앞 항 더하기 $d$'로. 이 둘을 같다고 놓으면 $x$, $y$에 대한 두 방정식이 나온다. 이 작은 연립방정식을 푸는 것이 핵심 소문제이며(도구 #7), $x$, $y$, $d$를 알면 다섯 번째 항은 네 번째 항에 $d$를 더한 것이다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 7.EE.A.1 단계 1

처음 두 항에서 공통 간격 읽기

등차수열에서 이웃한 항의 간격 $d$는 일정하며, 처음 두 항이 그 값을 찾기에 가장 쉽다.
두 번째 항에서 첫 번째 항을 뺀다: $d = (x-y) - (x+y)$.
$x$끼리 지워지고 $-y$가 $-y$와 합쳐져 $d = -2y$가 남는다.
따라서 이 수열은 매 단계 $-2y$를 더한다.

$$d = (x-y)-(x+y) = -2y$$

💡 일정한 간격은 우리가 계산할 수 있는 가장 쉬운 차, 즉 둘째 항 빼기 첫째 항과 같아야 한다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 2

셋째, 넷째 항을 두 가지로 쓰기

각 항은 '바로 앞 항 더하기 $d = -2y$'이다.
세 번째 항은 두 번째 항에 $d$를 더한 것: $(x-y) + (-2y) = x - 3y$.
그런데 세 번째 항은 $xy$로도 주어졌으므로 $x - 3y = xy$.
네 번째 항은 세 번째 항에 $d$를 더한 것: $xy + (-2y) = xy - 2y$.
이것은 $\frac{x}{y}$로도 주어졌으므로 $xy - 2y = \frac{x}{y}$.
이제 두 방정식이 동시에 성립한다.

$$x - 3y = xy \quad (1)\qquad xy - 2y = \dfrac{x}{y} \quad (2)$$

💡 한 항을 두 가지 방식으로 나타낼 수 있으면 방정식이 생긴다 — 주어진 식을 '앞 항 더하기 간격'과 같다고 놓는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 3

x를 소거해 y에 대한 방정식 만들기

방정식 (1)은 $xy = x - 3y$를 뜻한다.
이것으로 (2) 안의 $xy$를 없앤다.
(2)의 $xy$를 $x - 3y$로 바꾸면 $(x - 3y) - 2y = \frac{x}{y}$, 정리하면 $x - 5y = \frac{x}{y}$.
양변에 $y$를 곱해 분수를 없애면 $xy - 5y^2 = x$.
여기서 다시 $xy = x - 3y$를 대입하면 $(x - 3y) - 5y^2 = x$.
양변의 $x$가 지워지고 $-3y - 5y^2 = 0$, 즉 $y(5y + 3) = 0$이 남는다.

$$xy - 5y^2 = x \;\Rightarrow\; (x-3y) - 5y^2 = x \;\Rightarrow\; y(5y+3)=0$$

💡 한 방정식을 다른 방정식에 넣으면 섞여 있던 $xy$와 $x$ 항이 사라져 모든 것이 $y$ 하나의 방정식으로 줄어든다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.2 단계 4

y, x, 간격을 차례로 구하기

$y(5y+3)=0$에서 가능성은 $y = 0$ 또는 $y = -\frac{3}{5}$ 두 가지다.
하지만 $y = 0$은 불가능하다: 네 번째 항 $\frac{x}{y}$가 0으로 나누게 되기 때문이다.
그래서 $y = -\frac{3}{5}$.
이것을 방정식 (1) $x - 3y = xy$, 즉 $x(1 - y) = 3y$에 넣는다.
$1 - y = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$이고 $3y = -\frac{9}{5}$이므로 $x = \frac{-9/5}{8/5} = -\frac{9}{8}$.
간격은 $d = -2y = -2\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{5}$.

$$y = -\dfrac{3}{5},\quad x = -\dfrac{9}{8},\quad d = -2y = \dfrac{6}{5}$$

💡 $y$로 나누는 것은 $y\neq 0$일 때만 허용되며, 바로 그 때문에 $y=0$인 근을 버린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 5

네 번째 항에 간격 더하기

다섯 번째 항은 네 번째 항에 $d$를 더한 것이다.
네 번째 항은 $\frac{x}{y} = \frac{-9/8}{-3/5} = \frac{9}{8}\cdot\frac{5}{3} = \frac{15}{8}$.
여기에 $d = \frac{6}{5}$를 더한다.
두 분수를 분모 $40$으로 맞추면 $\frac{15}{8} = \frac{75}{40}$, $\frac{6}{5} = \frac{48}{40}$이므로 $\frac{75}{40} + \frac{48}{40} = \frac{123}{40}$.
이는 선택지 (E)이다.

$$\dfrac{x}{y} + d = \dfrac{15}{8} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{75}{40} + \dfrac{48}{40} = \dfrac{123}{40}\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 일정한 간격을 알면 다음 항은 언제나 마지막 항에 그 간격을 더한 것이다.

[1] #5 7.EE.A.1 등차수열에서 이웃한 항의 간격 $d$는 일정하며, 처음 두 항이 그 값을 찾기에 가장 쉽다. 두 번째 항에서 첫 번째 항을 뺀다: $d = (x

[2] #13 6.EE.B.6 각 항은 '바로 앞 항 더하기 $d = -2y$'이다. 세 번째 항은 두 번째 항에 $d$를 더한 것: $(x-y) + (-2y) = x - 3

[3] #7 8.EE.C.7 방정식 (1)은 $xy = x - 3y$를 뜻한다. 이것으로 (2) 안의 $xy$를 없앤다. (2)의 $xy$를 $x - 3y$로 바꾸면 $(x

[4] #4 7.NS.A.2 $y(5y+3)=0$에서 가능성은 $y = 0$ 또는 $y = -\frac{3}{5}$ 두 가지다. 하지만 $y = 0$은 불가능하다: 네 번째

[5] #7 7.NS.A.1 다섯 번째 항은 네 번째 항에 $d$를 더한 것이다. 네 번째 항은 $\frac{x}{y} = \frac{-9/8}{-3/5} = \frac{9

검토

합리성 확인: $x=-\frac{9}{8}$, $y=-\frac{3}{5}$일 때 주어진 네 식이 실제로 등차인지 확인한다. 분모를 40으로: $x+y = -\frac{45}{40}-\frac{24}{40} = -\frac{69}{40}$; $x-y = -\frac{45}{40}+\frac{24}{40} = -\frac{21}{40}$; $xy = \frac{27}{40}$; $\frac{x}{y} = \frac{75}{40}$. 차는 $-\frac{21}{40}-(-\frac{69}{40}) = \frac{48}{40}$, $\frac{27}{40}-(-\frac{21}{40}) = \frac{48}{40}$, $\frac{75}{40}-\frac{27}{40} = \frac{48}{40}$ — 모두 $\frac{48}{40}=\frac{6}{5}=d$로 같다. 진짜 등차수열이므로 $\frac{48}{40}$을 한 번 더 더하면 $\frac{123}{40}$, 즉 (E)와 일치한다.

대안 접근: $x$를 소거하는 대신 방정식 (1)을 $x$에 대해 바로 푼다: $x - 3y = xy$에서 $x(1-y) = 3y$, 따라서 $x = \frac{3y}{1-y}$. 이것을 방정식 (2)에 넣고 분모를 없애면 $y$ 하나에 대한 방정식이 되고, 마찬가지로 $5y + 3 = 0$으로 줄어 $y = -\frac{3}{5}$, $x = -\frac{9}{8}$을 얻는다. 어느 순서로 대입해도 같은 값과 같은 다섯 번째 항에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 ($(x-y)-(x+y)$를 $-2y$로 정리해 처음 두 항에서 공차를 읽어내기.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 ('각 항은 앞 항 더하기 $d$'를 두 방정식 $x-3y=xy$와 $xy-2y=\frac{x}{y}$로 바꾸기.)
8.EE.C.7 한 변수의 일차방정식 풀기 (한 방정식을 다른 방정식에 대입해 $x$를 소거하고 $y(5y+3)=0$으로 줄이기.)
7.NS.A.2 유리수의 곱셈과 나눗셈에 대한 이해를 적용하고 확장하기 ($x(1-y)=3y$를 풀어 $x=-\frac{9}{8}$을 구하고 공차 $d=-2y=\frac{6}{5}$를 계산하기.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈과 뺄셈에 대한 이해를 적용하고 확장하기 (네 번째 항 $\frac{15}{8}$과 공차 $\frac{6}{5}$을 공통분모로 더해 $\frac{123}{40}$에 이르기.)

⭐ '등차수열'을 '각 항은 앞 항에 같은 간격을 더한 것'으로 바꿔라 — 그러면 미지수를 결정할 방정식이 생기고, 다음 항은 그 간격을 한 번 더 더하기만 하면 된다.