AMC 8 · 2024 · #17

학년 3 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

systematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

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문제

3 × 3 격자에 서로 구별되는 흰색 킹과 검은색 킹을 한 칸씩 놓습니다. 두 킹이 서로 공격하지 않도록(가로·세로·대각선으로 바로 옆 칸에 있지 않도록) 배치하는 방법의 수를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

3 × 3 격자라는 작은 그림에서 일어나는 일이므로 가장 먼저 #1 그림 그리기 로 9칸을 그려 놓고 흰 킹을 어디에 놓을 수 있는지 직접 살펴봅니다. 그림을 보면 칸은 모서리·변·중앙 의 세 종류로 자연스럽게 나뉘고, 각 종류마다 공격하는 칸 수가 다릅니다. 그래서 #7 작은 문제로 쪼개기 로 "흰 킹이 모서리에 있을 때", "변에 있을 때", "중앙에 있을 때" 의 세 작은 문제로 나누어 풀고, 각 경우 안에서는 #2 빠짐없이 나열하기 (곱의 법칙) 로 검은 킹의 자리 수를 셉니다. 마지막에 #3 가능성 지우기 로 합한 값을 선택지와 맞춰 확인합니다. 객관식 문제이므로 단순한 시각·세기 도구만으로 충분하고, 굳이 대수 도구는 필요 없습니다.

1STEP 1

9칸을 위치에 따라 모서리 4개·변 4개·중앙 1개로 나눕니다 — 4 + 4 + 1 = 9, 모든 칸이 한 번씩 분류됩니다.

모서리=4, 변=4, 중앙=1, 합=9

2STEP 2

킹은 모서리에서 3칸, 변에서 5칸, 중앙에서 8칸을 공격합니다 — 핵심 숫자는 3, 5, 8.

모서리 공격수=3, 변 공격수=5, 중앙 공격수=8

3STEP 3

흰 킹 위치(모서리·변·중앙)로 나누고, 각 경우를 (흰 자리) × (9 - 1 - 공격수)로 셉니다.

경우당 가짓수 = (흰 킹 자리 수) × (9 - 1 - 공격수)

4STEP 4

경우 ①, 흰 킹이 모서리: 4자리 각각 9 - 4 = 5칸이 남아 4 × 5 = 20.

4 × (9 - 1 - 3) = 4 × 5 = 20

5STEP 5

경우 ②, 흰 킹이 변: 6칸을 막아 9 - 6 = 3칸이 남으므로 4 × 3 = 12.

4 × (9 - 1 - 5) = 4 × 3 = 12

6STEP 6

경우 ③, 중앙의 흰 킹이 9칸을 다 막아 9 - 9 = 0칸이 남으므로 1 × 0 = 0 — 검은 킹 자리가 없습니다.

1 × (9 - 1 - 8) = 1 × 0 = 0

7STEP 7

세 위치는 겹치지 않게 격자를 나눈 것이므로 경우를 더하면 20 + 12 + 0 = 32가지.

20 + 12 + 0 = 32

8STEP 8

32를 선택지와 맞추면 (A) 20은 경우 ①뿐, (D) 28은 4가 모자라며 — 정답은 정확히 (E).

32 → (E)

정답

답을 다른 방법으로 검산해 봅니다. 전체 (흰, 검) 배치는 같은 칸을 못 쓰므로 9 × 8 = 72 가지입니다. 서로 공격하는(이웃한) 칸 쌍의 수를 세 보면, 3 × 3 격자의 가로·세로 이웃은 3 · 2 + 2 · 3 = 12 쌍, 대각선 이웃은 2 · 2 · 2 = 8 쌍, 합 20 쌍입니다. 흰·검의 순서를 구별하므로 공격하는 배치는 20 × 2 = 40. 따라서 공격하지 않는 배치는 72 - 40 = 32. 케이스 분석으로 구한 답과 정확히 일치합니다. 또 중앙에 놓으면 무조건 0이라는 사실, 모서리 경우 20 이 가장 크다는 사실이 그림으로도 직관에 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 "경우 나눠 더하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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