AMC 10 · 2004 · #16

학년 3 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

systematic-enumerationsymmetry-argument caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

아래 $5\times 5$ 격자에는 $1\times 1$ 부터 $5\times 5$ 까지 여러 크기의 정사각형들이 들어 있습니다. 이 정사각형들 중 가운데의 검은 정사각형을 포함하는 것은 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5\times5$ 격자 안에 $1\times1$부터 $5\times5$까지 모든 크기의 정사각형이 격자선을 따라 그려져 있습니다. 한 칸 — 정확히 가운데에 있는 검은 정사각형 — 이 표시되어 있습니다. 이 정사각형들 중 그 가운데 칸을 덮는 것이 몇 개인지 세어 보세요.

주어진 것: 판은 단위 칸으로 이루어진 $5\times5$ 격자입니다.; 정사각형은 격자선을 따라 $1\times1$부터 $5\times5$까지 모든 크기로 그려집니다.; 한 칸 — 정확히 가운데의 검은 정사각형 — 이 목표입니다.; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $17$, (D) $19$, (E) $20$.

구하는 것: $1\times1$부터 $5\times5$까지 모든 크기 중, 검은 가운데 칸을 포함하는 격자 정렬 정사각형이 몇 개인지.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기

정사각형의 크기가 다섯 가지뿐이므로, 깔끔한 방법은 세는 일을 크기별로 나누고(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기) 각 크기를 정리된 목록으로 따로 세는 것입니다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 그래야 빠뜨리거나 중복해서 세지 않습니다. 간단한 그림(도구 #1)으로 검은 칸을 세 번째 열, 세 번째 행에 고정해 두면, 각 정사각형을 그 위로 미끄러뜨리는 동안 목표가 움직이지 않습니다. 주어진 크기에서 핵심은, '가운데를 덮는다'는 것이 곧 정사각형이 좌우로 몇 개의 위치에서만, 그리고 위아래로도 같은 몇 개의 위치에서만 시작할 수 있다는 뜻임을 보는 것입니다. 그러면 배치는 작은 배열을 이룹니다. 다섯 크기에 대해 이 위치 배열을 세면 한 방향 위치의 수열 $1,2,3,2,1$이 나오고(도구 #5, 패턴 찾기), 그 제곱 $1,4,9,4,1$이 크기별로 더할 개수가 됩니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 2.G.A.2 단계 1

가운데 칸 찾기

검은 정사각형은 격자의 한 칸입니다.
격자가 $5\times5$이므로 가운데 칸은 왼쪽에서 세 번째 열, 아래에서 세 번째 행에 있습니다.
$1\times1$부터 $5\times5$까지 우리가 세는 모든 정사각형은 이 한 칸 위에 놓여야 합니다.
그 가운데 칸을 표시해 두면 크기가 다른 정사각형들을 그 위로 미끄러뜨리는 동안 목표가 고정됩니다.

$$\text{가운데 칸} = (\text{열 }3,\ \text{행 }3)$$

💡 세기 시작하기 전에 모든 것이 덮어야 할 한 칸을 먼저 고정하세요.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 2

'가운데를 덮는다'를 밀기 세기로 바꾸기

$k\times k$ 정사각형을 그 왼쪽 변과 아래 변이 어디에 놓이는지로 생각하세요.
좌우로 미끄러뜨려 보면, 시작 위치가 몇 개일 때만 가운데 열(열 $3$)을 여전히 덮습니다.
그 수평 위치의 수를 세어 $h$라 합시다.
똑같은 이유로 위아래로도 같은 수 $h$개의 위치에서 가운데 행을 덮습니다.
좌우 선택과 위아래 선택은 서로 독립이므로, 전체 배치 수는 $h\times h = h^2$ — 선택의 정사각형 배열입니다.

$$N_k = h_k \times h_k = h_k^{\,2}$$

💡 좌우 선택 곱하기 위아래 선택은 배열의 칸처럼 모든 배치를 한 번씩 셉니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 3

각 크기의 위치 세기

각 크기마다 정사각형을 열 $3$ 위에 유지시키는 수평 위치 $h$를 세어 보세요.
$1\times1$은 가운데에 정확히 놓여야 합니다: $1$개 위치.
$2\times2$는 열 $2$나 $3$에서 시작할 수 있습니다: $2$개 위치.
$3\times3$은 열 $1$, $2$, $3$에서 시작할 수 있습니다: $3$개 위치.
$4\times4$도 시작 위치가 $3$개이길 바라지만, 열 $3$에서 시작하면 열 $3,4,5,6$이 필요한데 열 $6$은 없으므로 열 $1$과 $2$만 됩니다: $2$개 위치.
$5\times5$는 격자 전체를 채우므로 위치가 $1$개뿐입니다.
그래서 $h$는 $1,2,3,2,1$이 됩니다.
각각을 제곱하면(수평 $\times$ 수직) 배치는 $1,4,9,4,1$이 됩니다.

$$h_k:\ 1,2,3,2,1 \ \Rightarrow\ N_k:\ 1,4,9,4,1$$

💡 격자의 가장자리가 가장 큰 정사각형들의 자리를 막아서, $4\times4$와 $5\times5$는 처음 예상보다 자리가 적습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.A.1 단계 4

모든 크기 더하기

검은 가운데를 포함하는 모든 정사각형은 이 다섯 그룹에서 정확히 한 번씩 세어지므로, 이들을 더합니다: $1 + 4 + 9 + 4 + 1 = 19$.
이 합은 가운데 칸을 덮는 $1\times1$부터 $5\times5$까지 모든 정사각형을 센 것이며, 선택지 (D)와 일치합니다.

$$1+4+9+4+1 = 19 \ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 다섯 크기 그룹은 겹치지 않으므로 단순히 더하면 전체 합이 나옵니다.

[1] #1 2.G.A.2 검은 정사각형은 격자의 한 칸입니다. 격자가 $5\times5$이므로 가운데 칸은 왼쪽에서 세 번째 열, 아래에서 세 번째 행에 있습니다. $1

[2] #7 3.OA.A.1 $k\times k$ 정사각형을 그 왼쪽 변과 아래 변이 어디에 놓이는지로 생각하세요. 좌우로 미끄러뜨려 보면, 시작 위치가 몇 개일 때만 가운

[3] #2 3.OA.A.1 각 크기마다 정사각형을 열 $3$ 위에 유지시키는 수평 위치 $h$를 세어 보세요. $1\times1$은 가운데에 정확히 놓여야 합니다: $1$

[4] #2 2.OA.A.1 검은 가운데를 포함하는 모든 정사각형은 이 다섯 그룹에서 정확히 한 번씩 세어지므로, 이들을 더합니다: $1 + 4 + 9 + 4 + 1 = 1

검토

합리성 확인: 개수 $1,4,9,4,1$은 대칭인데, 이는 이치에 맞습니다: 크기 $k$인 정사각형과 크기 $6-k$인 정사각형은 격자에 의해 거울상처럼 제한되므로 위치 수가 같습니다($1\leftrightarrow1$, $2\leftrightarrow2$). 합 $19$는 또한 격자 위 모든 정사각형의 총수 $25+16+9+4+1 = 55$보다 작은데, 일부 정사각형만 가운데를 덮으므로 당연합니다. 그리고 $19$는 선택지 (D)로 목록에 있습니다.

대안 접근: 여사건 세기를 씁니다. 가운데를 포함하는 정사각형을 세는 대신, 놓치는 정사각형을 세어 총수 $55$에서 빼세요. 작은 정사각형만 가운데를 피할 수 있습니다: $25$개의 단위 정사각형 중 $24$개가 놓치고, $16$개의 $2\times2$ 정사각형 중 $12$개가 놓치며, 모든 $3\times3$, $4\times4$, $5\times5$ 정사각형은 가운데를 덮으므로 놓치는 것이 $0$개입니다. 놓치는 것의 합은 $24+12 = 36$이고, $55 - 36 = 19$ — 같은 답 (D)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.G.A.2 직사각형을 같은 크기의 정사각형 행과 열로 나누고 그 총 개수를 세기 ($5\times5$ 격자를 단위 정사각형의 행과 열로 읽고 가운데 칸을 열 3, 행 3으로 짚어내는 데 사용.)
3.OA.A.1 자연수의 곱을 같은 크기 묶음 또는 배열의 전체 개수로 해석하기 (각 정사각형 크기의 배치를 (수평 위치) $\times$ (수직 위치), 즉 직사각형 배열의 선택으로 세는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈과 뺄셈으로 한 단계 및 두 단계 문제 해결하기 (다섯 그룹의 개수 $1 + 4 + 9 + 4 + 1$을 더해 전체 합 $19$에 도달하는 데 사용.)

⭐ 한 자리를 덮는 정사각형이 몇 개인지 세려면, 각 크기를 좌우와 위아래로 미끄러뜨려 그 자리를 여전히 덮는 위치의 수를 두 번 세어 곱하고, 크기별로 더하세요 — 그리고 격자의 가장자리가 가장 큰 정사각형에게 자리를 적게 남긴다는 것을 기억하세요.