AMC 10 · 2004 · #15

학년 7 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
optimizationsign-analysis convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
수 x는 -4부터 -2까지의 값을 가질 수 있고, 수 y는 2부터 4까지의 값을 가질 수 있다. 허용되는 모든 쌍 중에서 식 (x+y)/x가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-1
(B)
$-\frac12$
(C)
0
(D)
$\frac12$
(E)
1

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

이 문제는 입력값의 범위 전체에서 최댓값을 구하라고 한다. 이것이 바로 극단의 원리(도구 #14)가 쓰이는 상황이다: 가장 좋은 값은 중간 어딘가가 아니라 경계의 꼭짓점에 있다. 하지만 꼭짓점을 찾기 전에, 복잡한 분수를 더 깔끔한 모양으로 바꾸자(도구 #15): (x+y)/x=1+y/x. 이렇게 쪼개면 문제 전체가 작은 조각 하나, 즉 y/x에 관한 문제가 되어 x와 y를 어느 쪽으로 밀어야 할지 분명해진다. x ＜ 0이고 y ＞ 0이므로 조각 y/x는 항상 음수이고, 따라서 최댓값을 만들려면 이 값을 가장 덜 음수로 — 가장 작은 y를 가장 큰 |x|로 나눈 값으로 — 만들면 된다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 꼭짓점을 반대쪽 꼭짓점과 비교해 실제로 최댓값이 맞는지 확인한다. 반대쪽 꼭짓점은 선택지 중 가장 작은 값을 만든다.

1STEP 1

분수를 다시 쓰기

분자의 각 항을 x로 나누면 (x+y)/x = x/x + y/x = 1 + y/x. 1은 고정이니 y/x만 움직인다.

(x+y)/x=x/x+y/x=1+y/x
2STEP 2

부호 읽기

x는 항상 음수, y는 항상 양수이므로 y/x는 항상 음수다. 따라서 1 + y/x는 늘 1보다 작다.

x ＜ 0, y ＞ 0 → y/x ＜ 0
3STEP 3

가장 좋은 꼭짓점으로 밀기

분자는 가장 작게 y = 2, 분모는 크기가 가장 크게 x = -4로 잡으면 1 + (-1/2) = 1/2, 즉 (D).

y=2, x=-4: 1+2/-4=1-1/2=1/2 → (D)
정답
1/2
결과 1/2은 1보다 작으며, 이는 맞아떨어진다: y/x가 항상 음수이므로 1+y/x는 결코 1(선택지 (E))에 도달할 수 없다. 따라서 (E)는 불가능하고, 1/2이 바로 그 아래에 있는 것이 옳아 보인다. 반대쪽 꼭짓점은 최댓값을 확인하는 좋은 검산이다: 가장 큰 y=4를 가장 작은 |x|, 즉 x=-2로 나누면 1+4/-2=1-2=-1, 이는 선택지 (A) — 나열된 값 중 가장 작다. 그러므로 식은 실제로 -1부터 1/2까지 움직이며, 1/2이 그 최댓값이다.
💡핵심 정리

어려운 분수를 고정된 부분과 움직이는 부분으로 쪼갠 다음, 움직이는 부분을 극단으로 밀어라. 분자와 분모의 부호가 반대이면, 몫의 크기는 분자가 작고 분모가 클 때 가장 작아진다.

  • 분수를 다시 쓰기
  • 부호 읽기
  • 가장 좋은 꼭짓점으로 밀기

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