AMC 10 · 2004 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-trianglepythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 ABCD의 변 위에 두 점 E와 F가 있어서 삼각형 BEF가 정삼각형이 되고, E는 변 AD 위에, F는 변 DC 위에 있다. 삼각형 DEF의 넓이와 삼각형 ABE의 넓이의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{3}$

(B)

$\frac{3}{2}$

(C)

$\sqrt{3}$

(D)

(E)

$1+\sqrt{3}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

그림 전체를 좌우하는 하나의 길이는 E가 꼭짓점 A에서 얼마나 떨어져 있는가이므로 그것을 x라 하자. 그러면 나머지 모든 길이는 1이거나 x로 이루어진 값이 되고, 정삼각형의 같은 변들은 피타고라스 정리를 통해 방정식으로 바뀐다. 마지막의 묘미는 넓이의 비를 x에 대한 방정식으로 바로 간단히 할 수 있어서 x를 굳이 풀지 않아도 된다는 점이다.

1STEP 1

정사각형을 정하고 한 길이에 이름 붙이기

정사각형의 한 변을 $1$ 로 놓고 $AE = x$ 라 하면 남는 부분은 $DE = 1 - x$ 이다.

AB = 1, AE = x, DE = 1 - x

2STEP 2

B에서 나온 두 변의 길이를 같게 놓기

직각 $A$ , $C$ 에서 $1 + x^2 = BE^2 = BF^2 = 1 + CF^2$ 이므로 $DF = DE = 1 - x$ 이다.

BE² = 1 + x², BF² = 1 + CF² → CF = x → DF = DE = 1 - x

3STEP 3

세 번째 변도 같게 놓기

$DEF$ 는 $D$ 에서 직각이고 두 변이 같으므로 $EF^2 = 2(1-x)^2$ 이고, 이는 $BE^2 = 1 + x^2$ 과 같다.

EF² = 2(1 - x)² = 1 + x²

4STEP 4

쓸모 있는 관계식으로 정리하기

전개하면 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 이고, $x^2 + 1 = 4x$ 로 두면 $x$ 를 풀 필요가 없다.

2 - 4x + 2x² = 1 + x² → x² - 4x + 1 = 0 → x² + 1 = 4x

5STEP 5

두 넓이를 비교하기

넓이가 $\frac{x}{2}$ 와 $\frac{(1-x)^2}{2}$ 이므로 비는 $\frac{(1-x)^2}{x} = \frac{(x^2+1) - 2x}{x} = \frac{2x}{x}$ , 즉 2이고 답은 (D).

[DEF]/[ABE] = (1/2(1-x)²)/(1/2 x) = ((1-x)²)/x = ((x²+1) - 2x)/x = (4x - 2x)/x = 2

정답

관계식 x 제곱 빼기 4x 더하기 1이 0에서 x = 2 빼기 루트 3, 약 0.27이 나오는데, 이는 한 변이 1인 정사각형에서 변을 따라 조금 올라간 그럴듯한 거리이다. 다시 대입하면 삼각형 ABE의 넓이는 약 0.13, 삼각형 DEF의 넓이는 약 0.27이고 그 몫은 2로 깔끔한 답과 일치한다. DEF는 왼쪽 위 모서리를 거의 다 차지하고 ABE는 왼쪽 아래 모서리에 붙어 있으므로 DEF가 약 2배 큰 것은 자연스럽다.

💡핵심 정리

미지의 한 길이에 이름을 붙이고 같은 변들을 방정식으로 바꾼 뒤, 그 방정식을 넓이의 비에 넣어 미지수가 약분되게 하라.

정사각형을 정하고 한 길이에 이름 붙이기
B에서 나온 두 변의 길이를 같게 놓기
세 번째 변도 같게 놓기
쓸모 있는 관계식으로 정리하기
두 넓이를 비교하기

정사각형을 정하고 한 길이에 이름 붙이기

B에서 나온 두 변의 길이를 같게 놓기

세 번째 변도 같게 놓기

쓸모 있는 관계식으로 정리하기

두 넓이를 비교하기

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