AMC 10 · 2004 · #16

학년 3 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
systematic-enumerationsymmetry-argument caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
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문제
5×5 격자 안에 1×1부터 5×5까지 모든 크기의 정사각형이 격자선을 따라 그려져 있습니다. 격자의 정확히 한가운데에 있는 칸 하나가 검게 칠해져 있습니다. 이 정사각형들 중 그 검은 가운데 칸을 덮는 것이 몇 개인지 세어 보세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
15
(C)
17
(D)
19
(E)
20

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

정사각형의 크기가 다섯 가지뿐이므로, 깔끔한 방법은 세는 일을 크기별로 나누고(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 각 크기를 정리된 목록으로 따로 세는 것입니다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 그래야 빠뜨리거나 중복해서 세지 않습니다. 간단한 그림(도구 #1)으로 검은 칸을 세 번째 열, 세 번째 행에 고정해 두면, 각 정사각형을 그 위로 미끄러뜨리는 동안 목표가 움직이지 않습니다. 주어진 크기에서 핵심은, '가운데를 덮는다'는 것이 곧 정사각형이 좌우로 몇 개의 위치에서만, 그리고 위아래로도 같은 몇 개의 위치에서만 시작할 수 있다는 뜻임을 보는 것입니다. 그러면 배치는 작은 배열을 이룹니다. 다섯 크기에 대해 이 위치 배열을 세면 한 방향 위치의 수열 1,2,3,2,1이 나오고(도구 #5, 패턴 찾기), 그 제곱 1,4,9,4,1이 크기별로 더할 개수가 됩니다.

1STEP 1

가운데 칸 찾기

검은 칸은 5×5 격자의 정확히 한가운데, 즉 열 3, 행 3이고, 세는 모든 정사각형이 이 칸을 덮어야 합니다.

가운데 칸 = (열 3, 행 3)
2STEP 2

'가운데를 덮는다'를 밀기 세기로 바꾸기

k×k 정사각형을 왼쪽·아래 변으로 잡으면, 좌우 h개와 위아래 h개가 독립이라 배치는 h × h개입니다.

N_k = h_k × h_k = h_k^ 2
3STEP 3

각 크기의 위치 세기

가운데를 덮는 시작 위치는 1, 2, 3, 2, 1 (4×4는 열 6이 없어 2개) — 제곱하면 1, 4, 9, 4, 1.

h_k: 1,2,3,2,1 → N_k: 1,4,9,4,1
4STEP 4

모든 크기 더하기

다섯 크기 그룹은 겹치지 않으니 그냥 더합니다: 1 + 4 + 9 + 4 + 1 = 19, 선택지 (D).

1+4+9+4+1 = 19 → (D)
정답
19
개수 1,4,9,4,1은 대칭인데, 이는 이치에 맞습니다: 크기 k인 정사각형과 크기 6-k인 정사각형은 격자에 의해 거울상처럼 제한되므로 위치 수가 같습니다(1⇔1, 2⇔2). 합 19는 또한 격자 위 모든 정사각형의 총수 25+16+9+4+1 = 55보다 작은데, 일부 정사각형만 가운데를 덮으므로 당연합니다. 그리고 19는 선택지 (D)로 목록에 있습니다.
💡핵심 정리

한 자리를 덮는 정사각형이 몇 개인지 세려면, 각 크기를 좌우와 위아래로 미끄러뜨려 그 자리를 여전히 덮는 위치의 수를 두 번 세어 곱하고, 크기별로 더하세요 — 그리고 격자의 가장자리가 가장 큰 정사각형에게 자리를 적게 남긴다는 것을 기억하세요.

  • 가운데 칸 찾기
  • '가운데를 덮는다'를 밀기 세기로 바꾸기
  • 각 크기의 위치 세기
  • 모든 크기 더하기

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