AMC 10 · 2006 · #15
학년 7 geometry-2dOdell과 Kershaw가 원형 트랙에서 30 분 동안 달린다. Odell은 시계 방향으로 250m/min 의 속력으로 반지름이 50 미터인 안쪽 레인에서 달린다. Kershaw는 반시계 방향으로 300m/min 의 속력으로 반지름이 60 미터인 바깥쪽 레인에서 달리며, Odell과 같은 반지름 직선 위에서 출발한다. 출발 후 두 사람은 서로 몇 번 지나치는가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 사람이 원형 트랙의 같은 반지름 선 위에서 출발해 $30$분 동안 달린다. Odell은 안쪽 레인(반지름 $50$ m)에서 시계 방향으로 분당 $250$ m로 달리고, Kershaw는 바깥쪽 레인(반지름 $60$ m)에서 반시계 방향으로 분당 $300$ m로 달린다. 출발 후 두 사람이 같은 반지름 선 위에 놓이는 횟수, 즉 서로 스쳐 지나가는 횟수를 센다.
주어진 것: 총 달리는 시간은 $30$분; Odell: 시계 방향, 분당 $250$ m, 반지름 $50$ m; Kershaw: 반시계 방향, 분당 $300$ m, 반지름 $60$ m; 두 사람은 같은 반지름 선(같은 각도)에서 출발한다; 선택지: (A) 29, (B) 42, (C) 45, (D) 47, (E) 50
구하는 것: 출발 후 두 사람이 서로 스쳐 지나가는 횟수
이해
문제 재정리: 두 사람이 원형 트랙의 같은 반지름 선 위에서 출발해 $30$분 동안 달린다. Odell은 안쪽 레인(반지름 $50$ m)에서 시계 방향으로 분당 $250$ m로 달리고, Kershaw는 바깥쪽 레인(반지름 $60$ m)에서 반시계 방향으로 분당 $300$ m로 달린다. 출발 후 두 사람이 같은 반지름 선 위에 놓이는 횟수, 즉 서로 스쳐 지나가는 횟수를 센다.
주어진 것: 총 달리는 시간은 $30$분; Odell: 시계 방향, 분당 $250$ m, 반지름 $50$ m; Kershaw: 반시계 방향, 분당 $300$ m, 반지름 $60$ m; 두 사람은 같은 반지름 선(같은 각도)에서 출발한다; 선택지: (A) 29, (B) 42, (C) 45, (D) 47, (E) 50
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기
두 사람은 크기가 다른 원 위에 있으므로 달린 미터 수를 그대로 비교하면 오해가 생긴다. 두 사람을 나란히 놓는 것은 각자 원을 얼마나 돌았는지, 즉 바퀴 수다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 분당 미터 속도를 둘레 $2\pi r$로 나눠 '한 바퀴에 몇 분'으로 바꾸고, 이때 숨은 우연 — 두 사람의 한 바퀴 시간이 같다는 것 — 이 드러난다. 도구 #1(그림 그리기)은 '스쳐 지나감'을 '같은 반지름 선'으로 바꿔 레인 차이를 없앤다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 바퀴 시간을 $T$로 이름 붙여 반대 방향 운동을 일정한 만남 간격으로 바꾼다. 마지막으로 값이 정수 바로 아래로 나오므로 도구 #3(가능성 지우기)이 선택지에 비추어 $48$이냐 $47$이냐 하는 반올림 함정을 정리한다.
실행 — 정답: D
7.G.B.4 단계 1 스쳐 지나감을 같은 각도로 바꾸기
- 두 사람은 서로 다른 레인에 있어 결코 부딪히지 않는다.
- 두 사람이 '스쳐 지나가는' 것은 같은 반지름 선 위, 즉 원을 도는 같은 비율의 지점에 놓일 때다.
- 그래서 반지름 $50$과 $60$은 한 바퀴 길이만 알려줄 뿐, 우리가 실제로 추적하는 것은 각자의 각도 위치이며, 이를 바퀴 단위로 잰다.
💡 트랙에서 나란히 있다는 것은 중심에서 같은 방향으로 뻗어 있다는 뜻이라, 레인 크기 차이는 사라지고 각도만 남는다.
7.RP.A.1 단계 2 각자의 한 바퀴 시간 구하기
- 한 바퀴 길이는 둘레 $2\pi r$다.
- Odell의 한 바퀴는 $2\pi(50) = 100\pi$ 미터이고 분당 $250$ m로 달리므로 $100\pi / 250 = 0.4\pi$분 걸린다.
- Kershaw의 한 바퀴는 $2\pi(60) = 120\pi$ 미터이고 분당 $300$ m로 $120\pi / 300 = 0.4\pi$분 걸린다.
- 단위를 보라: $\text{m} \div (\text{m}/\text{min}) = \text{min}$.
- 두 사람의 한 바퀴 시간은 정확히 같다: $T = 0.4\pi$ 분/바퀴.
💡 한 바퀴 미터를 분당 미터로 나누면 속도가 '바퀴당 분'으로 뒤집히고, 큰 레인의 더 긴 트랙이 그 주인의 더 빠른 속도를 정확히 상쇄한다.
7.NS.A.1 단계 3 반대 방향을 만남 간격으로 바꾸기
- 공유하는 한 바퀴 시간을 $T = 0.4\pi$로 이름 붙이자.
- 두 사람은 반대로 돌기에, 시간 $t$가 지나면 Odell은 한쪽으로 $t/T$ 바퀴, Kershaw는 반대쪽으로 $t/T$ 바퀴를 돌아, 둘 사이 각도 차이는 $2\,(t/T)$ 바퀴가 된다.
- 이 차이가 정수 바퀴가 될 때마다 두 사람이 나란히 놓인다: $2\,(t/T) = 1, 2, 3, \dots$ 따라서 만남은 한 바퀴 시간의 절반마다, 즉 $T/2 = 0.2\pi$분마다 일어나고 첫 만남은 $t = 0.2\pi$분이다.
💡 고리를 따라 서로를 향해 달리면 간격이 두 배로 빨리 좁혀지므로, 한 바퀴만큼의 간격이 한 사람 바퀴 시간의 절반마다 소진된다.
7.NS.A.3 단계 4 30분 동안의 만남 횟수 세기
- 만남 횟수는 $30$분 안에 만남 간격이 몇 번 들어가는지다: $30 \div 0.2\pi = \dfrac{150}{\pi} \approx 47.75$.
- 완성된 만남만 세는데, 소수 부분 $0.75$는 $48$번째 만남을 끝내지 못한다.
- 경계를 확인하자: $47$번째 만남은 $47 \times 0.2\pi = 9.4\pi \approx 29.5$분($30$분 이내)이고, $48$번째는 $9.6\pi \approx 30.2$분(너무 늦음)이다.
- 따라서 만남은 $47$번, 즉 $\textbf{(D) } 47$이다.
💡 시간이 다 되기 전에 실제로 일어난 만남만 세므로, $47.75$는 올림이 아니라 버림한다.
7.G.B.4 두 사람은 서로 다른 레인에 있어 결코 부딪히지 않는다. 두 사람이 '스쳐 지나가는' 것은 같은 반지름 선 위, 즉 원을 도는 같은 비율의 지점 7.RP.A.1 한 바퀴 길이는 둘레 $2\pi r$다. Odell의 한 바퀴는 $2\pi(50) = 100\pi$ 미터이고 분당 $250$ m로 달리므로 $1 7.NS.A.1 공유하는 한 바퀴 시간을 $T = 0.4\pi$로 이름 붙이자. 두 사람은 반대로 돌기에, 시간 $t$가 지나면 Odell은 한쪽으로 $t/T$ 7.NS.A.3 만남 횟수는 $30$분 안에 만남 간격이 몇 번 들어가는지다: $30 \div 0.2\pi = \dfrac{150}{\pi} \approx 47 검토
합리성 확인: 크기를 어림하자: $0.2\pi \approx 0.63$분마다 한 번씩 $30$분 동안이면 대략 $30/0.63 \approx 48$번이므로, 답은 $40$대 후반이 맞고 $29$나 $42$는 배제된다. 정확한 값 $150/\pi \approx 47.75$는 정수가 아니므로 마지막으로 완성된 만남인 $47$로 버려야 하고, 경계 확인이 $48$번째 만남이 $\approx 30.2$분, 즉 종료 직후임을 보여준다. 함정 답 $\textbf{(E) } 50$은 $47.75$를 올림하거나 반 바퀴 간격을 잘못 다룬 데서 나오고, $\textbf{(C) } 45$/$\textbf{(B) } 42$는 바퀴 대신 미터를 비교한 데서 나온다.
대안 접근: 각속도를 바로 쓰자: 도는 속도는 $v/r$이므로 Odell은 $250/50 = 5$, Kershaw는 $300/60 = 5$ 라디안/분이다. 반대 방향은 더해지므로 두 사람의 각도 위치는 $5 + 5 = 10$ 라디안/분으로 벌어진다. 상대 회전이 한 바퀴, 즉 $2\pi$ 라디안 될 때마다 한 번 지나가므로, 횟수는 $\dfrac{10 \times 30}{2\pi} = \dfrac{300}{2\pi} = \dfrac{150}{\pi} \approx 47.75$가 되어 $47$번 — 같은 답이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 (둘레 $2\pi r$로 각 레인의 반지름을 한 바퀴 길이로 바꾸고, '스쳐 지나감'을 원 위에서 같은 각도를 공유하는 것으로 다루는 데 사용.)7.RP.A.1분수 비율에 관한 단위비율 구하기 (한 바퀴 길이(미터)를 속도(분당 미터)로 나눠 각자의 바퀴당 분을 구하고, 둘 다 $0.4\pi$로 같음을 발견하는 데 사용.)7.NS.A.1덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수로 확장하기 (반대 방향 두 운동을 합쳐 각도 차이가 두 속도의 합만큼 벌어지게 하고, 한 바퀴 시간 절반마다 한 번씩 지나가게 하는 데 사용.)7.NS.A.3유리수의 사칙연산을 활용한 실생활 문제 해결 ($30$분을 만남 간격 $0.2\pi$로 나누고 $47.75$를 완성된 만남 $47$번으로 해석하는 데 사용.)
⭐ 레인이 다르면 한 바퀴 길이만 달라지니 속도를 바퀴당 분으로 바꿔라. 여기서는 두 사람의 한 바퀴 시간이 같고, 반대로 달리니 반 바퀴마다 만나며, $30 \div 0.2\pi \approx 47.75$는 버림해 실제로 $47$번 지나간다.
⭐ 레인이 다르면 한 바퀴 길이만 달라지니 속도를 바퀴당 분으로 바꿔라. 여기서는 두 사람의 한 바퀴 시간이 같고, 반대로 달리니 반 바퀴마다 만나며, $30 \div 0.2\pi \approx 47.75$는 버림해 실제로 $47$번 지나간다.
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