AMC 8 · 2020 · #9

학년 3 geometry-3dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationsystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

아카쉬의 생일 케이크는 한 변이 4 인치인 정육면체이고, 윗면과 옆면 4 개에는 아이싱이 발려 있지만 바닥에는 아이싱이 없습니다. 이 케이크를 한 변이 1 인치인 작은 정육면체 64 개로 잘랐을 때, 아이싱이 "정확히 두 면" 에만 묻은 작은 조각은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

6 면 중 5 면에만 아이싱이 있으므로, "꼭짓점은 3 면, 모서리는 2 면" 이라는 평소의 대칭 규칙이 바닥 쪽에서 깨집니다. 도구 #10(직접 만져보기) 으로 작은 정육면체 64 개를 실제로 쌓거나 그림으로 그리면, 어떤 위치의 작은 조각이 "정확히 두 면" 에 해당하는지 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 답이 될 수 있는 위치를 세 종류 — 윗 모서리, 세로 모서리, 바닥 꼭짓점 — 로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 각 종류를 빠뜨림이나 중복 없이 셉니다.

1STEP 1

64 조각을 위치별 — 꼭짓점·모서리·면 가운데·속 — 로 분류합니다. 조각은 겉면에 닿는 면만 아이싱됩니다.

꼭짓점=8, 모서리 가운데=12× 2=24, 면 중앙=6× 4=24, 속=2× 2× 2=8

2STEP 2

정확히 두 면이 될 수 있는 위치를 세 경우 — 윗 모서리, 세로 모서리, 바닥 꼭짓점 — 로 나눕니다.

경우 = {윗 모서리, 세로 모서리, 바닥 꼭짓점}

3STEP 3

윗 모서리: 4 개 윗 모서리마다 가운데 2 조각이 윗면과 옆면에 닿아 정확히 두 면 — 8 개.

4 개 윗 모서리 × 2 개 가운데 조각 = 8 개

4STEP 4

세로 모서리: 4 개 세로 모서리마다 가운데 2 조각이 옆면 둘에 닿아 또 정확히 두 면 — 8 개.

4 개 세로 모서리 × 2 개 가운데 조각 = 8 개

5STEP 5

바닥 꼭짓점: 바닥의 꼭짓점 4 곳은 옆면 둘과 맨 바닥에 닿아 정확히 두 면 — 4 개. 바닥 모서리 가운데는 옆면 하나뿐.

4 개 바닥 꼭짓점 × 1 = 4 개

6STEP 6

세 무리를 더하면 정확히 두 면에 아이싱이 묻은 조각의 총 개수가 나옵니다.

8 + 8 + 4 = 20 → (D)

정답

장부를 맞춰 보면 64 개 작은 조각이 모두 분류되는지 확인할 수 있습니다 — 속에 묻힌 8 개(0 면), 옆면 4 개의 중앙 4 × 4 = 16 개(1 면), 바닥 중앙 4 개(0 면), 윗면 중앙 4 개(1 면), 바닥 모서리 가운데 4 × 2 = 8 개(1 면), "정확히 2 면" 우리가 센 20 개, 윗 꼭짓점 4 개(3 면). 합 = 8 + 16 + 4 + 4 + 8 + 20 + 4 = 64 로 딱 맞으므로 20 은 모순 없이 일관됩니다. 또 20 은 선택지 (D) 에 그대로 들어 있어 답으로 적합합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 덧셈만 알면 풀 수 있어요 — 모서리와 꼭짓점을 세어서 곱하기로 묶고, 마지막에 더해 주면 끝!

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