AMC 10 · 2007 · #13

학년 7 rate-ratio
유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance
rateratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
Yan은 집과 경기장을 잇는 직선 도로 위 어딘가에 서 있습니다. 그는 경기장으로 곧장 걸어갈 수도 있고, 아니면 먼저 집으로 되돌아 걸어간 다음 자전거를 타고 경기장으로 갈 수도 있습니다. 자전거는 걷는 속력의 7배입니다. 두 경로는 걸리는 시간이 똑같습니다. 그의 집으로부터의 거리와 경기장으로부터의 거리의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{2}{3}$
(B)
$\frac{3}{4}$
(C)
$\frac{4}{5}$
(D)
$\frac{5}{6}$
(E)
$\frac{7}{8}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제는 실제 숫자 없이 관계만 주므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 들어가는 길입니다: Yan의 집으로부터의 거리를 h, 경기장으로부터의 거리를 s, 걷는 속력을 w라 이름 붙입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 집-Yan-경기장의 순서를 직선 위에 고정하며, 이것이 집에서 경기장까지의 거리를 h+s로 만드는 근거입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 필요한 물리 사실 하나를 줍니다: 시간 = 거리 ÷ 속력, 그래서 각 경로의 시간은 길이를 속력으로 나눈 것입니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '두 경로의 시간이 같다'를 하나의 방정식으로 바꾸고, 모든 항이 같은 w를 지니므로 모르는 속력이 소거되어 비만 남습니다.

1STEP 1

직선을 그리고 각 부분에 이름 붙이기

집, Yan, 경기장 순으로 놓고 집까지 h, 경기장까지 s, 걷는 속력 w, 자전거 7w. 도로 전체는 h + s입니다.

집 h{40pt{0.4pt}} Yan s{40pt{0.4pt}} 경기장, 집에서 경기장까지 = h + s
2STEP 2

각 경로의 시간 쓰기

시간은 거리 나누기 속력입니다. 경로 1은 sw\frac{s}{w}, 경로 2는 걸은 뒤 도로 전체를 달려 hw+h+s7w\frac{h}{w}+\frac{h+s}{7w}입니다.

t₁ = s/w, t₂ = h/w + (h+s)/7w
3STEP 3

두 시간을 같다고 놓기

두 경로의 시간이 같으므로 sw=hw+h+s7w\frac{s}{w}=\frac{h}{w}+\frac{h+s}{7w}, h, s, w를 잇는 방정식 하나가 나옵니다.

s/w = h/w + (h+s)/7w
4STEP 4

속력을 없애고 정리하기

양변에 7w를 곱하면 걷는 속력이 통째로 소거되어 7s = 7h + h + s, 정리하면 6s = 8h입니다.

7s = 7h + (h+s) → 7s = 8h + s → 6s = 8h
5STEP 5

비 읽어내기

6s = 8h의 양변을 8s로 나누면 집까지와 경기장까지의 거리 비는 6 대 8, 즉 34\frac{3}{4}이고 보기 (B)입니다.

6s = 8h → h/s = 6/8 = 3/4 → (B)
정답
3/4
구체적인 숫자로 비를 확인합니다. h = 3, s = 4(h/s = 3/4이 되도록)로 잡고 걷는 속력 w = 1이라 합시다. 경로 1은 s/w = 4가 걸립니다. 경로 2는 집까지 h/w = 3이 걸리고, 그다음 전체 h+s = 7을 속력 7로 달려 7/7 = 1이 걸려 합이 3 + 1 = 4입니다. 두 경로가 모두 4로 정확히 맞으므로 3/4이 맞습니다. Yan이 경기장보다 집에 더 가깝다는 것도 이치에 맞습니다: 집으로 되돌아가는 손해는 그 뒤의 긴 구간을 아주 빠르게 달리기 때문에만 만회됩니다.
💡핵심 정리

여정에 실제 숫자가 없으면 거리와 속력을 문자로 이름 붙이고 각 시간을 거리 나누기 속력으로 쓰세요. 그러면 모르는 속력이 소거되고 원하는 비만 남습니다.

  • 직선을 그리고 각 부분에 이름 붙이기
  • 각 경로의 시간 쓰기
  • 두 시간을 같다고 놓기
  • 속력을 없애고 정리하기
  • 비 읽어내기

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