AMC 10 · 2003 · #3

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

linear-equations-one-varsequences-arithmeticperfect-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

연속된 $5$ 개의 짝수의 합은 처음 $8$ 개의 연속된 홀수 자연수의 합보다 $4$ 만큼 작다. 이 짝수들 중 가장 작은 수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 연속된 짝수 $5$ 개의 합이 처음 $8$ 개의 홀수 자연수의 합보다 $4$ 만큼 작습니다. 이 다섯 짝수 중 가장 작은 수를 구하세요.

주어진 것: 연속된 짝수가 $5$ 개 있습니다 (앞 수보다 매번 $2$ 큼).; 그 합은 처음 $8$ 개의 연속된 홀수 자연수 ($1,3,5,7,\dots$)의 합보다 $4$ 만큼 작습니다.; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $14$

구하는 것: 연속된 짝수 $5$ 개 중 가장 작은 수.

이해

문제 재정리: 연속된 짝수 $5$ 개의 합이 처음 $8$ 개의 홀수 자연수의 합보다 $4$ 만큼 작습니다. 이 다섯 짝수 중 가장 작은 수를 구하세요.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기

미지의 짝수 다섯 개는 모두 하나의 수 — 가장 작은 수 — 에 묶여 있으므로, 그것을 $x$ 라 이름 붙이면(도구 #4) 다섯 개의 미지수가 하나의 식 $5x+20$ 으로 바뀝니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 반대쪽을 빠르게 정리합니다: 처음 $n$ 개의 홀수의 합은 항상 $n^2$ 이므로, 여덟 개는 하나씩 더하지 않아도 $64$ 가 됩니다. 그런 다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '$4$ 만큼 작다'는 문장을 하나의 방정식으로 바꿔 줍니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

처음 8개의 홀수 더하기

처음 $8$ 개의 홀수 자연수는 $1,3,5,7,9,11,13,15$ 입니다.
그대로 죽 더하면 $64$ 가 됩니다.
더 빠르게: 처음 $n$ 개의 홀수의 합은 항상 $n^2$ 이므로, 처음 $8$ 개의 합은 $8^2=64$ 입니다.

$$1+3+5+7+9+11+13+15 = 8^2 = 64$$

💡 $1$ 부터 홀수를 쌓으면 완전제곱이 되므로, $n$ 개는 $n\times n$ 블록을 이룹니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

가장 작은 짝수에 이름 붙이기

다섯 짝수 중 가장 작은 수를 $x$ 라 합시다.
연속된 짝수는 $2$ 씩 커지므로 다섯 수는 $x,\ x+2,\ x+4,\ x+6,\ x+8$ 입니다.
이들을 더하면 $x$ 들은 $5x$, 상수들은 $2+4+6+8=20$ 이 되어 합은 $5x+20$ 입니다.

$$x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8) = 5x+20$$

💡 가장 작은 값에 이름 하나를 붙이면 나머지 값이 모두 정해지므로, 미지수 다섯 개가 하나로 줄어듭니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

문장을 방정식으로 바꾸기

짝수의 합은 홀수의 합 $64$ 보다 '$4$ 만큼 작으므로' $64-4=60$ 입니다.
짝수의 합을 이 값과 같다고 놓으면 방정식 $5x+20=60$ 이 됩니다.

$$5x+20 = 64-4 = 60$$

💡 '$64$ 보다 $4$ 작다'는 그냥 $64-4$ 이고, '이다'라는 말이 등호가 됩니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

풀고 확인하기

양변에서 $20$ 을 빼면 $5x=40$.
$5$ 로 나누면 $x=8$.
따라서 가장 작은 짝수는 $8$ 이고, 이는 선택지 (B)입니다.
확인: 다섯 짝수 $8,10,12,14,16$ 의 합은 $60$ 이고, $60$ 은 $64$ 보다 정확히 $4$ 작습니다.

$$5x=40 \;\Rightarrow\; x=8 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 방정식을 거꾸로 풀어 — $+20$ 을 없애고, 다음 $\times5$ 를 없애 — $x$ 를 드러냅니다.

[1] #5 4.OA.C.5 처음 $8$ 개의 홀수 자연수는 $1,3,5,7,9,11,13,15$ 입니다. 그대로 죽 더하면 $64$ 가 됩니다. 더 빠르게: 처음 $n$

[2] #4 6.EE.B.6 다섯 짝수 중 가장 작은 수를 $x$ 라 합시다. 연속된 짝수는 $2$ 씩 커지므로 다섯 수는 $x,\ x+2,\ x+4,\ x+6,\ x+8$

[3] #13 7.EE.B.4 짝수의 합은 홀수의 합 $64$ 보다 '$4$ 만큼 작으므로' $64-4=60$ 입니다. 짝수의 합을 이 값과 같다고 놓으면 방정식 $5x+20

[4] #4 7.EE.B.4 양변에서 $20$ 을 빼면 $5x=40$. $5$ 로 나누면 $x=8$. 따라서 가장 작은 짝수는 $8$ 이고, 이는 선택지 (B)입니다. 확인

검토

합리성 확인: 답 $x=8$ 은 선택지의 가운데 근처에 있어 좋은 신호입니다. 다시 넣어 보면 $8+10+12+14+16=60$ 이고 $64-60=4$ 로, 문제가 요구한 '$4$ 만큼 작다'와 정확히 맞습니다. 만약 짝수 쪽에서 $4$ 를 잘못 빼거나 상수 $+20$ 을 빠뜨렸다면 다른 선택지에 도달했을 것입니다 — 그래서 다시 대입해 확인하는 것이 (B)를 확정해 줍니다.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 평균을 이용합니다. 연속된 짝수 다섯 개는 가운데 값을 중심으로 대칭이므로, 그 합은 가운데 수의 $5$ 배입니다. 합이 $60$ 이므로 가운데 짝수는 $60\div5=12$ 입니다. 가장 작은 수는 가운데에서 $2$ 씩 두 번 아래인 $12-4=8$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.C.5 규칙을 따르는 수 또는 도형의 패턴을 만들고 분석한다 (처음 $8$ 개의 홀수 자연수의 합이 $8^2=64$ 임을 알아채는 데 사용.)
6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수를 사용하여 식을 쓴다 (가장 작은 짝수를 $x$ 로 놓고 다섯 수를 $x,x+2,x+4,x+6,x+8$ 로 쓰며 합을 $5x+20$ 으로 나타내는 데 사용.)
7.EE.B.4 $px+q=r$ 꼴의 간단한 방정식을 세우고 풀어 문제를 해결한다 ($5x+20=60$ 을 세우고 풀어 $x=8$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 가장 작은 수를 $x$ 라 이름 붙이고 나머지를 $2$ 씩 큰 값으로 쓰면, 깔끔한 방정식 하나가 나머지를 해결해 줍니다.