AMC 10 · 2003 · #6

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremratio-proportioninteger-pythagorean-triples convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
텔레비전 화면은 가로 길이와 세로 높이의 비가 4:3인 직사각형이다. 대각선의 길이가 27인치라서 이 화면을 "27인치" 화면이라고 부른다. 가로 길이(인치)에 가장 가까운 선택지를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
20
(B)
20.5
(C)
21
(D)
21.5
(E)
22

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

"가로", "높이", "대각선"이라는 말이 모양을 설명하므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저다 — 대각선을 그으면 직사각형이 직각삼각형으로 갈라지고, 그 두 변은 가로와 세로, 빗변은 27인치 대각선이 된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 비 4:3을 각각 4x, 3x로 바꿔 하나의 미지수 x로 두 변을 동시에 나타낸다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 변의 비가 3:4이면 3-4-5 직각삼각형이 되어 빗변이 5x임을 알아챈다 — 제곱근 없이 5x=27만 풀면 된다.

1STEP 1

대각선을 그어 직각삼각형 만들기

대각선을 그으면 직각삼각형이 생기고, 두 변은 가로와 세로, 빗변은 27인치 대각선이다.

두 변 = 가로, 세로; 빗변 = 27
2STEP 2

비로 변에 이름 붙이기

가로와 세로의 비가 4:3이므로 가로를 4x, 세로를 3x로 두면 미지수는 양수 x 하나뿐이다.

가로 = 4x, 세로 = 3x
3STEP 3

3-4-5 삼각형 쓰기

3x와 4x를 두 변으로 하면 (3x)²+(4x)²=(5x)²인 3-4-5 삼각형이라 빗변에서 5x=27이다.

(3x)²+(4x)²=25x²=(5x)² → 5x=27
4STEP 4

가로 길이 구하기

5x=27을 5로 나누면 x=5.4이므로 가로 길이는 4x=21.6인치이고, 가장 가까운 선택지는 21.5, 답은 (D)이다.

x=27/5=5.4; 4x=4×5.4=21.6 ≈ 21.5 → (D)
정답
21.5
가로 길이는 대각선 27인치보다 짧고 세로보다 길어야 하므로 20대 초반 값이 자연스럽다 — 21.6이 잘 맞는다. 빠른 확인: 세로는 3x=16.2인치이고, 21.6²+16.2²=466.56+262.44=729=27²이므로 두 변이 정말로 27인치 대각선을 만든다. 함정은 27을 대각선이 아니라 한 변으로 보는 것인데, 그러면 27의 7칸 중 4칸은 약 15.4로 선택지에 아예 없어, 대각선으로 읽는 것이 맞음을 확인해 준다.
💡핵심 정리

4:3 화면의 대각선은 3-4-5 삼각형을 만들어 대각선이 5칸이니, 5칸으로 나눈 뒤 4칸을 가져오면 가로 길이다.

  • 대각선을 그어 직각삼각형 만들기
  • 비로 변에 이름 붙이기
  • 3-4-5 삼각형 쓰기
  • 가로 길이 구하기

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