AMC 10 · 2005 · #7

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratelinear-equations-one-varratio-proportion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rateratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Josh와 Mike는 $13$ 마일 떨어진 곳에 삽니다. 어제 Josh가 먼저 Mike의 집을 향해 자전거를 타기 시작했습니다. 조금 뒤 Mike가 Josh의 집을 향해 자전거를 타기 시작했습니다. 두 사람이 만났을 때, Josh는 Mike보다 두 배 오랜 시간 동안, 그리고 Mike의 속력의 $\tfrac{4}{5}$ 로 탔습니다. 두 사람이 만났을 때 Mike는 몇 마일을 탔습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 집은 $13$마일 떨어져 있습니다. 한 사람(Josh)이 먼저 상대의 집을 향해 자전거를 타기 시작하고, 조금 뒤에 다른 사람(Mike)이 Josh의 집을 향해 출발합니다. 두 사람이 만났을 때 Josh는 Mike보다 두 배 오래 탔고 속력은 Mike의 $\tfrac{4}{5}$였습니다. 만나는 순간 Mike가 몇 마일을 탔는지 구하세요.

주어진 것: 두 집은 $13$마일 떨어져 있습니다; 두 사람이 서로를 향해 달리므로, 만날 때 둘이 탄 거리를 합치면 $13$마일 전체가 됩니다; Josh가 탄 시간은 Mike가 탄 시간의 두 배입니다; Josh의 속력은 Mike의 속력의 $\tfrac{4}{5}$입니다; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 두 사람이 만났을 때 Mike가 탄 거리(마일)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

이 문제는 Mike의 속력, Mike의 시간, 그리고 두 거리라는 세 가지 미지수를 숨긴 것처럼 보이지만, 잘 고른 하나의 변수가 모든 것을 무너뜨립니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 Mike가 탄 거리를 $m$이라 부르면, '두 배의 시간'과 '$\tfrac{4}{5}$의 속력'이라는 두 조건이 속력이나 시간을 따로 알 필요 없이 Josh의 거리를 $m$에 묶어 줍니다. 그 묶음을 정당하게 만들어 주는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)입니다. 거리 $=$ 속력 $\times$ 시간이므로, 시간 배수 $2$와 속력 배수 $\tfrac{4}{5}$가 거리 배수 $\tfrac{8}{5}$로 곱해집니다. 그러면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '두 거리의 합은 $13$'이라는 말을 $m$에 관한 한 줄 방정식으로 바꿔 줍니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기

Mike가 탄 거리를 $m$마일이라 합시다.
누구에게나 거리는 속력 곱하기 시간입니다.
Mike의 속력을 $r$, Mike의 시간을 $t$라 쓰면 $m = r\,t$입니다.
$r$과 $t$의 실제 값은 필요하지 않습니다.
이름을 붙이는 것은 모두가 사라지기 전에 Josh를 같은 말로 묘사하기 위함일 뿐입니다.

$$m = r\,t \quad(\text{Mike: 속력 } r,\ \text{시간 } t)$$

💡 구하려는 대상에 먼저 이름을 붙이고, 나머지를 모두 그것으로 표현합니다.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.2 단계 2

Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기

Josh는 Mike의 두 배 시간, 즉 $2t$ 동안 타고, Mike의 $\tfrac{4}{5}$ 속력, 즉 $\tfrac{4}{5}r$로 탑니다.
그의 거리는 속력 곱하기 시간이므로 $\left(\tfrac{4}{5}r\right)(2t) = \tfrac{8}{5}\,r\,t$입니다.
그런데 $r\,t$는 바로 Mike의 거리 $m$이므로, Josh는 $\tfrac{8}{5}m$마일을 탑니다.
미지수 $r$과 $t$는 따로 나타나지 않고, 오직 그 곱인 $m$만 남습니다.

$$\text{Josh} = \left(\tfrac{4}{5}r\right)(2t) = \tfrac{8}{5}\,r\,t = \tfrac{8}{5}m$$

💡 거리는 속력 곱하기 시간이므로, 시간을 $2$배, 속력을 $\tfrac{4}{5}$배 하면 거리는 $2\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{8}{5}$배가 됩니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

두 거리를 더해 13마일 간격 메우기

두 사람이 서로를 향해 곧장 달리므로, 만날 때 두 사람의 거리를 합치면 집 사이의 $13$마일 전체가 됩니다.
Mike는 $m$, Josh는 $\tfrac{8}{5}m$을 탔으므로 $m + \tfrac{8}{5}m = 13$입니다.
$m$을 $\tfrac{5}{5}m$으로 쓰고 더하면 $\tfrac{13}{5}m = 13$이 됩니다.

$$m + \tfrac{8}{5}m = \tfrac{5}{5}m + \tfrac{8}{5}m = \tfrac{13}{5}m = 13$$

💡 정면으로 만난다는 것은 각자 탄 조각들이 둘 사이의 전체 거리를 채운다는 뜻입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

Mike의 거리 풀기

방정식 $\tfrac{13}{5}m = 13$은 $p\,m = q$ 꼴입니다.
양변에 $\tfrac{5}{13}$을 곱하면(또는 $\tfrac{13}{5}$로 나누면) $m = 13 \cdot \tfrac{5}{13} = 5$입니다.
따라서 Mike는 $5$마일을 탔고, 선택지 (B)입니다.
확인하면 Josh는 $\tfrac{8}{5}\cdot 5 = 8$마일을 탔고, $5 + 8 = 13$입니다.

$$m = 13 \cdot \tfrac{5}{13} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 깔끔한 나눗셈 한 번이 $m$ 앞의 분수를 없애 거리를 드러냅니다.

[1] #4 6.EE.B.6 Mike가 탄 거리를 $m$마일이라 합시다. 누구에게나 거리는 속력 곱하기 시간입니다. Mike의 속력을 $r$, Mike의 시간을 $t$라 쓰

[2] #8 7.RP.A.2 Josh는 Mike의 두 배 시간, 즉 $2t$ 동안 타고, Mike의 $\tfrac{4}{5}$ 속력, 즉 $\tfrac{4}{5}r$로 탑니

[3] #13 6.EE.B.7 두 사람이 서로를 향해 곧장 달리므로, 만날 때 두 사람의 거리를 합치면 집 사이의 $13$마일 전체가 됩니다. Mike는 $m$, Josh는

[4] #4 6.EE.B.7 방정식 $\tfrac{13}{5}m = 13$은 $p\,m = q$ 꼴입니다. 양변에 $\tfrac{5}{13}$을 곱하면(또는 $\tfrac{

검토

합리성 확인: Mike는 더 빠르고 더 짧게 타며, Josh는 더 느리지만 훨씬 오래 탑니다. 그래서 Josh가 $13$마일 중 더 큰 몫을 차지해야 합니다. 우리 답은 Mike $5$마일, Josh $8$마일로, 실제로 Josh의 몫이 더 크고 합이 정확히 $13$입니다. Mike의 $5$마일은 $13$의 절반보다 작은데, 이는 '두 배 시간에 $\tfrac{4}{5}$ 속력'이라는 불리함 때문에 Josh가 더 멀리 간다는 사실과 맞습니다. 헷갈리기 쉬운 오답은 $8$인데, 이는 Mike가 아니라 Josh의 거리입니다.

대안 접근: 거리 비로 바로 따져 봅니다. 거리는 속력 곱하기 시간에 비례하므로, Josh의 거리 대 Mike의 거리 비는 $\tfrac{4}{5}\times 2 = \tfrac{8}{5}$, 즉 Mike : Josh $= 5 : 8$입니다. 이 부분들을 더하면 $5 + 8 = 13$부분이고 실제 합은 $13$마일이므로, 한 부분은 정확히 $1$마일입니다. 따라서 Mike의 $5$부분은 $5$마일, 다시 선택지 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 쓰기 (Mike의 거리 $m$과 그의 속력·시간 $r$, $t$에 이름을 붙여 Josh를 같은 말로 묘사하는 데 사용합니다.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식하고 표현하기 (시간 배수 $2$와 속력 배수 $\tfrac{4}{5}$를 하나의 거리 배수 $\tfrac{8}{5}$로 합쳐 Josh의 거리를 $\tfrac{8}{5}m$으로 나타내는 데 사용합니다.)
6.EE.B.7 px = q 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 ($m + \tfrac{8}{5}m = 13$을 세우고 $\tfrac{13}{5}m = 13$으로 줄여 $m = 5$를 푸는 데 사용합니다.)

⭐ 구하려는 거리에 이름을 붙이고, 거리 = 속력 × 시간으로 '두 배 시간에 $\tfrac{4}{5}$ 속력'을 하나의 수($\tfrac{8}{5}$)로 바꾸면, 정면으로 만나 합이 $13$마일이라는 조건이 단 한 단계로 풀립니다.