AMC 10 · 2004 · #15

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

optimizationsign-analysis convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$-4\leq x\leq-2$ 이고 $2\leq y\leq4$ 일 때, $\frac{x+y}{x}$ 가 가질 수 있는 가장 큰 값은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

$-\frac12$

(C)

(D)

$\frac12$

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수 $x$는 $-4$부터 $-2$까지의 값을 가질 수 있고, 수 $y$는 $2$부터 $4$까지의 값을 가질 수 있다. 허용되는 모든 쌍 중에서 식 $\frac{x+y}{x}$가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하라.

주어진 것: $x$는 $-4 \leq x \leq -2$ 범위이므로 항상 음수이다.; $y$는 $2 \leq y \leq 4$ 범위이므로 항상 양수이다.; 최댓값을 구할 식은 $\frac{x+y}{x}$이다.; 선택지: (A) $-1$, (B) $-\frac12$, (C) $0$, (D) $\frac12$, (E) $1$

구하는 것: $x$와 $y$의 허용 범위에서 $\frac{x+y}{x}$가 가질 수 있는 가장 큰 값.

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 입력값의 범위 전체에서 최댓값을 구하라고 한다. 이것이 바로 극단의 원리(도구 #14)가 쓰이는 상황이다: 가장 좋은 값은 중간 어딘가가 아니라 경계의 꼭짓점에 있다. 하지만 꼭짓점을 찾기 전에, 복잡한 분수를 더 깔끔한 모양으로 바꾸자(도구 #15): $\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}$. 이렇게 쪼개면 문제 전체가 작은 조각 하나, 즉 $\frac{y}{x}$에 관한 문제가 되어 $x$와 $y$를 어느 쪽으로 밀어야 할지 분명해진다. $x<0$이고 $y>0$이므로 조각 $\frac{y}{x}$는 항상 음수이고, 따라서 최댓값을 만들려면 이 값을 가장 덜 음수로 — 가장 작은 $y$를 가장 큰 $|x|$로 나눈 값으로 — 만들면 된다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 꼭짓점을 반대쪽 꼭짓점과 비교해 실제로 최댓값이 맞는지 확인한다. 반대쪽 꼭짓점은 선택지 중 가장 작은 값을 만든다.

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

분수를 다시 쓰기

분자의 각 항을 분모로 나누어 분수를 쪼갠다: $\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$.
$1$은 변하지 않으므로, 전체 식이 가장 커지는 것은 정확히 남은 조각 $\frac{y}{x}$가 가장 커질 때이다.
이렇게 하면 두 문자로 된 분수가 하나의 양 $\frac{y}{x}$에 관한 질문으로 바뀐다.

$$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{x}$$

💡 고정된 $1$을 떼어 내면 신경 쓸 움직이는 부분이 하나만 남는다.

#14 극단의 원리 7.NS.A.2 단계 2

부호 읽기

허용 범위에서 $x$는 항상 음수이고 $y$는 항상 양수이다.
양수를 음수로 나누면 음수가 되므로, 어떤 허용값을 골라도 $\frac{y}{x}$는 항상 음수이다.
즉 $1+\frac{y}{x}$는 항상 $1$보다 작다.
이를 최대한 크게 만들려면 $\frac{y}{x}$를 $0$ 쪽으로 밀어 올려야 한다 — 즉 음수인 $\frac{y}{x}$를 가능한 한 $0$에 가깝게 만들어야 한다.

$$x<0,\; y>0 \;\Rightarrow\; \dfrac{y}{x}<0$$

💡 분자와 분모의 부호가 반대이면 몫은 반드시 음수이므로, 할 수 있는 최선은 그 값을 $0$에 가깝게 만드는 것이다.

#14 극단의 원리 7.NS.A.3 단계 3

가장 좋은 꼭짓점으로 밀기

$\frac{y}{x}$의 크기는 $\frac{y}{|x|}$이다.
이 분수를 작게 만들려면(그래야 음수 값이 $0$에 가장 가까워진다) 분자를 가장 작게, 분모를 가장 크게 골라야 한다: 가장 작은 $y$는 $2$이고 가장 큰 $|x|$는 $4$, 즉 $x=-4$이다.
그러면 $\frac{y}{x}=\frac{2}{-4}=-\frac12$이므로 식은 $1+\left(-\frac12\right)=\frac12$이다.
이것이 가장 큰 값이며, 선택지 (D)와 일치한다.

$$y=2,\; x=-4:\quad 1+\dfrac{2}{-4}=1-\dfrac12=\dfrac12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 음의 분수는 분자가 작고 분모가 클 때 $0$ 쪽으로 줄어든다.

[1] #15 6.EE.A.3 분자의 각 항을 분모로 나누어 분수를 쪼갠다: $\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$.

[2] #14 7.NS.A.2 허용 범위에서 $x$는 항상 음수이고 $y$는 항상 양수이다. 양수를 음수로 나누면 음수가 되므로, 어떤 허용값을 골라도 $\frac{y}{x}

[3] #14 7.NS.A.3 $\frac{y}{x}$의 크기는 $\frac{y}{|x|}$이다. 이 분수를 작게 만들려면(그래야 음수 값이 $0$에 가장 가까워진다) 분자를

검토

합리성 확인: 결과 $\frac12$은 $1$보다 작으며, 이는 맞아떨어진다: $\frac{y}{x}$가 항상 음수이므로 $1+\frac{y}{x}$는 결코 $1$(선택지 (E))에 도달할 수 없다. 따라서 (E)는 불가능하고, $\frac12$이 바로 그 아래에 있는 것이 옳아 보인다. 반대쪽 꼭짓점은 최댓값을 확인하는 좋은 검산이다: 가장 큰 $y=4$를 가장 작은 $|x|$, 즉 $x=-2$로 나누면 $1+\frac{4}{-2}=1-2=-1$, 이는 선택지 (A) — 나열된 값 중 가장 작다. 그러므로 식은 실제로 $-1$부터 $\frac12$까지 움직이며, $\frac12$이 그 최댓값이다.

대안 접근: 다시 쓰기 과정을 건너뛰고 직사각형의 네 꼭짓점을 직접 대입해 보는 방법(빠짐없이 나열하기)도 있다: $(x,y)=(-4,2)\to\frac{-2}{-4}=\frac12$, $(-4,4)\to\frac{0}{-4}=0$, $(-2,2)\to\frac{0}{-2}=0$, $(-2,4)\to\frac{2}{-2}=-1$. 이 중 가장 큰 값은 $\frac12$이다. 식은 $x$와 $y$가 움직임에 따라 일정하게 변하므로 최댓값은 반드시 꼭짓점에 있고, 따라서 네 꼭짓점만 확인하면 충분하며 다시 (D)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($\frac{x+y}{x}$를 동치인 식 $1+\frac{y}{x}$로 다시 써서 변하는 조각 하나만 분리하기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (양수 $y$를 음수 $x$로 나누면 $\frac{y}{x}$가 음수가 되어 식이 $1$보다 작게 유지됨을 알아내기.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (가장 좋은 꼭짓점에서 $\frac{2}{-4}=-\frac12$을 계산하고 $1$과 합해 $\frac12$을 얻기.)

⭐ 어려운 분수를 고정된 부분과 움직이는 부분으로 쪼갠 다음, 움직이는 부분을 극단으로 밀어라. 분자와 분모의 부호가 반대이면, 몫의 크기는 분자가 작고 분모가 클 때 가장 작아진다.