AMC 10 · 2004 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-trianglepythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 $ABCD$ 의 변 위에 두 점 $E$ 와 $F$ 가 있어서 삼각형 $BEF$ 가 정삼각형이 됩니다. 삼각형 $DEF$ 의 넓이와 삼각형 $ABE$ 의 넓이의 비는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{3}$

(B)

$\frac{3}{2}$

(C)

$\sqrt{3}$

(D)

(E)

$1+\sqrt{3}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 ABCD의 변 위에 두 점 E와 F가 있어서 삼각형 BEF가 정삼각형이 되고, E는 변 AD 위에, F는 변 DC 위에 있다. 삼각형 DEF의 넓이와 삼각형 ABE의 넓이의 비를 구하여라.

주어진 것: ABCD는 정사각형이다.; E는 변 AD 위에, F는 변 DC 위에 있다.; 삼각형 BEF는 정삼각형이므로 세 변 BE, EF, FB의 길이가 모두 같다.

구하는 것: 삼각형 DEF의 넓이와 삼각형 ABE의 넓이의 비.

이해

주어진 것: ABCD는 정사각형이다.; E는 변 AD 위에, F는 변 DC 위에 있다.; 삼각형 BEF는 정삼각형이므로 세 변 BE, EF, FB의 길이가 모두 같다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림 전체를 좌우하는 하나의 길이는 E가 꼭짓점 A에서 얼마나 떨어져 있는가이므로 그것을 x라 하자. 그러면 나머지 모든 길이는 1이거나 x로 이루어진 값이 되고, 정삼각형의 같은 변들은 피타고라스 정리를 통해 방정식으로 바뀐다. 마지막의 묘미는 넓이의 비를 x에 대한 방정식으로 바로 간단히 할 수 있어서 x를 굳이 풀지 않아도 된다는 점이다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.EE.B.6 단계 1

정사각형을 정하고 한 길이에 이름 붙이기

정사각형의 한 변을 1로 정한다.
넓이의 비만 필요하므로 이렇게 해도 된다.
꼭짓점 A에서 변 AD 위의 E까지의 거리 AE를 x라 하자.
그러면 E는 A보다 x만큼 위에 있고, F는 윗변 DC 위에 있으므로 왼쪽 변에 남는 부분 DE의 길이는 1 빼기 x가 된다.

$$AB = 1, \qquad AE = x, \qquad DE = 1 - x$$

💡 미지의 한 길이가 그림 전체를 움직이므로 그것에 문자를 붙이고 나머지 길이를 그것으로 읽어 낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

B에서 나온 두 변의 길이를 같게 놓기

삼각형 ABE는 A에서 직각이므로 BE 제곱은 AB 제곱 더하기 AE 제곱, 즉 1 더하기 x 제곱이다.
삼각형 CBF는 C에서 직각이므로 BF 제곱은 CB 제곱 더하기 CF 제곱, 즉 1 더하기 CF 제곱이다.
BE와 BF는 모두 정삼각형의 변이라 같으므로 CF는 x와 같아야 한다.
따라서 F는 C보다 x만큼 왼쪽에 있고, 윗변에 남는 부분 DF의 길이도 1 빼기 x가 되어 DE와 정확히 같다.

$$BE^2 = 1 + x^2, \quad BF^2 = 1 + CF^2 \;\Rightarrow\; CF = x \;\Rightarrow\; DF = DE = 1 - x$$

💡 같은 길이의 두 빗변이 같은 정사각형 변에 기대면 안쪽으로 들어간 정도도 같으므로 두 모서리의 잘린 부분이 같다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

세 번째 변도 같게 놓기

삼각형 DEF는 D에서 직각이고 두 변이 모두 1 빼기 x이므로 EF 제곱은 2 곱하기 (1 빼기 x) 제곱이다.
EF도 정삼각형의 변이므로 BE와 같고, BE 제곱은 1 더하기 x 제곱이다.
같은 길이를 나타내는 이 두 식을 같다고 놓으면 x에 대한 하나의 방정식이 나온다.

$$EF^2 = 2(1 - x)^2 = 1 + x^2$$

💡 세 변의 길이가 모두 같으므로 그중 둘을 제곱으로 같다고 쓰면 x가 정해진다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

쓸모 있는 관계식으로 정리하기

양변을 전개하고 항을 모은다.
그러면 방정식은 x 제곱 빼기 4x 더하기 1 이 0이 되고, 이는 x 제곱 더하기 1 이 4x와 같다로 바뀐다.
이 꼴 그대로 두면 되고, x 자체를 풀 필요는 없다.

$$2 - 4x + 2x^2 = 1 + x^2 \;\Rightarrow\; x^2 - 4x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + 1 = 4x$$

💡 여기서는 x의 복잡한 값보다 x 제곱과 x 사이의 깔끔한 관계가 더 유용하다.

#4 변수 도입하기 6.G.A.1 단계 5

두 넓이를 비교하기

삼각형 ABE는 두 변이 AB = 1과 AE = x이므로 넓이는 x의 절반이다.
삼각형 DEF는 두 변이 모두 1 빼기 x이므로 넓이는 (1 빼기 x) 제곱의 절반이다.
따라서 그 비는 (1 빼기 x) 제곱 나누기 x이다.
이제 (1 빼기 x) 제곱을 x 제곱 빼기 2x 더하기 1 로 전개하고, x 제곱 더하기 1 부분을 묶어 관계식의 4x로 바꾼다.
그러면 4x 빼기 2x, 즉 2x가 남는다.
x로 나누면 2가 되고, 이는 보기 (D)이다.

$$\frac{[DEF]}{[ABE]} = \frac{\tfrac12(1-x)^2}{\tfrac12 x} = \frac{(1-x)^2}{x} = \frac{(x^2+1) - 2x}{x} = \frac{4x - 2x}{x} = 2$$

💡 x에 대한 관계식을 넓이 식에 넣으면 x가 약분되어 깔끔한 수만 남는다.

[1] #1 6.EE.B.6 정사각형의 한 변을 1로 정한다. 넓이의 비만 필요하므로 이렇게 해도 된다. 꼭짓점 A에서 변 AD 위의 E까지의 거리 AE를 x라 하자. 그러

[2] #7 8.G.B.7 삼각형 ABE는 A에서 직각이므로 BE 제곱은 AB 제곱 더하기 AE 제곱, 즉 1 더하기 x 제곱이다. 삼각형 CBF는 C에서 직각이므로 BF

[3] #4 8.G.B.7 삼각형 DEF는 D에서 직각이고 두 변이 모두 1 빼기 x이므로 EF 제곱은 2 곱하기 (1 빼기 x) 제곱이다. EF도 정삼각형의 변이므로 B

[4] #4 8.EE.C.7 양변을 전개하고 항을 모은다. 그러면 방정식은 x 제곱 빼기 4x 더하기 1 이 0이 되고, 이는 x 제곱 더하기 1 이 4x와 같다로 바뀐다.

[5] #4 6.G.A.1 삼각형 ABE는 두 변이 AB = 1과 AE = x이므로 넓이는 x의 절반이다. 삼각형 DEF는 두 변이 모두 1 빼기 x이므로 넓이는 (1 빼

검토

합리성 확인: 관계식 x 제곱 빼기 4x 더하기 1 이 0에서 x = 2 빼기 루트 3, 약 0.27이 나오는데, 이는 한 변이 1인 정사각형에서 변을 따라 조금 올라간 그럴듯한 거리이다. 다시 대입하면 삼각형 ABE의 넓이는 약 0.13, 삼각형 DEF의 넓이는 약 0.27이고 그 몫은 2로 깔끔한 답과 일치한다. DEF는 왼쪽 위 모서리를 거의 다 차지하고 ABE는 왼쪽 아래 모서리에 붙어 있으므로 DEF가 약 2배 큰 것은 자연스럽다.

대안 접근: 대신 각을 따라간다. B에서의 세 각은 직각을 15도, 60도, 15도로 나누므로 각 ABE는 15도이고 AE = tan 15도 = 2 빼기 루트 3이다. 이 값으로 두 넓이를 직접 구해 다시 나누어도 2가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (거리 AE를 x라 이름 붙이고 나머지 모든 길이를 x로 나타내는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (BE, BF, EF를 변 제곱의 합의 제곱근으로 써서 정삼각형의 같은 변들을 비교하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (변의 방정식을 전개하고 항을 모아 x 제곱 더하기 1 이 4x라는 관계식으로 줄이는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (삼각형 ABE와 DEF의 넓이를 두 변으로 구하고 그 비를 만드는 데 사용.)

⭐ 미지의 한 길이에 이름을 붙이고 같은 변들을 방정식으로 바꾼 뒤, 그 방정식을 넓이의 비에 넣어 미지수가 약분되게 하라.