AMC 10 · 2003 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremratio-proportioninteger-pythagorean-triples convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

많은 텔레비전 화면은 대각선의 길이로 크기를 재는 직사각형이다. 표준 텔레비전 화면에서 가로 길이와 세로 높이의 비는 $4:3$ 이다. " $27$ 인치" 텔레비전 화면의 가로 길이는 다음 중 어느 것(인치)에 가장 가까운가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

20.5

(C)

(D)

21.5

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 텔레비전 화면은 가로 길이와 세로 높이의 비가 $4:3$인 직사각형이다. 대각선의 길이가 $27$인치라서 이 화면을 "$27$인치" 화면이라고 부른다. 가로 길이(인치)에 가장 가까운 선택지를 구하라.

주어진 것: 화면은 직사각형이다; 가로 길이 : 세로 높이 $= 4:3$; 대각선은 $27$인치이다 ("$27$인치"라는 말이 곧 대각선 길이다); 선택지: (A) $20$, (B) $20.5$, (C) $21$, (D) $21.5$, (E) $22$

구하는 것: 화면의 가로 길이(인치)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기

"가로", "높이", "대각선"이라는 말이 모양을 설명하므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저다 — 대각선을 그으면 직사각형이 직각삼각형으로 갈라지고, 그 두 변은 가로와 세로, 빗변은 $27$인치 대각선이 된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 비 $4:3$을 각각 $4x$, $3x$로 바꿔 하나의 미지수 $x$로 두 변을 동시에 나타낸다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 변의 비가 $3:4$이면 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형이 되어 빗변이 $5x$임을 알아챈다 — 제곱근 없이 $5x=27$만 풀면 된다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

대각선을 그어 직각삼각형 만들기

직사각형과 그 대각선을 그린다.
대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
그중 하나에서 한 변은 가로 길이, 다른 변은 세로 높이, 빗변은 대각선인 $27$인치다.

$$\text{두 변} = \text{가로},\ \text{세로}; \quad \text{빗변} = 27$$

💡 직사각형의 대각선은 언제나 두 변을 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 2

비로 변에 이름 붙이기

가로와 세로가 $4:3$의 비이므로, 가로를 $4x$, 세로를 $3x$로 쓴다($x$는 양수).
이제 두 변이 하나의 미지수 $x$로 표현된다.

$$\text{가로} = 4x, \quad \text{세로} = 3x$$

💡 비 $4:3$은 두 변이 함께 커진다는 뜻이라, 하나의 배율 $x$가 두 변을 모두 정한다.

#5 패턴 찾기 8.G.B.7 단계 3

$3$-$4$-$5$ 삼각형 쓰기

$3x$와 $4x$인 두 변은 $x$배로 늘린 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 이루므로 빗변은 $5x$다.
피타고라스 정리로 확인하면 $(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2=(5x)^2$이다.
빗변이 곧 대각선이므로 $5x=27$이다.

$$(3x)^2+(4x)^2=25x^2=(5x)^2 \;\Rightarrow\; 5x=27$$

💡 두 변의 비가 $3:4$이면 빗변은 항상 $5$칸 길이인, 그 유명한 $3$-$4$-$5$ 삼각형이다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 4

가로 길이 구하기

$5x=27$에서 양변을 $5$로 나누면 $x=\frac{27}{5}=5.4$다.
가로 길이는 $4x=4\times5.4=21.6$인치다.
선택지 중 $21.6$에 가장 가까운 값은 $21.5$이므로 답은 (D)이다.

$$x=\dfrac{27}{5}=5.4; \quad 4x=4\times5.4=21.6 \approx 21.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $x$를 알면 가로 길이는 그 똑같은 칸 네 개일 뿐이다.

[1] #1 4.G.A.2 직사각형과 그 대각선을 그린다. 대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눈다. 그중 하나에서 한 변은 가로 길이, 다른 변은 세로 높이,

[2] #4 6.RP.A.3 가로와 세로가 $4:3$의 비이므로, 가로를 $4x$, 세로를 $3x$로 쓴다($x$는 양수). 이제 두 변이 하나의 미지수 $x$로 표현된다.

[3] #5 8.G.B.7 $3x$와 $4x$인 두 변은 $x$배로 늘린 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 이루므로 빗변은 $5x$다. 피타고라스 정리로 확인하면 $(3x

[4] #4 6.RP.A.3 $5x=27$에서 양변을 $5$로 나누면 $x=\frac{27}{5}=5.4$다. 가로 길이는 $4x=4\times5.4=21.6$인치다. 선택

검토

합리성 확인: 가로 길이는 대각선 $27$인치보다 짧고 세로보다 길어야 하므로 $20$대 초반 값이 자연스럽다 — $21.6$이 잘 맞는다. 빠른 확인: 세로는 $3x=16.2$인치이고, $21.6^2+16.2^2=466.56+262.44=729=27^2$이므로 두 변이 정말로 $27$인치 대각선을 만든다. 함정은 $27$을 대각선이 아니라 한 변으로 보는 것인데, 그러면 $27$의 $7$칸 중 $4$칸은 약 $15.4$로 선택지에 아예 없어, 대각선으로 읽는 것이 맞음을 확인해 준다.

대안 접근: $3$-$4$-$5$ 지름길을 쓰지 않는 도구 #4(변수 도입하기): 가로 $=4x$, 세로 $=3x$로 두고 피타고라스 정리를 곧장 쓴다. 그러면 $(4x)^2+(3x)^2=27^2$에서 $25x^2=729$, $x^2=29.16$, $x=5.4$다. 가로 $4x=21.6\approx21.5$로 같은 선택지 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on the presence or absence of parallel or perpendicular lines, or the presence or absence of angles of a specified size; recognize right triangles (대각선이 직사각형을 두 변을 다리로 하는 직각삼각형으로 나눈다는 것을 알아보는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($4:3$ 비를 변 $4x$, $3x$로 바꾸고 가로 길이 $4x$를 계산하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems (두 변을 $27$인치 빗변과 연결해 $x$를 푸는 데 사용.)

⭐ $4:3$ 화면의 대각선은 $3$-$4$-$5$ 삼각형을 만들어 대각선이 $5$칸이니, $5$칸으로 나눈 뒤 $4$칸을 가져오면 가로 길이다.