AMC 10 · 2003 · #3

학년 7 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
linear-equations-one-varsequences-arithmeticperfect-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
연속된 짝수 5 개의 합이 처음 8 개의 홀수 자연수의 합보다 4만큼 작습니다. 이 다섯 짝수 중 가장 작은 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
8
(C)
10
(D)
12
(E)
14

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

미지의 짝수 다섯 개는 모두 하나의 수 — 가장 작은 수 — 에 묶여 있으므로, 그것을 x 라 이름 붙이면(도구 #4) 다섯 개의 미지수가 하나의 식 5x+20으로 바뀝니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 반대쪽을 빠르게 정리합니다: 처음 n 개의 홀수의 합은 항상 n² 이므로, 여덟 개는 하나씩 더하지 않아도 64가 됩니다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '4 만큼 작다'는 문장을 하나의 방정식으로 바꿔 줍니다.

1STEP 1

처음 8개의 홀수 더하기

처음 8 개의 홀수 1,3,5,…,15의 합은 64입니다. 홀수 n 개의 합은 항상 n²이니까요.

1+3+5+7+9+11+13+15 = 8² = 64
2STEP 2

가장 작은 짝수에 이름 붙이기

가장 작은 짝수를 x라 하면 다섯 수는 x, x+2, x+4, x+6, x+8이고, 그 합은 5x+20입니다.

x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8) = 5x+20
3STEP 3

문장을 방정식으로 바꾸기

홀수의 합 64보다 '4만큼 작다'이므로, 방정식은 5x+20 = 60이 됩니다.

5x+20 = 64-4 = 60
4STEP 4

풀고 확인하기

20을 빼고 5로 나누면 x = 8, 즉 (B). 확인: 8+10+12+14+16=60.

5x=40 → x=8 → (B)
정답
8
답 x=8은 선택지의 가운데 근처에 있어 좋은 신호입니다. 다시 넣어 보면 8+10+12+14+16=60이고 64-60=4로, 문제가 요구한 '4만큼 작다'와 정확히 맞습니다. 만약 짝수 쪽에서 4를 잘못 빼거나 상수 +20을 빠뜨렸다면 다른 선택지에 도달했을 것입니다 — 그래서 다시 대입해 확인하는 것이 (B)를 확정해 줍니다.
💡핵심 정리

가장 작은 수를 x라 이름 붙이고 나머지를 2씩 큰 값으로 쓰면, 깔끔한 방정식 하나가 나머지를 해결해 줍니다.

  • 처음 8개의 홀수 더하기
  • 가장 작은 짝수에 이름 붙이기
  • 문장을 방정식으로 바꾸기
  • 풀고 확인하기

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