AMC 10 · 2006 · #15
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 사람은 크기가 다른 원 위에 있으므로 달린 미터 수를 그대로 비교하면 오해가 생긴다. 두 사람을 나란히 놓는 것은 각자 원을 얼마나 돌았는지, 즉 바퀴 수다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 분당 미터 속도를 둘레 2π r로 나눠 '한 바퀴에 몇 분'으로 바꾸고, 이때 숨은 우연 — 두 사람의 한 바퀴 시간이 같다는 것 — 이 드러난다. 도구 #1(그림 그리기)은 '스쳐 지나감'을 '같은 반지름 선'으로 바꿔 레인 차이를 없앤다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 바퀴 시간을 T로 이름 붙여 반대 방향 운동을 일정한 만남 간격으로 바꾼다. 마지막으로 값이 정수 바로 아래로 나오므로 도구 #3(가능성 지우기)이 선택지에 비추어 48이냐 47이냐 하는 반올림 함정을 정리한다.
스쳐 지나감을 같은 각도로 바꾸기
레인이 달라 부딪힐 일은 없다. 지나침은 같은 반지름 선, 곧 한 바퀴의 같은 비율 지점에 놓인다는 뜻이라 각도만 중요하다.
트랙에서 나란히 있다는 것은 중심에서 같은 방향으로 뻗어 있다는 뜻이라, 레인 크기 차이는 사라지고 각도만 남는다.
7.G.B.4Draw A Diagram각자의 한 바퀴 시간 구하기
Odell의 한 바퀴는 100π m ÷ 250, Kershaw는 120π m ÷ 300 — 둘 다 T = 0.4π분이다.
한 바퀴 미터를 분당 미터로 나누면 속도가 '바퀴당 분'으로 뒤집히고, 큰 레인의 더 긴 트랙이 그 주인의 더 빠른 속도를 정확히 상쇄한다.
7.RP.A.1Analyze The Units반대 방향을 만남 간격으로 바꾸기
반대 방향이라 간격이 두 배로 빨리 좁혀져 반 바퀴 시간마다, 곧 0.2π분마다 나란히 놓인다.
고리를 따라 서로를 향해 달리면 간격이 두 배로 빨리 좁혀지므로, 한 바퀴만큼의 간격이 한 사람 바퀴 시간의 절반마다 소진된다.
고리를 따라 서로를 향해 달리면 한 사람만 달릴 때보다 간격이 두 배 빠르게 좁혀진다.
▸ 왜?
두 물체가 서로를 향해 움직이면, 간격은 두 속도의 합만큼 달라진다.
▸ 왜?
한 바퀴가 지나면 모든 것이 처음 자리로 돌아오므로, 만남이 그 주기로 되풀이된다.
30분 동안의 만남 횟수 세기
30 ÷ 0.2π = 150/π ≈ 47.75이고 48번째 만남은 ≈ 30.2분이라 늦으니, 만남은 47번 — (D).
시간이 다 되기 전에 실제로 일어난 만남만 세므로, 47.75는 올림이 아니라 버림한다.
7.NS.A.3Eliminate Possibilities레인이 다르면 한 바퀴 길이만 달라지니 속도를 바퀴당 분으로 바꿔라. 여기서는 두 사람의 한 바퀴 시간이 같고, 반대로 달리니 반 바퀴마다 만나며, 30 ÷ 0.2π ≈ 47.75는 버림해 실제로 47번 지나간다.
- 스쳐 지나감을 같은 각도로 바꾸기
- 각자의 한 바퀴 시간 구하기
- 반대 방향을 만남 간격으로 바꾸기
- 30분 동안의 만남 횟수 세기